专题8 二次函数与一元二次方程、不等式&专题9 函数的概念-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

专题8　二次函数与一元二次方程、不等式 [知识梳理] 初中阶段已经学过因式分解、一元二次不等式(组)和简单的一元二次方程及函数，掌握因式分解的基本技巧，熟练一元一次不等式(组)的解法，会求解一元二次方程的根，并熟悉一元二次函数的简略图象. 1.因式分解的方法一 (1)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)三数和平方公式：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2. (4)两数和立方公式：a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3. (5)两数差立方公式：a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3. 2.因式分解的方法二 系数不为1的十字相乘法分解因式：对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果一次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，那么a1，a2，c1，c2排列如下： 将a1，c2与a2，c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系数b，即a1c2＋a2c1＝b，则二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积，即ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2). 像这种借助画十字叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项分解因式的方法，叫做十字相乘法. [反馈训练] 1.下列分解因式正确的是(　　) A.xm＋1－3xn＝xn＋1 B.1＋4m2＋4m＝(1＋2m)2 C.x2－5＝x2－4－1＝(x＋2)(x－2)－1 D.2a2－3ab＋a＝a(2a－3b) 2.下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　) A.－x2＋16　 B.x2＋9 C.－x2－4 D.x2－2y 3.若对于一切实数x，等式x2－px＋q＝(x＋1)·(x－2)均成立，则p2－4q的值是________. 专题9　函数的概念 [知识梳理] 1.平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系.其中，水平的数轴叫x轴或横轴，竖直的数轴叫y轴或纵轴. (2)平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的. (3)各象限内点的坐标的符号特征 第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)， 第三象限(－，－)，第四象限(＋，－). 2.对称点的坐标 点(a，b)关于x轴的对称点是(a，－b)； 点(a，b)关于y轴的对称点是(－a，b)； 点(a，b)关于原点的对称点是(－a，－b). 3.坐标与距离 点(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，到原点的距离是 . 4.函数的概念 在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 5.函数的三种表示方法 列表法、图象法和解析法. 6.自变量取值范围的确定 自变量取值范围的确定通常考虑以下两个方面： (1)自变量的取值应使函数解析式有意义，如分母不为0、二次根式的被开方数为非负数等. (2)自变量的取值应使实际问题有意义. [反馈训练] 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为(　　) A.(－3，－5)　 B.(3,5) C.(3，－5) D.(5，－3) 2.如图，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移到A1B1，则a＋b的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.下列各选项中的等式不表示y是x的函数的是(　　) A.y＝x B.y＝x2 C.y＝|x| D.|y|＝x 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8　二次函数与一元二次方程、不等式 [初中知识回眸]——反馈训练 1.B　A.原式先考虑m＋1与n大小，再考虑提取的公因式，不符合题意；B.原式＝(1＋2m)2，符合题意；C.原式不能分解，不符合题意；D.原式＝a(2a－3b＋1)，不符合题意. 2.A 3.解析：由题意得－p＝1－2，q＝1×(－2)，∴p＝1， q＝－2，∴p2－4q＝1－4×(－2)＝1＋8＝9. 答案：9 专题9　函数的概念 [初中知识回眸]——反馈训练 1.B　根据平面直角坐标系中的点关于y轴对称的性质可知，两个点关于y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同，故点P(－3，5)关于y轴的对称点的坐标为(3，5). 2.A　3.D 学科网（北京）股份有限公司 $$