2.1 第1课时 有理数（7大基本题型） 课时同步讲义 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步讲义 第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 第1课时 有理数（7大基本题型） 【课时概述】 知识点：正数和负数的概念、具有相反意义的量、有理数的概念及分类 主要题型：正负数的定义、相反意义的量、正负数的实际应用、有理数的定义、0的意义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【知识点1】【教材重现】正数和负数的概念（教材P24） 1. 正数和负数的定义 定义 示例 示例 补充 正数 大于0的数叫作正数。有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“”（正）号 都是正数 正数前的“”号可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”（负）的数叫作负数 都是负数 负数前的“”号不能省略 【★数学技巧】（1）在小学学过的数（0除外）前面添上“”号，得到的数叫作正数；在小学学过的数（0除外）前面添上“”号，得到的数叫作负数 （2）一个数前面的“”“”号叫作它的符号 2. 0既不是正数，也不是负数 3. 0的意义 （1）0是正数和负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示某种量的基准，一般情况下，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示 【数学素养】（1）“”“”的双重意义：①作为运算符号是加、减号；②作为数的性质符号是正、符号 （2）带“”号的数不一定是正数，带“”号的数也不一定是负数 【例1】正负数的定义 【典例】下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 【变式1】在，，，，中，负数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的认识，根据小于的数是负数，即可求解． 【详解】在，，，，中，负数有，，，共3个， 故选：B． 【变式2】在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的判断．根据正数大于0，负数小于0判断即可． 【详解】解：这几个数中， 正数有， 负数有， 故答案为：；． 【变式3】若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 【知识点2】【教材重现】具有相反意义的量（教材P24） 1. 在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 2. 为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“”“”来表示。例如，若规定海平面的海拔为，珠穆朗玛峰高于海平面约，记作；吐鲁番盆地最低处低于海平面约，记作 【★易错点】（1）对于一对具有相反意义的量，把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把上升、增加、收入、零上等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负 （2）用带有“”“”号的数表示具有相反意义的量时，不要忘记写单位 【例2】相反意义的量 【典例】小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 【变式1】刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：“水位下降”应表示为， 故选B． 【变式2】中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【答案】B 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数可以表示具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵公元2025年记作年， ∴公元前1000年可记作年， 故选：B． 【变式3】中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利100元记作元，那么元表示（          ） A．盈利10元 B．盈利90元 C．亏损元 D．亏损90元 【答案】D 【分析】本题考查了相反意义的量，如果盈利用正数表示，那么亏损就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：如果盈利100元记作元，那么元表示亏损90元， 故选：D． 【例3】正负数的实际应用 【典例】一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 【变式1】下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解：，，且． 离标准最近． 故选：B． 【变式2】刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位（   ） A．下降 B．上升 C．上升 D．下降 【答案】B 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，明确具有相反意义的量其中一个用正数表示，则另外的一个用负数表示是关键； 根据具有相反意义的量可以正负数表示即可解答. 【详解】解：若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位上升； 故选：B. 【变式3】郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若在3楼的基础上向上爬楼用“”表示，那么在3层的基础上下楼就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为， 故答案为：． 【知识点3】【教材重现】有理数的概念及分类（教材P25） 1. 正整数、零、负整数统称为整数；正分数与负分数统称为分数；整数与分数统称为有理数 2. 有理数的分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 【★易错点】（1）0既不是正数也不是负数，但它是整数 （2）因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是有理数 （3）在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的结果也不同，分类时要弄清分类标准，做到不重不漏不混淆 3. 几个常用数学名词 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的数 负整数 小于0的整数 正分数 可写成（是正整数）的形式的数 负分数 可写成（是正整数）的形式的数 非负数 正数和0 非整数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【例4】有理数的定义 【典例】下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 【变式1】下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 【变式2】在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 【变式3】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 【例5】0的意义 【典例】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 【例6】有理数的分类 【典例】下列各数中是负整数的是（　　） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负整数的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、0不是负整数，不符合题意； B、2是正整数，不是负整数，不符合题意； C、是负数，不是负整数，不符合题意； D、是负整数，符合题意； 故选：D． 【变式1】有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了负整数的定义，即正整数前加负号；根据负整数的定义，需满足两个条件：①是负数；②是整数；逐一判断各数是否符合条件即可． 