1.2 集合间的基本关系-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

1.2　集合间的基本关系 1.子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作________(或________)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A______A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.集合相等的概念 如果集合A的________是集合B的元素，同时集合B的________都是集合A的元 素，那么，集合A与集合B相等，记作________.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 3.真子集的概念 定义 如果集合A⊆B，但存在元素________，且______，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 图示 结论 (1)AB且BC，则A________C； (2)A⊆B且A≠B，则A________B 4.空集的概念 定义 我们把________的集合，叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的________，即∅⊆A 探究点一　集合与集合间关系的判定 【典例1】　(1)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，则(　　) A.A⊆B　　　 B.B⊆A C.A＝B D.AB (2)下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号). ①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}； ②{菱形}⊆{矩形}； ③{x|x2＝0}⊆{0}； ④{(0,1)}⊆{0,1}； ⑤{1}∈{0,1,2}； ⑥{x|x>1}⊆{x|x≥2}. 【解析】　(1)如图所示 A的范围包含B的范围，所以B⊆A. (2)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1}⊇{x|x≥2}.因此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥. 【答案】　(1)B　(2)①③ 【方法总结】　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合元素是什么，弄清集合元素特征，再利用集合元素特征判断. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. [对点训练] 　写出满足{1,2}A⊆{1,2,3,4,5}的所有集合A. 探究点二　相等问题 【典例2】　设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.－1 【解析】　由A＝B，知x＝0或y＝0. 当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1. 由上知x＝0不合题意.故x＝1，y＝0， 则2x＋y＝2. 【答案】　C 【方法总结】　集合相等的解题策略 (1)利用集合相等的概念建立方程组. (2)列方程组时针对不同情况常常要分类讨论. [对点训练] 　设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝________. 探究点三　由集合间的关系求参数问题 【典例3】　(1)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且NM，则a的取值集合为________. 【解析】　化简M＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为ax＋2＝0的系数a是字母，所以对a分类讨论如下： 当a＝0时，ax＋2＝0无解，所以N＝∅满足题意，当a≠0时，ax＋2＝0的解为x＝－，因为NM，所以由－＝－3，得a＝，由－＝2，得a＝－1，所以符合条件的a的取值集合为. 【答案】　 (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围. 【解】　因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时有 解得－1≤m<2，综上得m≥－1. 【方法总结】　 应用集合关系求参数的四个步骤 [对点训练] 　设A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A.{a|a<－1} B.{a|a≤－1} C.{a|a≥1} D.{a|a>1} [归纳小结] 1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法. (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素. (3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉. 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形； ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答. A基础巩固练 1.已知下列四个命题：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集.其中正确的命题个数是(　　) A.0　　 B.1 C.2 D.3 2.(多选题)下列四个集合中，不是空集的是(　　) A.{x|x＋3＝3} B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 3.已知集合M＝{x|－<x<，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A.P＝{－3,0,1} B.Q＝{－1,0,1,2} C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D.S＝{x||x|<，x∈N} 4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2} 5.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(　　) A.A＝B B.BA C.AB D.B⊆A 6.已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|x∈A}，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A＝B D.以上都错 7.已知集合A＝{x|1<x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________. 8.设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝________. B能力提升练 9.设A＝{x|－3＜x＜2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A.a≤－3 B.a≤2 C.a≥2 D.a≥－3 10.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.－∉Q B.方程x2＋9＝6x的解集为 C.方程组的解集为 D.集合＝{x|x＝3k－1，k∈Z} 11.设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________. 12.设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A. (1)求实数m的取值范围； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2　集合间的基本关系 [基础知识整合] 1.任意一个　A⊆B　B⊇A　⊆ 2.任何一个元素　任何一个元素　A＝B 3.x∈B　x∉A　(1)　(2) 4.不含任何元素　子集 [新知自主探究] 典例1　对点训练 　解：由(1，2)A⊆{1，2，3，4，5}可知集合A中必含元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此根据集合A的元素的个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}. 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}. 含有5个元素：{1，2，3，4，5}. 典例2　对点训练 　解析：因为A＝{4，a}，B＝{2，ab}，A＝B， 所以解得a＝2，b＝2，所以a＋b＝4. 答案：4 典例3　对点训练 　B　集合B＝{x|x>a}，A⊆B，则只要a≤－1即可. [学习效果检测] 1.B　空集是不含任何元素的集合，所以①错误；空集是任何集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只有一个，所以②③错误，④正确. 2.AB　C.A中集合为{0}，B中为{(0，0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集. 3.D　集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M. 4.D　由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}. 5.C　B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以AB. 6.C　由题意可得，集合B＝{1，2，3}，所以A＝B. 7.解析：因为A＝(2，5]，A⊆B，所以5<a， 又a∈(c，＋∞)，所以c＝5. 答案：5 8.解析：因为B＝{3}⊆A，所以3∈A， 即9－15＋m＝0，所以m＝6. 答案：6 9.A　∵A⊆B，∴a≤－3. 10.ACD　－是无理数，所以－∉Q，故A正确；方程x2＋9＝6x解得x1＝x2＝3，所以解集为，故B错误；由方程组解得 所以解集为，故C正确；因为x＝3k＋2＝3－1，所以{x|x＝3k＋2，k∈Z}＝，故D正确；故选ACD. 11.解析：∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P. 答案：M＝P 12.解：(1)①当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝∅符合题意；②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅. 由B⊆A，借助数轴如图所示， 得解得0≤m≤. 所以0≤m≤. 综合①②可知， 实数m的取值范围为. (2)∵当x∈N时，A＝{0，1，2，3，4，5，6}， ∴集合A的子集的个数为27＝128. 学科网（北京）股份有限公司 $$