2.2 第2课时 有理数的加法运算律（3大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第2课时 有理数的加法运算律（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数加法运算律 主要题型：有理数的加法运算律、有理数加法运算律的实际运用、有理数加法运算律中的符号问题 【知识点1】【教材重现】有理数加法运算律（教材P36） 1. 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 2. 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 【★数学技巧】运用加法运算律的规律： （1）互为相反数的两数相结合； （2）和为整数的加数相结合； （3）把同分母分数或便于同分的分数相结合； （4）符号相同的数相结合 【例1】有理数的加法运算律 【典例】计算： (1)； (2)． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 【变式2】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【变式3】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【例2】有理数加法运算律的实际运用 【典例】小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【变式1】下图是嘉淇作业的一部分，则关于依据①、②，说法正确的是（    ） 计算： ① ② A．①表示减法法则 B．①表示加法法则 C．②表示加法交换律 D．②表示加法法则 【变式2】点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【变式3】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【例3】有理数加法运算律中的符号问题 【典例】（   ） A． B． C． D． 【变式1】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式2】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【变式3】下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第2课时 有理数的加法运算律（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数加法运算律 主要题型：有理数的加法运算律、有理数加法运算律的实际运用、有理数加法运算律中的符号问题 【知识点1】【教材重现】有理数加法运算律（教材P36） 1. 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 2. 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 【★数学技巧】运用加法运算律的规律： （1）互为相反数的两数相结合； （2）和为整数的加数相结合； （3）把同分母分数或便于同分的分数相结合； （4）符号相同的数相结合 【例1】有理数的加法运算律 【典例】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值的非负性．利用有理数的相关运算法则及绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：运用了加法结合律，则选项A不符合题意； 0加任何数还等于这个数，则选项B不符合题意； 一定是非负数，则选项C不符合题意； 互为相反数的两个数的绝对值一定相等，则选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 【变式3】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 【例2】有理数加法运算律的实际运用 【典例】小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．根据加法交换律和加法结合律的特点，结合题意即可求解． 【详解】解：将式子先变成，再计算，则小磊运用了加法结合律． 故选：C． 【变式1】下图是嘉淇作业的一部分，则关于依据①、②，说法正确的是（    ） 计算： ① ② A．①表示减法法则 B．①表示加法法则 C．②表示加法交换律 D．②表示加法法则 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】①表示加法交换律，②表示加法法则， 故选：D． 【变式2】点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【详解】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 【变式3】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【例3】有理数加法运算律中的符号问题 【典例】（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用加法的结合律简化计算是解题的关键．先利用加法的结合律得，再进行计算即可． 【详解】 ， 故选：A． 【变式1】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及简便运算，根据有理数加减运算法则及加法交换律和结合律计算即可判断． 【详解】解：， 可知甲不正确； ， 可知乙正确； 故选：D． 【变式2】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)加法交换律，加法的结合律； (2)三； (3)详见解析 【分析】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律； （）根据有理数的减法运算可得第三步出错了； （）根据有理数的加减运算即可求解； 本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律， 故答案为：加法交换律，加法的结合律； （2）解：第二步中，，第三步中为， ∴第三步开始出错， 故答案为：三； （3）解： ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$