【详解】解：1.7是正数且含小数部分，不符合负整数条件； 是负数，且无小数或分数部分，是负整数； 0既不是正数也不是负数，不符合； 是带分数形式，含分数部分，不是整数； 是负小数，但非整数； 是分数，化简为，含小数部分，非整数； 综上，只有是负整数，共1个； 故选：A． 【变式2】将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【变式3】在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有_____________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分数的定义，分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有，，，，，共5个， 故答案为：5． 【例7】带“非”字的有理数 【典例】在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 【变式1】有理数0，，，1中，最小的非负整数是（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了比较有理数的大小及非负整数概念，根据有理数大小的比较方法及非负整数概念比较即可． 【详解】解：∵， ∴四个有理数0，，，1中，最小的非负整数是． 故选：A． 【变式2】在中，非负数的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非负数的定义，根据“零和正数统称为非负数”，即可求解，解题的关键是掌握非负数的定义． 【详解】根据“零和正数统称为非负数”的定义得： 非负数有：，，，共4个 故答案为：4． 【变式3】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{ …}； 非负整数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【答案】，，，，；，，；，，，，；，，． 【分析】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正数：{，，，，，…}； 非负整数：{，，，…}； 整数：{，，，，，…}； 负分数：{，，，…} 故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步讲义 第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 第1课时 有理数（7大基本题型） 【课时概述】 知识点：正数和负数的概念、具有相反意义的量、有理数的概念及分类 主要题型：正负数的定义、相反意义的量、正负数的实际应用、有理数的定义、0的意义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【知识点1】【教材重现】正数和负数的概念（教材P24） 1. 正数和负数的定义 定义 示例 示例 补充 正数 大于0的数叫作正数。有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“”（正）号 都是正数 正数前的“”号可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”（负）的数叫作负数 都是负数 负数前的“”号不能省略 【★数学技巧】（1）在小学学过的数（0除外）前面添上“”号，得到的数叫作正数；在小学学过的数（0除外）前面添上“”号，得到的数叫作负数 （2）一个数前面的“”“”号叫作它的符号 2. 0既不是正数，也不是负数 3. 0的意义 （1）0是正数和负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示某种量的基准，一般情况下，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示 【数学素养】（1）“”“”的双重意义：①作为运算符号是加、减号；②作为数的性质符号是正、符号 （2）带“”号的数不一定是正数，带“”号的数也不一定是负数 【例1】正负数的定义 【典例】下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在，，，，中，负数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 【变式3】若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【知识点2】【教材重现】具有相反意义的量（教材P24） 1. 在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 2. 为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“”“”来表示。例如，若规定海平面的海拔为，珠穆朗玛峰高于海平面约，记作；吐鲁番盆地最低处低于海平面约，记作 【★易错点】（1）对于一对具有相反意义的量，把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把上升、增加、收入、零上等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负 （2）用带有“”“”号的数表示具有相反意义的量时，不要忘记写单位 【例2】相反意义的量 【典例】小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【变式1】刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【变式3】中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利100元记作元，那么元表示（          ） A．盈利10元 B．盈利90元 C．亏损元 D．亏损90元 【例3】正负数的实际应用 【典例】一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【变式2】刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位（   ） A．下降 B．上升 C．上升 D．下降 【变式3】郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 【知识点3】【教材重现】有理数的概念及分类（教材P25） 1. 正整数、零、负整数统称为整数；正分数与负分数统称为分数；整数与分数统称为有理数 2. 有理数的分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 【★易错点】（1）0既不是正数也不是负数，但它是整数 （2）因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是有理数 （3）在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的结果也不同，分类时要弄清分类标准，做到不重不漏不混淆 3. 几个常用数学名词 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的数 负整数 小于0的整数 正分数 可写成（是正整数）的形式的数 负分数 可写成（是正整数）的形式的数 非负数 正数和0 非整数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【例4】有理数的定义 【典例】下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【例5】0的意义 【典例】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【变式3】下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】有理数的分类 【典例】下列各数中是负整数的是（　　） A．0 B．2 C． D． 【变式1】有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【变式3】在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有_____________个． 【例7】带“非”字的有理数 【典例】在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】有理数0，，，1中，最小的非负整数是（     ） A．0 B． C． D．1 【变式2】在中，非负数的个数有 个． 【变式3】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{ …}； 非负整数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}． 学科网（北京）股份有限公司 $$