1.5 全称量词与存在量词-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

1.5　全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 符号 ______ 全称量词命题 含有________的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“________” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ________ 续表 存在量词命题 含有________的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：_____________，全称量词命题的否定是_____________. (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：_____________，存在量词命题的否定是_____________. 4.命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假. 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的概念及真假判断 【典例1】　(1)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D.存在x∈R,2x＋1是奇数 (2)下列命题为真命题的是(　　) A.∀x∈R，x2－x－1>0 B.∃x∈R，x2＋x＝－1 C.∃x∈R，x2－x＋1＝0 D.∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 【解析】　(1)因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题. (2)x2－x－1＝2－≥－，所以A是假命题.x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以B是假命题；x2－x＋1＝2＋≥，所以C是假命题.x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以D是真命题. 【答案】　(1)C　(2)D 【方法总结】 1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法： (1)分析命题中是否含有量词. (2)分析量词是全称量词还是存在量词. (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： (1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. (2)要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. [对点训练] 1.以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 2.给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立. 其中是全称量词命题的个数为(　　) A.1　　　　　 B.2 C.3 D.0 探究点二　由全称量词(存在量词)命题的真假确定参数的范围 【典例2】　(1)若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a≤1 C.－1<a<1 D.－1<a≤1 (2)已知命题P：∀x∈(2,3)，x2＋5>ax是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥2} B. C. D.{a|a≤2} 【解析】　(1)当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0； 当a>0时，由Δ＝4－4a2>0， 解得－1<a<1，故0<a<1. 综上所述，实数a的取值范围是a<1. (2)若∀x∈(2,3)，x2＋5>ax恒成立，则a<min，x∈(2,3). 因为f(x)＝x＋在(2，)上是减函数，在(，3)上为增函数，所以函数f(x)的最小值是f()＝2，则a<2. 因为命题P：∀x∈(2,3)，x2＋5>ax是假命题，所以a≥2，实数a的取值范围是{a|a≥2}. 【答案】　(1)A　(2)A 【方法总结】　应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入求解，也可以根据函数等数学知识来解决. (2)存在量词命题的常见题型是对适合某种条件的结论用“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设. [对点训练] 1.若命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________. 2.若命题“∃x∈(－1,1),2x＋a＝0”是真命题，则a的取值范围是________. 探究点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例3】　(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【解析】　量词“存在 ”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”.故选B. 【答案】　B (2)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B.∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C.∃x∈R，x2－2x＋1<0 D.∀x∈R，x2－2x＋1<0 【解析】　因为命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为∃x∈R，x2－2x＋1<0.故选C. 【答案】　C 【方法总结】 写全称量词命题与存在量词 命题的否定的思路 在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.[归纳小结] 1.判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词. 2.判定全称量词命题的真假的方法：定义法，对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法，在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假. 3.判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假. 4.写出一个含有量词的命题的否定，一般分两步：一是改量词，二是否结论. 5.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意到一个命题和命题的否定一真一假. A基础巩固练 1.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(　　) A.存在x∈R，使得f(x)>0成立 B.存在x∈R，使得f(x)≤0成立 C.对任意x∈R，使得f(x)>0成立 D.对任意x∈R，使得f(x)≤0成立 3.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“＝”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，则命题p：∀x，y∈R，(x＋y)3>x3＋y3的否定为(　　) A.∀x，y∈R，(x＋y)3<x3＋y3 B.∃x，y∈R，(x＋y)3>x3＋y3 C.∃x，y∈R，(x＋y)3<x3＋y3 D.∃x，y∈R，(x＋y)3≤x3＋y3 4.给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x>0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数.下列说法正确的是(　　) A.四个命题都是真命题 B.①②是全称量词命题 C.②③是存在量词命题 D.四个命题中有两个假命题 5.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R,2x＋1＞0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 6.已知命题“存在－1≤x≤1，－x2＋3x＋a>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.　　 B. C. D. 7.在下列存在量词命题中真命题有________(填序号). ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 8.已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________. B能力提升练 9.命题“∀A⊆B，Card(A)≤Card(B)”的否定是(　　) A.∃A⊆B，Card(A)>Card(B) B.∃A⊆B，Card(A)≤Card(B) C.∀A⊆B，Card(A)>Card(B) D.∃A⊆B，Card(A)≥Card(B) 10.已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a＜0 B.0≤a＜4 C.a≥4 D.0＜a＜4 11.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________. 12.命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数. (1)写出命题p的否定； (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5　全称量词与存在量词 [基础知识整合] 1.∀　全称量词　∀x∈M，p(x)　2.∃　存在量词 3.(1)∃x∈M，綈p(x)　存在量词命题　(2)∀x∈M，綈p(x)　全称量词命题 [新知自主探究] 典例1　对点训练 1.B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题. 2.B　因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 典例2　对点训练 1.解析：因为命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，所以∀x∈R，x2－2x＋m>0为真命题， 即Δ＝4－4m<0，得m>1. 答案：{m|m>1} 2.解析：设y＝2x＋a，则y＝2x＋a在(－1，1)内有零点，所以(a＋2)(a－2)<0，解得－2<a<2. 答案：－2<a<2 [学习效果检测] 1.D　全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定. 2.A　“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)>0成立”. 3.D　因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p：∀x，y∈R，(x＋y)3>x3＋y3的否定为∃x，y∈R，(x＋y)3≤x3＋y3.故选D. 4.C　①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题. 5.C 6.D　命题存在“－1≤x≤1，－x2＋3x＋a>0”为真命题，等价于a>x2－3x在上有解，令y＝x2－3x，，则等价于a>ymin＝－2，所以a>－2. 7.①②③ 8.解析：由题意可得“对∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0得－1<a<3. 答案： 9.A　由否定的定义可得，命题“∀A⊆B，Card(A)≤Card(B)”的否定是∃A⊆B，Card(A)>Card(B).故选A. 10.D　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×＜0，即Δ＝(a－2)2＜4，则－2＜a－2＜2，即0＜a＜4，故选D. 11.解析：∵命题綈p是假命题，∴p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 答案：{a|a≤1} 12.解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，则需要使的解集不为空集.a，b应满足的条件是b＜a. 学科网（北京）股份有限公司 $$