第1课时 集合的概念-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

第1课时　集合的概念 1.元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把________统称为元素，元素常用______________表示. (2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为____________)，集合通常用______________表示. (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是________的，就称这两个集合是相等的. 2.元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是____________的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就__________了.简记为“确定性”. (2)互异性：一个给定集合中的元素是____的.也就是说，集合中的元素是________的.简记为“互异性”. (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后、________顺序的.简记为“无序性”. 3.元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作________. (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a______集合A，记作______. 4.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 ________ 有理数集 ________ 记法 ________ ______ Z ________ R 探究点一　集合的概念 【典例1】　下列所给的对象能构成集合的是________. ①所有的正三角形； ②本班全体帅哥； ③某校高一年级所有16岁以下的学生； ④联合国安理会常任理事国； ⑤漂亮的花； ⑥2的近似值的全体. 【解析】　②中“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合；⑤中的“漂亮”、⑥中的“近似”标准不明确，不能组成集合.①③④中的对象都是确定的，可以组成集合. 【答案】　①③④ 【方法总结】　 判断一些对象能否构成集合的方法 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键. (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准. 【提醒】　注意集合中元素的互异性、无序性. [对点训练] 　下列各组对象不能构成集合的是(　　) A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B.小于5的正整数 C.2024年高考数学难题 D.所有无理数 探究点二　元素与集合的关系 【典例2】　用符号“∈”或“∉”填空. 若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)______A，(1,1)____A，(－1,1)________A. 【解析】　第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上.所以(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)∉A. 【答案】　∈　∈　∉ 【方法总结】　 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及范围. (2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内. [对点训练] 　(1)下列关系中，正确的有(　　) ①∈R；②∉Q；③|－3|∈N； ④|－|∈Q. A.1个　　 B.2个 C.3个 D.4个 (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 探究点三　集合中元素的特征及应用 【典例3】　已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________. 【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1， 即a＝±1. 当a＝1时，集合A中有重复元素， 所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1. 【答案】　－1 【方法总结】 由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤 [对点训练] 　已知集合A为a－1,6，a2＋3a三个元素组成的集合，－2∈A，则a的值为(　　) A.－2 B.－1 C.－2或－1 D.1或－2 [归纳小结] 1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合. 2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据. 3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中参数的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性. A基础巩固练 1.考察下列各组对象，哪几组能构成集合？(　　) (1)比较小的数　(2)不大于10的偶数　(3)所有三角形　(4)高个子男生 A.(1)(4)　　 B.(2)(3) C.(2) D.(3) 2.给出下列6个关系：①22∈R；②∈Q；③0∉N；④4∈N；⑤π∈Q；⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b＝(　　) A.1 B.－1 C.±1 D.0 5.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　 ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 6.(多选题)下面几个命题，其中正确的命题是(　　) A.集合N中最小的数是1 B.若－a∉N，则a∈N C.若a∈N，b∈N，且a≠b，则a＋b的最小值是1 D.若a∉R，则a∉Q 7.已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，且1∉A，则实数a的取值范围是________. 8.设集合A中的元素有2,3，a2＋2a－3，集合B中的元素有|a＋3|,2.已知5∈A，5∉B，则a的值为________. B能力提升练 9.(多选题)集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为(　　) A.0　　 B.1 C.2 D.小于等于1 10.已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A.0∉M B.2∈M C.－4∉M D.4∈M 11.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A.(填“∈”或“∉”) 12.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求元素x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　集合的概念 [基础知识整合] 1.(1)研究对象　小写的拉丁字母a，b，c，…　(2)总体　集　大写的拉丁字母A，B，C，…　(3)一样 2.(1)确定　确定　(2)互不相同　不重复出现 (3)没有　 3.(1)属于　a∈A　(2)不属于　a∉A 4.整数集　实数集　N　N*或N＋　Q [新知自主探究] 典例1　对点训练 C　对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；对于C，2024年高考数学难题模棱两可，给定一个2024年高考数学题不能判断其是否为难题，不能构成集合；对于D，无理数明确可知，可以构成集合.故选C. 典例2　对点训练 　解析：(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数.因此，①②③正确，④错误. (2)因为a∈A且4－a∈A， a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4， 此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3， 此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2， 此时A含1个元素不满足要求. 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 答案：(1)C　(2)C 典例3　对点训练 　A　因为－2∈A，所以－2＝a－1或－2＝a2＋3a，解得a＝－2或－1. 当a＝－1时，a－1＝－2，a2＋3a＝－2, 此时不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去. 当a＝－2时，a－1＝－3，a2＋3a＝－2，此时A含有－3，－2，6三个元素，满足条件. 所以a＝－2. [学习效果检测] 1.B　在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成集合； 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成集合； 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合； 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成集合. 2.C　R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确. 3.B　这两个方程的实数解分别是2，3和2，－1，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成含有3个元素的集合. 4.C　由题意可知|b|＝1，所以b＝±1. 5.D　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 6.CD　集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误；－∉N且∉N，故B错误；a∈N，b∈N且a≠b，所以a＋b的最小值是1，C正确；不是实数，一定不是有理数，故D正确. 7.解析：∵1∉A，∴2＋a≤0，即a≤－2. 答案：a≤－2 8.解析：因为5∈A，5∉B， 所以解得a＝－4. 答案：－4 9.AB　因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，所以A＝{0，1}，又t∈A，所以t＝0或t＝1. 10.D　①当x，y，z均为正数时，代数式＋＋＋的值为4；②当x，y，z为两正一负时，代数式＋＋＋的值为0；③当x，y，z为一正两负时，代数式＋＋＋的值为0；④当x，y，z均为负数时，代数式＋＋＋的值为－4，所以集合M为{4，0，－4}，故选D. 11.∉　∈ 12.解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2－2x≠x，x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3. (2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.经检验，x＝－2符合互异性.故x＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$