章末检测(二)-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

章末检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若ab≠0且a＜b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.＞ B.a2＜b2 C.a2＞b2 D.－a＞－b 2.不等式14－5x－x2<0的解集为(　　) A.{x|－7<x<2} B.{x|x<－7或x>2} C.{x|x>2} D.{x|x<－7} 3.设x>0，那么3－－x有(　　) A.最大值1 B.最小值1 C.最大值5 D.最小值－5 4.已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 5.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a＋b的值为(　　) A.25 B.35 C.－25 D.－35 6.不等式＞1的解集为(　　) A.(－∞，1) B.(0,1) C.(1，＋∞) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥ (a>0，b>0) B.a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 8.某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价a%，再降价b%；②先降价%，再降价a%；③先降价%，再降价%；④一次性降价%.其中a>b，则最终降价幅度最小的方案是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给定下列推导过程，不正确的是(　　) A.a>b⇒a2>b2 B.a2>b2⇒|a|>|b| C.a>b⇒<1 D.a>b⇒< 10.下列结论正确的有(　　) A.若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2 B.若a，b，m为正实数，a＜b，则＜ C.若＞，则a＞b D.当x＞0时，x＋的最小值为2 11.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值可以是(　　) A.10 B.15 C.16 D.20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________. 13.a，b∈R，a＞b和＜同时成立的条件是________(答案不唯一，写出一个即可). 14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为2，则该矩形周长的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)已知a，b是任意实数，A＝2a2＋2b＋9，B＝2a2＋2b－7，试比较A与B的大小关系； (2)已知x>2，求函数y＝x＋的最值. 16.(15分)如图为传统节日玩具之一——走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日.灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动.轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96 000 cm3的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细). (1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？ (2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 17.(15分)已知f(x)＝x2－x＋1. (1)当a＝时，解不等式f(x)≤0； (2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0. 18.(17分)已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a，b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1，x2，关于x的方程f(x)＝x的两实根为α，β. (1)若不等式f(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(5，＋∞)，求不等式bx2－ax－4<0的解集； (2)若a，b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式； (3)若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7. 19.(17分)对于四个正数a，b，c，d，若ad<bc，那么称(a，b)是(c，d)的“不足序列”. (1)对于3,4,5,7，试求(3,5)的“不足序列”； (2)对于四个正数P，Q，R，T，若(P，Q)是(R，T)的“不足序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由； (3)设正整数满足条件：对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N，总存在正整数k，使得(m,2024)是(k，n)的“不足序列”，且(k，n)是(m＋1,2025)的“不足序列”，求：正整数n的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测(二) 1.D　ab≠0且a＜b. A.取a＝－3，b＝2，可知A不正确； B.取a＝－3，b＝2，可知B不正确； C.取a＝1，b＝2，可知C不正确； D.∵a＜b，∴－a＞－b，可知D正确. 2.B　原不等式等价于x2＋5x－14>0， 所以(x＋7)(x－2)>0， 即x<－7或x>2，故选B. 3.A　∵x>0，∴3－－x＝3－≤3－2＝1， 当且仅当x＝即x＝1时，等号成立. 4.C　∵m＝8－n，m＞0，n＞0， ∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16， 当且仅当m＝n＝4时等号成立.