2.1 等式性质与不等式性质-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

2.1　等式性质与不等式性质 [基础知识整合] 1.a>b　a＝b　a<b　a－b>0　a－b＝0　a－b<0　0 3.(1)b<a　b<a　(2)a>c　a>c　(3)a＋c>b＋c (4)ac>bc　ac<bc　(5)a＋c>b＋d　(6)ac>bd (7)an>bn [新知自主探究] 典例1　对点训练 　(1)解析：矩形菜园靠墙一边长为x m，则另一边长为m，即m， 根据已知得 答案： (2)解： 典例2　对点训练 　(1)A　c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， 所以c≥b，将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 因为1＋a2－a＝＋>0，所以1＋a2>a， 所以b＝1＋a2>a.所以c≥b>a. (2)解析：把p，q看成变量， 则m<p<n，m<q<n，即得m<p<q<n. 答案：m<p<q<n [学习效果检测] 1.BC　因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55.因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125.故选BC. 2.A　取a＝－2，b＝－1，则>不成立. 3.C　由<<0，可得0>a>b，所以|a|<|b|，故①②不成立； 所以a＋b<0<ab，a3>b3都成立，故③④一定正确. 4.D　由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即＋<1，故选D. 5.A　因为a＋－＝， 所以若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立；当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立. 6.A　因为2<m<7，－3<n<－1， 所以6<3m<21，－6<2n<－2， 所以0<3m＋2n<19. 故选A. 7.解析：由a2＋a<0得a<－a2，所以a<0且a>－1，所以a<－a2<a2<－a. 答案：a<－a2<a2<－a 8.解析：对于①，若ab>0，a>b，则a>b>0或0>a>b，所以<，所以①正确；对于②，不妨令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3，则a－c＝3，b－d＝4.所以a－c>b－d不成立，②错误；对于③，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以ab＋am<ab＋bm，即a(b＋m)<b(a＋m)，所以<，③正确. 综上，真命题的序号是①③. 答案：①③ 9.C　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0， 所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0， 所以x＞0，z＜0. 所以由可得xy＞xz. 10.A　＋＝ ＝. ∵a<b<c，∴c－b>0，a－c<0，a－b<0， ∴>0. 11.解析：解法一　∵a>b>0，∴0<<. 即>>0.∴a＋>b＋. 解法二　a＋－＝， ∵a>b>0，∴a－b>0，ab>0，1＋ab>0. ∴＞0，则a＋>b＋. 答案：＞ 12.解：∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15， 即－24<a－b<45.又<<， ∴<<.∴<<4. ∴a－b的取值范围是(－24，45)， 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　等式性质与不等式性质 1.两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么________；如果a－b等于零，那么________；如果a－b是负数，那么______.反过来也对.这个基本事实可以表示为a>b⇔________，a＝b⇔________，a<b⇔________. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与________的大小. 2.等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 (1)如果a>b，那么________；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔________. (2)如果a>b，b>c，那么________. 即a>b，b>c⇒________. (3)如果a>b，那么________. (4)如果a>b，c>0，那么_____________； 如果a>b，c<0，那么________. (5)如果a>b，c>d，那么________. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么________. (7)如果a>b>0，那么________(n∈N，n≥2). 探究点一　利用不等式(组)表示不等关系 【典例1】　某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 【解】　设甲、乙两种产品的产量分别为x件、y件，由题意可知， 【方法总结】　 用不等式(组)表示不等关系的3个步骤 (1)分析题中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量设为x或y，再用x或y来表示其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组). [对点训练] 　(1)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________. (2)某品牌风味酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 探究点二　比较数(式)的大小 【典例2】　(1)设m＝2a2＋2a＋3，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________. 【解析】　m－n＝2a2＋2a＋3－(a＋1)2＝a2＋2>0.故m>n. 【答案】　m>n (2)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小. 【解】　x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4) ＝m3(m－n)－n3(m－n) ＝(m－n)(m3－n3) ＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， 因为m≠n，所以(m－n)2>0， 因为m2＋mn＋n2＝(m＋)2＋>0， 所以(m－n)2(m2＋mn＋n2)>0， 所以x－y>0，所以x>y. 【方法总结】　 比较两个数(式)大小的两种方法 (1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据. (2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小. [对点训练] 　(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c≥b>a　　　 B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b (2)若m<n，p<q，且(p－m)(p－n)<0，(q－m)·(q－n)<0，则m，n，p，q的大小顺序是________. 探究点三　不等式的基本性质 【典例3】　(1)(多选题)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能推出<成立的有(　　) A.① B.② C.③ D.④ (2)对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2. 其中正确的是________(填序号). 【解析】　(1)运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②④正确.又正数大于负数，①正确，③错误. (2)①中，c的正负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确. ②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确. ③中，⇒a2>ab，⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确.故填②③. 【答案】　(1)ABD　(2)②③ 【方法总结】　 利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. [归纳小结] 1.作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差. 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”. 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论. 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. 2.在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理的过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正. A基础巩固练 1.(多选题)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆三种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂两种薄板张数见下表： 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆三种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块.上述问题中不等关系表示正确为(　　) A.5x＋3y＋10z≥55 B.5x＋3y＋10z≤55 C.12x＋6y＋13z≤125 D.12x＋6y＋13z≥125 2.若a<b<0，则下列不等式不成立的是(　　) A.>　　 B.> C.|a|>|b| D.a2>b2 3.若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.不正确的不等式的个数是(　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线一共40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60 km/h，设需摩托车运送的路段平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为(　　) A.>1　　 B.<1 C.＋>1 D.＋<1 5.设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知2<m<7，－3<n<－1，则(　　) A.0<3m＋2n<19 B.4<3m＋2n<15 C.－5<3m＋2n<11 D.1<3m＋2n<5 7.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________________. 8.给出下列命题： ①若ab>0，a>b，则<； ②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③对于正数a，b，m，若a<b，则<. 其中真命题的序号是________. B能力提升练 9.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.xy＞yz B.xz＞yz C.xy＞xz D.xy＞zy 10.若a＜b＜c，则＋的值为(　　) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 11.若a＞b＞0，则a＋________(填“＜”“＞”或“＝”)b＋. 12.已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b和的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$