第2课时 集合的表示-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

第2课时　集合的表示 1.列举法 把集合的所有元素________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有________的元素x所组成的集合表示为________，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线. (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的________. 探究点一　用列举法表示集合 【典例1】　用列举法表示下列集合. (1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合； (3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合. 【解】　(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}. (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{4,2}. (3)方程组的解是 所求集合为. 【方法总结】　 列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}. (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}. (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0,1,2,3，…}. 【注意】　(1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的. (2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏. [对点训练] 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合. 探究点二　用描述法表示集合 【典例2】　用描述法表示下列集合： (1)被3除余数等于1的整数的集合； (2)比1大又比10小的实数的集合； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合. 【解】　(1)被3整除的整数可以表示为3n，n∈Z，故被3除余数等于1的整数的集合可表示为{x|x＝3n＋1，n∈Z}. (2)比1大又比10小的实数的集合可以表示为{x|1<x<10，x∈R}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x<0，y>0}. 【方法总结】 使用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等. (2)说明该集合中元素的共同属性. (3)不能出现未被说明的字母. (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. [对点训练] 　用描述法表示下列集合： (1)大于4的所有偶数； (2)直线y＝2x＋3上的点组成的集合. 探究点三　集合表示方法的简单应用 【典例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合. 【解】　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根， 所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}. 【方法总结】　此题容易漏解k＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程.其实，当k＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当k≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对k进行分类讨论. [对点训练] 已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围. [归纳小结] 1.表示集合的要求 (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数有限的集合，也可以表示元素个数无限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意的问题 (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑. A基础巩固练 1.集合还可以表示为(　　) A.　 B. C. D. 2.把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为(　　 ) A.{x＝1，x＝2} B.{x|x＝1，x＝2} C.{x2－3x＋2＝0} D.{1,2} 3.设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为(　　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.(多选题)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1＋x2∈B D.x1＋x2＋x3∈A 5.(多选题)下列集合，表示相等集合的是(　　) A.{(－5,3)}，{－5,3} B.{3，－5}，{－5,3} C.{π}，{3.1415} D.{x|x2－3x＋2＝0}，{y|y2－3y＋2＝0} 6.设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则a＝________，A＝________. 8.已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________. B能力提升练 9.下列命题正确的是(　　) ①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.只有②和④ 10.已知P＝{x|2＜x≤k，x∈N}，若集合P中恰有4个元素，则(　　) A.6＜k＜7 B.6≤k＜7 C.5＜k＜6 D.5≤k＜6 11.若集合A＝{x|ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a＝________. 12.设集合B＝. (1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　集合的表示 [基础知识整合] 1.一一列举　2.(1)共同特征P(x)　{x∈A|P(x)} (2)一般符号　取值(或变化)范围　共同特征 [新知自主探究] 典例1　对点训练 　解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}. (2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}. (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}. (4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}. 典例2　对点训练 　解：(1)偶数可表示为2n，n∈N，因为大于4，故n≥3，所以可表示为{x|x＝2n，n∈N且n≥3}. (2)直线y＝2x＋3上的点用坐标表示为(x，y)，故直线y＝2x＋3上的点的集合可表示为{(x，y)|y＝2x＋3}. 典例3　对点训练 　解：当a＝0时，A＝，当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－. 故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0 [学习效果检测] 1.A　＝.故选A. 2.D　解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1，2}. 3.C　由题意，B＝{2，3，4，5，6，8}，共有6个元素. 4.ABC　由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集，所以x1，x2是奇数，x3是偶数，所以x1＋x2＋x3应为偶数，即x1＋x2＋x3∉A. 5.BD　A中{(－5，3)}表示点集，{－5，3}表示数集，不相等；由集合中元素的无序性，B中两集合相等；因为π≠3.1415，故C中两集合不相等；D中两集合均为{1，2}. 6.C　若x∈B，则－x∈A，所以x的可能取值为2，0，－1，－3，当2∈B时，则1－2＝－1∉A， 所以2∈B；当0∈B时，则1－0∈A，所以0∉B； 当－1∈B时，则1－(－1)＝2∉A，所以－1∈B； 当－3∈B时，则1－(－3)＝4∉A，所以－3∈B. 综上，B＝{－3，－1，2}，所以集合B含有的元素个数为3. 7.解析：把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3，1}. 答案：－3　{－3，1} 8.解析：(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4，02＝0，所以B＝{0，1，4}. 答案：{0，1，4} 9.C　①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误.根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举. 10.B 11.0 12.解：(1)当x＝1时，＝2∈N； 当x＝2时，＝∉N，所以1∈B，2∉B. (2)令x＝0，1，4代入∈N检验，可得B＝{0，1，4}. 学科网（北京）股份有限公司 $$