则mn的最大值为16.故选C. 5.A　∵ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}， ∴ax2－5x＋b＝0的根为－3，2， 即－3＋2＝，－3×2＝，解得a＝－5，b＝30， ∴a＋b＝－5＋30＝25.故选A. 6.B 7.D　OD＝，OC＝，CD＝＝ ，而CD≥OD(C，O重合时等号成立)， 因此有 ≥. 故选D. 8.C　设原价为1， 对于①，降价后的价格为：， 对于②，降价后的价格为：[1－%]·(1－a%)， 对于③，降价后的价格为：2， 对于④，降价后的价格为：1－%. ＝1－%＋a%b%>1－%，所以①>④； 因为a>b，所以<2＝2，所以①<③； 因为a>b，所以%>%，1－%<1－%， 所以<[1－%]2，所以②<③，则最终降价幅度最小的方案是③. 故选C. 9.ACD　对于A，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故A错误； 易知B正确； 对于C，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故C错误； 当a>0，b<0时，D错误. 10.ACD　对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，∴a3＋b3＞a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a＜b，则－＝＞0，则＞，故B错误；对于C，若＞，则a＞b，故C正确；对于D，当x＞0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时等号成立，故D正确. 11.BC　设这批台灯的售价定为x元，x≥15，则[30－(x－15)×2]·x＞400，即x2－30x＋200＜0.因为方程x2－30x＋200＝0的两个根分别为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200＜0的解集为{x|10＜x＜20}，又x≥15，所以15≤x＜20.故选BC. 12.解析：由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3. 答案：(－1，3) 13.解析：－＝＜0，因为a＞b，即b－a＜0， 所以ab＞0，所以a＞b＞0或0＞a＞b. 答案：a＞b＞0(或0＞a＞b) 14.解析：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2，且a2＋b2＝8，而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－22＝(a＋b)2，即a＋b≤＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以2≤8，即该矩形周长的最大值为8. 故答案为8. 答案：8 15.解：(1)由题意可知： A－B＝2a2＋2b＋9－(2a2＋2b－7)＝16>0， 所以A－B>0，故A>B. (2)因为x>2，所以x－2>0，所以y＝＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. 所以函数y＝x＋取得最小值为6. 16.解：(1)设大矩形的长为x cm，宽为y cm. 依题有2＝160， 即x＋y＝80，则S＝xy≤＝1600， 当且仅当x＝y＝40时，等号成立. 即当底面的长和宽都为40 cm时，底面面积最大. (2)设底面矩形的长为x cm，宽为y cm，依题有S＝xy＝＝2400， 框架用料最少等价于底面用料为2x＋3y最小即可， 2x＋3y≥2＝240，当2x＝3y，即y＝40，x＝60时，等号成立.故当底面的长为60 cm，宽为40 cm时，框架用料最少. 17.解：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，∴(x－2)≤0，∴≤x≤2， 即所求不等式的解集为. (2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a＞0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝， ∴当＞a，即0＜a＜1时，不等式的解集为； 当＜a，即a＞1时，不等式的解集为； 当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}. 18.解：(1)ax2＋4x＋b<0的解集为(－∞，－3)∪(5，＋∞)， 所以－3，5是方程ax2＋4x＋b＝0的两根. 所以⇒ 所以bx2－ax－4<0为30x2＋2x－4<0⇒15x2＋x－2<0， 所以(3x－1)(5x＋2)<0⇒－<x<. 所以所求不等式的解集为. (2)因为f(x)＝x⇒ax2＋3x＋b＝0的两根为α，β. 所以α＋β＝－，αβ＝，且9－4ab>0. 所以(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝－＝. 由|α－β|＝1得＝1⇒9－4ab＝a2. 又因为a，b均为负整数，所以ab>0，所以a2<9. 所以a的值可能为－1或－2. 若a＝－1则b＝－2；若a＝－2，则b＝－(舍去). 故a＝－1，b＝－2为所求. 此时f(x)＝－x2＋4x－2. (3)证明：因为α<1<β<2，所以α＋β＝－<3⇒－<1；αβ＝<2. 又因为 所以(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝－＋1<2＋4＋1＝7. 19.解：(1)根据定义可知，易知4×5<7×3，则(4，7)是(3，5)的“不足序列”； (2)因为(P，Q)是(R，T)的“不足序列”，所以PT<QR， －＝<0，即<， －＝>0，即>， 所以<<； (3)由已知得 因为m，n，k为正整数，所以 所以2024(mn＋n－1)≥2025×2024k≥2025(mn＋1)， 所以2024(mn＋n－1)≥2025(mn＋1)，即n≥， 对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N的每一个正整数m都成立， 令y＝在{m|0<m<2024}且m∈N上单调递增， 所以n≥＝4049， 所以正整数n的最小值为4049. 学科网（北京）股份有限公司 $$