3.4 函数的应用 -【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

3.4　函数的应用 [新知自主探究] 典例1　对点训练 　B　由题意知电阻R与温度t构成一次函数关系，即R＝2＋0.008t. 典例2　对点训练 　C　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润是生产件数与每件的利润的乘积，为y＝[8＋2(k－1)]·[60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大. 典例3　对点训练 　解析：由图象知是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得. 如图，设OA的表达式为y＝k1x，因为A(30，2)，所以2＝30k1，所以k1＝，所以y＝x(0≤x≤30). 设BC的表达式为y＝k2x＋b， 因为B(40，2)，C(50，3). 所以解得k2＝，b＝－2. 所以y＝x－2(40≤x≤60). 综上可得，y＝ 答案：y＝ [学习效果检测] 1.B　设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 函数图象过点(1，800)，(2，1300)， 则解得 所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300. 所以营销人员没有销售量时的收入是300元. 2.C　t＝2时，汽车行驶的路程为 s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km). 3.C　设AD长为x，则CD长为16－x. 又因为要将P点围在矩形ABCD内， 所以a≤x≤12， 则矩形ABCD的面积为x(16－x). 当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，S＝64； 当8<a<12时，S＝a(16－a)， 所以S＝ 分段画出函数图象可得其形状与选项C接近. 4.B　y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9. 5.A　本题考查二次函数的应用.结合图形，可得 ＝，得y＝24－， 矩形面积S＝xy＝x＝－＋24x， 所以当x＝－＝15时，S最大， 此时y＝24－×15＝12. 6.BC　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋， 所以当x＝9或x＝10时，L最大为120万元. 7.解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16. 答案：60　16 8.解析：由图知通话2分钟，需支付电话费3.6元；通话5分钟需支付电话费6元； 当t≥3时，设y＝kt＋b， 则有解得k＝1.2，b＝0， 所以y＝1.2t(t≥3). 答案：3.6　6　y＝1.2t(t≥3) 9.D　设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7. 10.C　由[4.5]＝5，得f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)＝1.6×(0.5×5＋1)＝5.6.故选C. 11.解析：设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又图象过点(4，7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.令y≥0，解得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2年.又6＜2＜7，所以有营运利润的时间不超过7年. 答案：7 12.解：(1)因为某户该月用水x立方米， 按收费标准可知，当0<x≤20时，y＝3x； 当20<x≤30时，y＝20×3＋4＝4x－20； 当x>30时，y＝[20×3＋4×(30－20)＋7(x－30)]×1.2＝8.4x－132. 所以y＝ (2)由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以4x－20＝80, 解得x＝25. 所以该月的用水量为25立方米. (3)因为b＝－a2＋47a－530，所以a＋b＝－a2＋48a－530＝－2＋46≤46. 当a＝24时，max＝46，此时b＝22. 所以此时两户一共需要支付的水费是y＝4×24－20＋4×22－20＝144元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　函数的应用 探究点一　一次函数模型 【典例1】　某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存放x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　) A.y＝0.2x(0≤x≤4000) B.y＝0.5x(0≤x≤4000) C.y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000) D.y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000) 【解析】　由题意知，普通自行车存放x辆次时，电动自行车存放(4000－x)辆次，则y＝(4000－x)×0.3＋0.2x＝－0.1x＋1200,0≤x≤4000. 【答案】　C 【方法总结】 　 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是设元、列式、求解. 【提醒】　解一次函数模型题的关键是准确读懂题意，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数解析式. [对点训练] 　一段导线，在0 ℃时的电阻为2 Ω，温度每增加1 ℃，电阻增加0.008 Ω，那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为(　　) A.R＝0.008t　　 B.R＝2＋0.008t C.R＝2.008t D.R＝2t＋0.008 探究点二　二次函数模型 【典例2】　某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是(　　) A.54 B.58 C.64 D.68 【解析】　f(t)＝－t2＋24t－101，对称轴为t＝12，所以f(t)在[4,12]上单调递增，在[12,18]上单调递减，所以f(t)max＝f(12)＝43，f(t)min＝f(4)＝－21，所以在该时段的最大温差是43－(－21)＝64. 【答案】　C 【方法总结】　二次函数模型是实际应用题中常见的类型，也是高考考查的重点题型.特别是在解决实际问题中的最大、最小值问题时，可用配方法、函数的单调性等方法. [对点训练] 　某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 探究点三　分段函数模型 【典例3】　某车站有快、慢两种列车，始发站距终点站7.2 km，慢车到达终点站需16 min，快车比慢车晚发车3 min，且匀速行驶10 min后到达终点站，则快车所行驶路程y关于慢车行驶时间x的函数关系式为________. 【解析】　当0≤x≤3时，快车还未发车，故y＝0； 当3<x≤13时，快车的速度为＝0.72(km/min)，故y＝0.72(x－3)； 当13<x≤16时，快车到达终点站，y始终不变，故y＝7.2. 综上可得y＝ 【答案】　y＝ 【方法总结】　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值. [对点训练] 　甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2 km.下图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的表达式为________. A基础巩固练 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A.310元　 B.300元 C.290元 D.280元 2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(　　) A.100 km B.125 km C.150 km D.225 km 3.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)，4 m，不考虑树的粗细.现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S，若需要将这棵树围在花圃内(含边界)，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) A　 　 　B　 　 　 C　 　 　D 4.某地固定电话的市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550 s，应支付电话费(　　 ) A.1.00元 B.0.90元 C.1.20元 D.0.80元 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y分别应为(　　 ) A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15 C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14 6.(多选题)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆车，要使获得的利润最大，则在甲地销售的车辆数为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 7.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c＝________，A＝________. 8.图中折线是某电信公司规定打长途电话所需要支付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需支付电话费________元；通话5分钟，需支付电话费________元；如果t≥3分钟，电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式是________. B能力提升练 9.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　) A.此人可在7 s内追上汽车 B.此人可在10 s内追上汽车 C.此人追不上汽车，其间距最少为5 m D.此人追不上汽车，其间距最少为7 m 10.规定从甲地到乙地通话t min的电话费由f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)(元)决定，其中t＞0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为(　　) A.4.8元 B.5.2元 C.5.6元 D.6元 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年. 12.为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费.某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税.设某户某月用水x立方米，水费为y元. (1)试求y关于x的函数； (2)若该用户当月水费为80元，试求该月的用水量； (3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若a，b之间符合函数关系：b＝－a2＋47a－530.则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$