第2课时 函数的最大值、最小值-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

第2课时　函数的最大值、最小值 [基础知识整合] 1.(1)f(x)≤M　f(x0)＝M　(2)最高点　 2.(1)f(x)≥M　f(x0)＝M　(2)最低点 [新知自主探究] 典例1　对点训练 　C　由题图知，函数在[－4，－3]上单调递减，在[－3，1]上单调递增，当x＝－3时，f(x)取最小值0. 典例2　对点训练 　B　原函数在[2，3]上单调递减，所以最小值为＝. 典例3　对点训练 　C　因为函数f(x)在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，所以x＝－＝＝－2，所以m＝－8，故f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝13. [学习效果检测] 1.D　y＝|x＋1|＝ y＝x＋1(－1≤x≤2)的最大值为3，y＝－(x＋1)(－2≤x<－1)的最大值为1，所以函数y＝|x＋1|在[－2，2]上的最大值为3. 2.B　因为y＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，开口向下，对称轴是x＝1，故函数在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故最大值为－1，最小值为－5，它们的和为－6. 3.A　因为函数f(x)的对称轴为x＝， 所以f(x)在上是增函数， 所以≤－2，所以m≤－16.f(x)min＝， 所以t＝＝5－≤－11. 4.B　注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域为(0，1]，③的值域为[－11，＋∞). 5.B　由于函数y＝f(x)的值域为[1，3]， 则1≤f(x＋2)≤3，－6≤－2f(x＋2)≤－2， 所以－5≤1－2f(x＋2)≤－1. 6.ABC　因为对称轴为x＝，对应函数值为－；所以m≥；当y＝－4时，x＝0或x＝3，因此m≤3，综上可得，m的取值范围是. 7.解析：反比例函数y＝－在x∈[1，2]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1. 答案：－1 8.解析：f(x)＝ 所以f(x)的单调递增区间是， 所以－＝3，a＝－6.在区间[－4，4]上的最大值是f(－4)＝14. 答案：－6　14 9.D　若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a≥(－1＋x)max＝－，故实数a的最小值是－. 10.D　∵函数y＝＝＝－1， ∴当x∈(－1，＋∞)时，函数y是单调递减函数.又当x＝2时，y＝0，根据题意，当x∈(m，n]时，y的最小值为0，∴n＝2.∴实数m的取值范围是－1≤m＜2. 11.解析：由对勾函数的性质可知f(x)＝x＋在[1，3]上单调递减，在(3，8]上单调递增， 所以f(x)min＝f(3)＝6， 又f(1)＝10，f＝8＋＝<10， 所以f(x)max＝10， 所以f(x)max＋f(x)min＝10＋6＝16. 故答案为16. 答案：16 12.解：任取0＜x1＜x2≤1，则 f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－ ＝(x1－x2)， ∵0＜x1＜x2≤1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值. 当x＝1时取得最大值1. 所以f(x)的值域为(－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　函数的最大值、最小值 1.最大值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有________； ②∃x0∈I，使得________. 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值. (2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象________的纵坐标. 2.最小值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有________； ②∃x0∈I，使得________. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值. (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象________的纵坐标. 探究点一　 图象法求函数的最值 【典例1】　(1)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.－2，f(2)　 B.2，f(2) C.－2，f(5) D.2，f(5) 【解析】　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 【答案】　C (2)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________. 【解析】　作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 【答案】　1　0 (3)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.无最大值 【解析】　在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1，故选B. 【答案】　B 【方法总结】 图象法求最值的一般步骤 [对点训练] 　函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[－4,1]上的最小值是(　　) A.－4　　　 B.－3 C.0 D.1 探究点二　利用函数的单调性求最值 【典例2】　(1)函数y＝x－在[1,2]上的最大值为(　　) A.0 B. C.2 D.3 【解析】　函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数， 所以函数y＝x－在[1,2]上是增函数. 当x＝2时，ymax＝2－＝. 【答案】　B (2)函数f(x)＝的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D. 【解析】　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B. 【答案】　B 【方法总结】 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). [对点训练] 　函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　) A.2 B. C. D.－ 探究点三　 求二次函数的最大(小)值 【典例3】　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A.4 B.6 C.1 D.2 【解析】　函数f(x)＝x2＋2x＋a的对称轴为x＝－1，在[0,2]上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2，f(x)的最大值为f(2)＝8＋a＝6. 【答案】　B (2)已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________. 【解析】　如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的， 又f(x)的单调递减区间为(-∞，3]，∴1<a≤3. 【答案】　(1,3] 【方法总结】 求解二次函数最值问题的顺序 (1)确定对称轴与抛物线的开口方向，作图. (2)在图象上标出定义域的位置. (3)观察单调性写出最值. [对点训练] 　函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)＝(　　) A.10　　　B.－3　　　C.13　　　D.1 [归纳小结] 1.求函数最大(小)值的常用方法 (1)值域，求出函数f(x)的值域，即可求其最值； (2)单调性法，通过研究函数的单调性来求函数的最值； (3)特殊函数法，利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋(a>0)]的单调性来求其最值. 2.函数的值域与最大(小)值的区别 (1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值). (2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值. A基础巩固练 1.函数y＝|x＋1|在[－2,2]上的最大值为(　　) A.0　　 B.1 C.2 D.3 2.函数y＝－x2＋2x－2在区间[－1,3]上最大值与最小值的和是(　　) A.－1 B.－6 C.－2 D.－5 3.函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，设f(x)(x∈R)最小值为t，则(　　) A.t≤－11 B.t＝－11 C.t≥11 D.t≤11 4.四个函数：①y＝3－x；②y＝；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中值域为R的函数有(　　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若函数y＝f(x)的值域为[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋2)的值域是(　　) A.[－9，－5] B.[－5，－1] C.[－1,3] D.[1,3] 6.(多选题)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m可以取(　　) A. B. C.3 D. 7.函数y＝－在x∈[1,2]上的最小值是________. 8.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________，在区间[－4,4]上的最大值是________. B能力提升练 9.若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则实数a的最小值为(　　) A.0 B.－2 C.－ D.－ 10.若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则实数m的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(－1,2) C.[1,2) D.[－1,2) 11.已知x∈[1,8]，则函数f(x)＝x＋的最大值与最小值的和为__________. 12.已知函数f(x)＝2x－，x∈(0,1]，求f(x)的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$