第2课时 补集-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

第2课时　补集 1.全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集. (2)符号表示：全集通常记作________. 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中______________的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{________} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U，∁UU＝________，∁U∅＝________； (2)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝________，∁U(∁UA)＝________ 探究点一　全集、补集的运算 【典例1】　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝(　　) A.∅　　　　　 B.{1,3,6,7} C.{2,4,6} D.{1,3,5,7} (2)已知全集U＝{x|x>0}，∁UA＝{x|1<x≤2}，则A＝________. 【解析】　(1)因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则全集U去掉集合A中的元素余下的元素为1,3,6,7，可得∁UA＝{1,3,6,7}. (2)解法一　A＝∁U(∁UA)＝{x|0<x≤1或x>2}. 解法二　如图，画出数轴，表示出U及∁UA， 由数轴可得A＝{x|0<x≤1或x>2}. 【答案】　(1)B　(2){x|0<x≤1或x>2} 【方法总结】　求补集的方法 (1)全集及其子集是用列举法表示：从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合. (2)较为复杂的集合，还可借助Venn图求解. (3)全集及其子集是用不等式表示的，常借助数轴求解. [对点训练] 1.U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,6}，则 ∁UM＝(　　) A.{2,3,5} B.{2,4,6} C.{2,4,5} D.U 2.若全集U＝{x|－2≤x≤2}，则集合A＝{x|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0≤x≤2} 探究点二　集合交、并、补的综合运算 【典例2】　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 【解】　(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}. 又A＝{2,3,5,6}， 所以A∩(∁UB)＝{2,5}. (2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}. 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－1<x<2}∩ ＝{x|0<x<2}. 【答案】　(1)A　(2)略 【方法总结】 1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异. (2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念. (3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系. 2.补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A. [对点训练] 　已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(　　) A.{1,6}　　 B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 探究点三　补集的综合应用 【典例3】　(1)已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，若A⊆∁RB，则a的取值范围为________. 【解析】　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅. 因为A⊆∁RB，所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2. ②若A≠∅，则有 或 所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2. 【答案】　a≤1或a≥2 (2)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(∁UA)＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值. 【解】　因为B∩(∁UA)＝{2}， 所以2∈B，但2∉A. 因为A∩(∁UB)＝{4}， 所以4∈A，但4∉B. 所以解得 所以a，b的值分别为，－. 【方法总结】　 已知集合的运算结果求参数的值或范围 (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. (2)列方程(组)或不等式(组)求解. (3)注意对结果进行检验，避免违背元素的互异性. (4)注意对空集的讨论，以避免漏洞. [对点训练] 　(1)已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________. (2)已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁UA＝{1}，则实数a的值是　　　　. [归纳小结] 1.补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集. 2.补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想. 3.从符号角度来看，若x∈U，A⊆U，则x∈A和 x∈∁UA二者必居其一. 4.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形. A基础巩固练 1.设全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}，则∁UA＝(　　) A.{1,2}　　 B.{1,4} C.{2,4} D.{1,3,4} 2.(2024·全国甲卷·理)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，集合B＝{x|－1≤x<0}，则A∪(∁UB)＝(　　 ) A.{x|x<－1或x≥0} B.{x|x<－1或x>1} C.{x|x<－2或x>1} D.{x|x<－2或x≥0} 4.若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　) A.3个 B.5个 C.7个 D.8个 5.若全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{c}，则集合{d}＝(　　) A.∁U(A∪B) B.A∪B C.A∩B D.∁U(A∩B) 6.设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1<x<2a，a∈R}，N＝{x|－1<x<3}，若N⊆(∁UM)，则实数a的取值范围是(　　) A.a≥1 B.a≤－ C.a≥1或a≤－ D.a≤－1或a≥ 7.已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合(∁RB)∩A＝________. 8.已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数a＝________. B能力提升练 9.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a＜1} C.{a|a≥2} D.{a|a＞2} 10.设全集U，有以下四个关系式： 甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：∁UB⇐∁UA；丁：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA. 如果有且只有一个不成立，则该式是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________. 12.设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(∁UM)∩N. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　补集 [基础知识整合] 1.(1)所有元素　(2)U　2.不属于集合A　x|x∈U，且x∉A　(1)∅　U　(2)∅　A [新知自主探究] 典例1　对点训练 1.C　因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，6}，所以∁UM＝{2，4，5}. 2.C　因为U＝{x|－2≤x≤2}，所以A＝{x|－2≤x≤0}的补集∁UA＝{x|0<x≤2}. 典例2　对点训练 　C　由已知得∁UA＝{1，6，7}，所以B∩∁UA＝{6，7}. 典例3　对点训练 　(1)解析：因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}， 所以A＝{x|1≤x<2}.所以b＝2. 答案：2 (2)解析：∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，∁UA＝{1}， ∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0， 解得a＝－1或a＝2. 答案：－1或2 [学习效果检测] 1.B　解x2－5x＋4<0得1<x<4，所以A＝{2，3}，所以∁UA＝{1，4}. 2.D　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}， 则∁A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D. 3.A　全集U＝R，B＝{x|－1≤x<0}，所以∁UB＝{x|x<－1或x≥0}，又集合A＝{x|x<－2或x>1}，所以A∪(∁UB)＝{x|x<－1或x≥0}. 4.C　A＝{0，1，3}，真子集有7个. 5.A　因为全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{c}， 所以A∪B＝{a，b，c}，则∁U(A∪B)＝{d}. 6.C　因为M＝{x|3a－1<x<2a}，若M≠∅，则2a>3a－1，即a<1，又∁UM＝{x|x≤3a－1或x≥2a}，N⊆(∁UM)， 所以或所以a≤－. 若M＝∅，则2a≤3a－1，即a≥1，此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立. 综上知a的取值范围是a≥1或a≤－. 7.解析：因为B＝{x|－2≤x≤2}，所以∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，(∁RB)∩A＝{x|x>2}. 答案：{x|x>2} 8.解析：由∁UA＝{5}，说明5∈U，5∉A，且3∈A，列式可得 得所以a＝2. 答案：2 9.C　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示. ∵A∪(∁RB)＝R，∴a≥2. 10.C　由题意，甲：A∩B＝A⇔A⊆B； 乙：A∪B＝B⇔A⊆B； 丙：∁UB⇐∁UA⇔∁UA⊆∁UB⇔B⊆A； 丁：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA⇔∁UB⊆∁UA⇔A⊆B. 由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙.故选C. 11.解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}. 则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6} ∴A∪B＝{1，3，5，6，7} ∴∁U(A∪B)＝{2，4，8}. 答案：{2，4，8} 12.解：对于集合M，当m＝0时，x＝－1，即M＝{0}，当m≠0时，Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，且m≠0，所以∁UM＝，而对于集合N，Δ＝1－4n≥0，即n≤，所以N＝，所以(∁UM)∩N＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$