2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的________叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 探究点一　解不含参数的一元二次不等式 【典例1】　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A.{x|x<－1} B. C. D. 【解析】　不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D. 【答案】　D (2)不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A. B. C. D. 【解析】　原不等式等价于(x－2)≤0，解得≤x≤2，故选A. 【答案】　A 【方法总结】 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集. (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得. (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. [对点训练] 解下列不等式： (1)2＋3x－2x2>0； (2)x(4－x)≤x(x＋3)－3. 探究点二　解简单的分式不等式 【典例2】　(1)不等式>0的解集是(　　) A. B. C. D. 【解析】　>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为. 【答案】　A (2)不等式<1的解集是(　　) A.{x|x>1} B.{x|－1<x<2} C. D. 【解析】　原不等式等价于－1<0⇔<0⇔(x＋1)·(1－2x)<0⇔(2x－1)·(x＋1)>0，解得x<－1或x>. 【答案】　C 【方法总结】　(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. [对点训练] (1)不等式≥2的解集为________. (2)不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________. 探究点三　三个“二次”之间的关系 【典例3】　(1)若不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b的值为(　　) A.3　　 B.1 C.－3 D.－1 【解析】　因为不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1<x＜2}，所以1和2为方程(x－a)·(x－b)＝0的两个根，则有或 所以a＋b＝1＋2＝3，即a＋b的值为3. 【答案】　A (2)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________. 【解析】　因为不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立.所以Δ＝(－a)2－8a<0，解得0<a<8. 【答案】　0<a<8 【方法总结】 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： [对点训练] 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，则不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为________. [归纳小结] 1.解一元二次不等式的一般步骤是(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外). 2.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论. 3.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换，基本思路是代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来. 4.当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立.由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可. A基础巩固练 1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A.(m＋1)x2>x B.－x2＋5x＋6>0 C.(x＋a)(x＋a＋1)<0 D.2x2－x>2 2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0<a<4}　　　 B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 3.不等式<1的解集是(　　) A.{x|x<－1或x>1} B.{x|x>1} C.{x|x<－1} D.{x|－1<x<1} 4.已知集合M＝{x|x2<4}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则集合M∩N＝(　　) A.{x|x<－2} B.{x|x>3} C.{x|－1<x<2} D.{x|2<x<3} 5.不等式x<x－21的解集为(　　) A. B.∪ C. D.∪ 6.关于x的不等式x2＋ax－3<0的解集为，则不等式ax2＋x－3<0的解集为(　　) A. B. C. D. 7.不等式x2－2x－5>2x的解集是________. 8.对任意－2≤a≤3，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为________. B能力提升练 9.当a＜0时，不等式42x2＋ax－a2＜0的解集为(　　) A. B. C. D.∅ 10.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围是(　　) A.{x|0＜x＜2} B.{x|－2＜x＜1} C.{x|x＜－2或x＞1} D.{x|－1＜x＜2} 11.若a＜0，则关于x的不等式a(x＋1)·＜0的解集为________. 12.关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 [基础知识整合] 1.一个　2　ax2＋bx＋c>0　2.实数x [新知自主探究] 典例1　对点训练 　解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0， 所以(2x＋1)(x－2)<0. 故原不等式的解集是. (2)原不等式可化为2x2－x－3≥0， 所以(2x－3)(x＋1)≥0， 故原不等式的解集是. 典例2　对点训练 　(1)解析：≥2化为－2≥0，即≥0， 即≤0.它等价于⇒－1≤x<0. 所以原不等式解集为{x|－1≤x<0}. 答案：{x|－1≤x<0} (2)解析：<1化为－1<0， 即<0，等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0. 所以(a－1)x2－(a－2)x－1<0. 因为不等式的解集为{x|x<1或x>2}， 所以1，2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根. 所以解得a＝. 答案： 典例3　对点训练 　解析：由已知条件可知a<0，且，2是相应方程ax2＋5x－2＝0的两个根，由根与系数关系得解得a＝－2. 所以ax2－5x＋a2－1>0化为2x2＋5x－3<0，化为(2x－1)(x＋3)<0，解得－3<x<. 所以不等式的解集为. 答案： [学习效果检测] 1.BCD　由一元二次不等式的定义可知，B、C、D为一元二次不等式. 2.D　由题意知a＝0时，满足条件. a≠0时，由得0<a≤4， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤4}. 3.A　因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1. 4.C　由已知，集合M＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，N＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}， 所以M∩N＝{x|－1<x<2}. 5.A　∵x<x－21，∴x2－10x＋21<0， ∴(x－3)(x－7)<0，解得3<x<7，故选A. 6.D　因为x2＋ax－3<0的解集为， 所以－3，1是方程x2＋ax－3＝0的两根， 由韦达定理可得则a＝2； 所以不等式ax2＋x－3<0为2x2＋x－3<0， 即<0，解得－<x<1， 故所求解集为.故选D. 7.解析：由x2－2x－5>2x得x2－4x－5>0， 因为方程x2－4x－5＝0的两根为－1，5. 故不等式x2－4x－5>0的解为x<－1或x>5. 答案：{x|x<－1或x>5} 8.解析：设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a＝(x－3)a＋x2－6x＋9，由已知条件得 即所以 所以x<0或x>5. 即x的取值范围为{x|x<0或x>5}. 答案：{x|x<0或x>5} 9.A　不等式化为(6x＋a)(7x－a)<0， ∵a<0，∴－>，故选A. 10.B　由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2， ∴x2＋x－2<0，解得－2<x<1. 11.解析：因为a＜0，所以原不等式等价于(x＋1)·＞0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的解集为. 答案：) 12.解：(1)由已知，得 解得－ ≤m＜－1或m>1， 即m的取值范围是－≤m＜－1或m>1. (2)由已知，得 解得－1<m<1. 所以m的取值范围是－1<m<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$