第1课时 并集、交集-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

第1课时　并集、交集 1.并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由________集合A________集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________(读作“________”) A∪B＝________ 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由______集合A______集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作________(读作“______”) A∩B＝_______ 3.并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝________ A∩A＝________ A∪∅＝________ A∩∅＝________ 探究点一　并集的运算 【典例1】　(1)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　) A.{0,1}　 B.{－1,0,1} C.{0,1,2} D.{－1,0,1,2} (2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　) A.{x|－1≤x<3} B.{x|－1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1} 【解析】　(1)因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0，1,2}. (2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}， 如图，P∪Q＝{x|x≤4}. 【答案】　(1)D　(2)C 【方法总结】　求并集的基本方法 [对点训练] 已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，　那么P∪Q＝(　　) A.{x|－1<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|－1<x<0} D.{x|1<x<2} 探究点二　交集的运算 【典例2】　(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∩B＝(　　) A.{x|－1<x<1} B.{x|－2<x<1} C.{x|－2<x<2} D.{x|0<x<1} (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A.5　　　　 B.4 C.3 D.2 【解析】　(1)如图所示： 公共范围是0<x<1，即A∩B＝{x|0<x<1}. (2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2.而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D. 【答案】　(1)D　(2)D 【方法总结】　求集合交集的方法 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据交集的定义或Venn图求解. (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析求解. [对点训练] 1.已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{－1,0,1}，则A∩B＝(　　) A.{1} B.{0,1} C.{－1,0} D.∅ 2.已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，则A∩B＝(　　) A.x＝1，y＝1 B.(1,1) C.{1,1} D.{(1,1)} 探究点三　并集、交集性质的应用 【典例3】　(1)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________. 【解析】　因为M∩N＝{3}， 所以a2－3a－1＝3， 解得a＝－1或a＝4. 又N＝{－1，a,3}，所以a≠－1， 所以a＝4. 【答案】　4 (2)设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________. 【解析】　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝，且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6. 【答案】　k≤6 【方法总结】　 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理. (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉. [归纳小结] 1.对并集、交集概念的理解 (1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合. (2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到. A基础巩固练 1.(2024·天津卷)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　) A.{1,2,3,4}　　　 B.{2,3,4} C.{2,4} D.{1} 2.已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B＝(　　) A.{x|2<x<3} B.{x|－1≤x≤5} C.{x|－1<x<5} D.{x|－1<x≤5} 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3 }，则 A∩B＝(　　) A.{－1,0} B.{2,3} C.{－3，－1,0} D.{－1,0,2} 4.政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是(　　) A.A∪B＝A B.A∪B＝B C.A∩B＝A D.A＝B 5.若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　) A.{1,4} B.{－1，－4} C.{0} D.∅ 6.已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1，0,1}的集合N的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 7.已知集合A＝{1,3}，B＝{a，a2＋4}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________. 8.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________. B能力提升练 9.(多选题)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于(　　) A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} 10.(多选题)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝∅，则实数a的值可以为(　　) A.－3 B.－2 C.－1 D.0 11.已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________. 12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}只有一个真子集，求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　并集、交集 [基础知识整合] 1.所有属于　或属于　A∪B　A并B　{x|x∈A，或x∈B} 2.属于　且属于　A∩B　A交B　{x|x∈A，且x∈B} 3.A　A　A　∅ [新知自主探究] 典例1　对点训练 　A　因为集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}. 典例2　对点训练 1.B　因为A＝{x|x≥0}，B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}. 2.D　联立得消去y得2x－1＝x2，即(x－1)2＝0，解得x＝1，y＝1，则A∩B＝{(1，1)}. [学习效果检测] 1.B　因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}，故选B. 2.B　因为集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，所以A∪B＝{－1≤x≤5}. 3.A　解法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 解法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 4.A　根据题意，x∈A推不出x∈B，x∈B能推出x∈A，所以B⊆A，故A∪B＝A.故选A. 5.D　因为M＝{－4，－1}，N＝{4，1}， 所以M∩N＝∅. 6.C　由M∪N＝{－1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N， 又M＝{－1，0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{－1，1}或{0，－1，1}，共4个. 7.解析：由题意1∈B，显然a2＋4≥4，所以a＝1，此时a2＋4＝5，满足题意. 答案：1 8.解析：A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠∅，得a≥－1. 答案：a≥－1 9.AC　∵{1}∪B＝{1，2}，∴B可能为{2}或{1，2}. 10.AB　如图，要使A∩B＝∅，应有a＜－1. 11.解析：用数轴表示集合A，B如图所示. 由A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6. 答案：6 12.解：当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－；当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上所述，a＝0或1. 学科网（北京）股份有限公司 $$