2.3 第2课时 有理数的乘法运算律（3大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 第2课时 有理数的乘法运算律（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：多个有理数相乘的符号法则、有理数的乘法运算律 主要题型：多个有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律、有理数乘法的实际运用 【知识点1】多个有理数相乘的符号法则 （1）几个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数时，积为正数；当负因数的个数为奇数时，积为负数 （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积等于0 【★易错点】 （1）几个不为0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，再把绝对值相乘 （2）如果几个数相乘的积为0，那么至少有一个因数为0 【例1】多个有理数的乘法运算 【典例】下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【知识点2】【教材重现】有理数的乘法运算律（教材P51） 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 乘法对加法的分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 【★易错点】运用乘法对加法的分配律时，要注意括号前面的符号，当括号外面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和，例如： 【例2】有理数的乘法运算律 【典例】张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算下面各题，能简算的要简算． 【变式3】利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【例3】有理数乘法的实际运用 【典例】海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【变式1】股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【变式2】张先生在上星期五以每股25元的价格买进某种股票1000股，该股票本周的涨跌情况如下表（单位：元），正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌；周末股市不开盘，股价无变化． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元，最低价是每股多少元； (2)本周五收盘时，张先生的1000股盈亏情况如何？ 【变式3】商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 第2课时 有理数的乘法运算律（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：多个有理数相乘的符号法则、有理数的乘法运算律 主要题型：多个有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律、有理数乘法的实际运用 【知识点1】多个有理数相乘的符号法则 （1）几个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数时，积为正数；当负因数的个数为奇数时，积为负数 （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积等于0 【★易错点】 （1）几个不为0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，再把绝对值相乘 （2）如果几个数相乘的积为0，那么至少有一个因数为0 【例1】多个有理数的乘法运算 【典例】下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式2】数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【变式3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义． （1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1． （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 【知识点2】【教材重现】有理数的乘法运算律（教材P51） 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 乘法对加法的分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 【★易错点】运用乘法对加法的分配律时，要注意括号前面的符号，当括号外面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和，例如： 【例2】有理数的乘法运算律 【典例】张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式2】计算下面各题，能简算的要简算． 【答案】4000；54；4；10；378；12.5 【分析】本题考查了有理数乘法的混合运算，运用运算律进行简算是解题的关键． （1）根据乘法结合律进行简算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律进行简算，再根据加法结合律进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据逆用乘法分配律进行简算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式3】利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例3】有理数乘法的实际运用 【典例】海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 【变式1】股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 【变式2】张先生在上星期五以每股25元的价格买进某种股票1000股，该股票本周的涨跌情况如下表（单位：元），正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌；周末股市不开盘，股价无变化． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元，最低价是每股多少元； (2)本周五收盘时，张先生的1000股盈亏情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股24元 (2)周五收盘时，张先生的1000股盈亏情况是盈利1100元 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题根据是理解题意，列出算式，熟练掌握有理数的加减法则． （1）根据题意，算出本周五天每天每股股票的价格，然后根据计算结果进行判断即可； （2）先求出收盘时每股股票盈利的钱数，然后乘以100，求出1000股股票盈利的钱数即可． 【详解】（1）星期一每股的价格为：（元）； 星期二每股的价格为：（元）， 星期三每股的价格为：（元）， 星期四每股的价格为：（元）， 星期五每股的价格为：（元）， 答：本周内最高价是每股元，最低价是每股24元； （2）（元）， （元）， 答：周五收盘时，张先生的1000股盈亏情况是盈利1100元． 【变式3】商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 【答案】(1) (2)二 (3)6575元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意，用前一天的售价加上与前一天的价格涨跌情况，进行求解即可； （2）求出每天的售价，进行判断即可； （3）用总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：3.15； （2）星期一的售价为：元； 星期二的售价为：元； 星期三的售价为：元； 星期四的售价为：元； 星期五的售价为：元； 故周二的售价最低； （3）（元）； 答：商店在本周的销售中的利润是6575元． 学科网（北京）股份有限公司 $$