1.4 充分条件与必要条件-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

1.4　充分条件与必要条件 [基础知识整合] 1.判断真假　真　假　条件　结论　2.⇒　　　充分　必要　不是　不是　充分　必要　3.p⇒q　充分必要条件　充要条件 [新知自主探究] 典例1　对点训练 　解析：当m＝1时，m2－4m＋5＝2，反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝1或m＝3.所以m＝3也能使函数为二次函数. 答案：充分 典例2　对点训练 1.解析：p：x(x－3)<0，则0<x<3， q：2x－3<m则x<， 由题意知p⇒q，q p则≥3解得m≥3. 答案：{m|m≥3} 2.解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，所以m＝－2. 答案：m＝－2 [学习效果检测] 1.A　若x>1且y>1，则x＋y>2成立，故p是q的充分条件；若x＋y>2，如x＝4，y＝－1，故p不是q的必要条件. 2.AD　对于A，两个三角形全等⇒两个三角形的面积相等，故充分性成立；但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立.所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确；对于B，由a>b推不出a2>b2，如a＝0，b＝－1，满足a>b，但是a2<b2，故充分性不成立；由a2>b2也推不出a>b，如a＝－2，b＝－1，满足a2>b2，但是a<b，故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，当n＝4时，一元二次方程x2－4x＋4＝0的根为x1＝x2＝2，故C错误；对于D，若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，解得m＝－2，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2，故D正确；故选AD. 3.BCD　由于x2<1即－1<x<1，A显然不能使－1<x<1成立，B、C、D满足题意. 4.C　x2－x<0⇒0<x<1，运用集合的知识易知只有C中由<x<可以推出0<x<1，其余均不可. 5.B　因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. 6.ABC　A选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误；B选项，当x＝－1，y＝－2时，x2<y2，则B错误；C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误；D选项，由m>2，得m2>4，即m2－4>0，则方程x2－mx＋1＝0有实根，故D正确. 故选ABC. 7.解析：由x＝－1⇒x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要条件. 答案：充分　必要 8.解析：方程x2－4x＋a＝0有实根，需要Δ≥0，即a≤4，所以当a＝2时方程有实根.所以是充分条件. 答案：充分 9.B　若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三角形，则△ABC不是黄金三角形. 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角是36°. 则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件. 故选B. 10.A　由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但ADD，故选A. 11.解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案：－2 12.解：(1)由题意得，p⇒q，q p，所以p是q的充分不必要条件； (2)若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2＋b2＞0，反之由a2＋b2＞0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p⇔q，所以p是q的充要条件； (3)p：a＋1＞b，q：a＞b，因为a＋1＞a，所以q⇒p，p q，所以p是q的必要不充分条件； (4)若－5x2ym与xny是同类项，若m＝1，n＝2，所以m＋n＝3，当m＋n＝3时，－5x2ym与xny不一定是同类项，所以p⇒q，q p，所以p是q的充分不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4　充分条件与必要条件 1.命题及相关概念 2.充分条件与必要条件 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p________q 由条件p不能推出结论q，记作：p________ q 条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p____q的充分条件 q______p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个____________条件. 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________条件. 3.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有________，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件.我们说p是q的______，简称为充要条件. 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为________. 探究点一　充分条件和必要条件的判断 【典例1】　(1)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________(填“充分”或“必要”)条件. (2)下列式子： ①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a； ④0<b<a. 其中能使<成立的充分条件有________(只填序号). 【解析】　(1)因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，所以a∈B且 a≠1，所以a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件. (2)当a<0<b时，<0<； 当b<a<0时，<<0； 当b<0<a时，<0<； 当0<b<a时，0<<. 所以能使<成立的充分条件有①②④. 【答案】　(1)充分　(2)①②④ 【方法总结】　 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件. (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件. [对点训练] 　m＝1是y＝x m ＋4m+5为二次函数的______(填“充分”或“必要”)条件. 探究点二　充分条件、必要条件、充要条件的应用 【典例2】　(1)已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)·(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________. 【解析】　化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，由于q是p的充分条件， 故有解得－1≤a≤6. 【答案】　－1≤a≤6 (2)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________. 【解析】　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－. 由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝. 综上可知，a＝－或a＝. 【答案】　－或 【方法总结】 由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解. [对点训练] 1.若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 2.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. [归纳小结] 1.能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件. 2.充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件.“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件. 3.掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系. 4.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. A基础巩固练 1.设p：实数x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的必要而不充分条件 C.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝3 D.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2 3.(多选题)下列式子中，可以是x2<1的充分条件的为(　　) A.x<1　　　 B.0<x<1 C.－1<x<1 D.－1<x<0 4.已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　　) A.0<x<2 B.－1<x<1 C.<x< D.<x<2 5.若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分条件也不必要条件 D.充要条件 6.(多选题)下列命题不正确的有(　　) A.对角线垂直的四边形是菱形 B.若x>y，则x2>y2 C.若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D.若m>2，则方程x2－mx＋1＝0有实根 7.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的______条件.(用“充分”“必要”填空) 8.“a＝2”是“方程x2－4x＋a＝0有实根”的________________(填“充分”或“必要”)条件. B能力提升练 9.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中(例如图中所示的建筑)，黄金三角形有两种，一种是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，另一种是顶角为108°；底角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________. 12.在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答). (1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形. (2)p：a，b至少有一个不为零；q：a2＋b2＞0. (3)p：a＋1＞b；q：a＞b. (4)p：－5x2ym与xny是同类项；q：m＋n＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$