专题10 函数的表示-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

专题10　函数的表示 [知识梳理] 1.一次函数和正比例函数的定义 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫一次函数.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就是y＝kx，这时y叫做x的正比例函数. 2.一次函数的图象及特征 (1)图象特征 ①一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条过(0，b)和的直线. ②正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条过(0,0)的直线. (2)一次函数的图象 函数 k，b的取值 大致图象 经过的象限 y＝kx (k≠0) k>0 一、三 k<0 二、四 y＝kx＋b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 k<0，b<0 二、三、四 3.反比例函数的有关概念 (1)反比例函数的定义 一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数. (2)反比例函数的解析式的三种形式 ①y＝(k为常数，k≠0)； ②y＝kx－1(k为常数，k≠0)； ③xy＝k(k为常数，k≠0). 4.反比例函数的图象及特征 (1)反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，且关于原点对称. (2)反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象. 函数 图象 所在象限 y＝(k为常数，k≠0) k>0 一、三象限(x，y同号) k<0 二、四象限(x，y异号) 5.二次函数的意义和函数表达式 (1)二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数且a≠0)的函数，叫做二次函数. (2)二次函数的三种形式 ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：y＝a2＋(a≠0). ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. [反馈训练] 1.如图，直线l1的解析表达式为y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C. (1)求点D的坐标； (2)求直线l2的解析表达式； (3)求△ADC的面积； (4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请写出点P的坐标. 2.如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M(2，m)，N(－1，－4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)根据图象写出使得反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10　函数的表示 [初中知识回眸]——反馈训练 1.解：(1)由y＝－3x＋3，令y＝0，得－3x＋3＝0， ∴x＝1，∴D(1，0)； (2)设直线l2的解析表达式为y＝kx＋b， 由图象知，x＝4，y＝0；x＝3，y＝－， 代入表达式y＝kx＋b， ∴∴ ∴直线l2的解析表达式为y＝x－6； (3)由解得∴C(2，－3)， ∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|－3|＝； (4)△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC的高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值＝|－3|＝3，则P到AD距离＝3， ∴P纵坐标的绝对值＝3，点P不是点C， ∴点P纵坐标是3，∵y＝x－6，y＝3， ∴x－6＝3，∴x＝6，∴P(6，3). 2.解：(1)∵点N(－1，－4)在反比例函数 y＝(k≠0)的图象上， ∴k＝(－1)×(－4)＝4， ∴反比例函数的关系式为y＝； ∵点M(2，m)在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝＝2，∴点M(2，2). 将M(2，2)，N(－1，－4)代入y＝ax＋b中， 得解得 ∴一次函数的关系式为y＝2x－2. (2)根据函数图象的上下位置关系可得 当x<－1或0<x<2时，反比例函数值大于一次函数值. 学科网（北京）股份有限公司 $$