精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

内江六中2024—2025学年（下）高2026届第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设数列满足，，通过求，猜想的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中常数项为（ ） A. B. C. 250 D. 1250 4. 等差数列的前项和为，已知.则等于 A. B. C. D. 5. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 6. 某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（ ）种. A. 36 B. 72 C. 114 D. 162 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 10. 已知函数，则（ ） A. ，使得单调函数 B. 当，时，的图象关于中心对称 C. 当时， D. 若是方程的三个不同的根，则 11. 1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ） A. 如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B. 主持人打开3号门的概率为 C. 在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D. 在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 14. 数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则______，______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 16. 一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 （1）完成列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； （3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，. （1）求曲线过点处的切线； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围. 18. 已知正数数列，，且满足，，记数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：，并应用该结论求； （3）已知且，求的和. 19 已知函数，. （1）讨论函数单调区间； （2）是否存在实数a，使得有3个零点？若存在，任意写出其中一个a的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：当时，对于，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 内江六中2024—2025学年（下）高2026届第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设数列满足，，通过求，猜想的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，由此确定正确选项. 【详解】， 所以可猜想. 故选：B 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 250 D. 1250 【答案】A 【解析】 【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：. 4. 等差数列的前项和为，已知.则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设等差数列的公差为，又， 所以，解得， 所以，故选C. 5. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答. 【详解】由，，得， 所以. 故选：B 6. 某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（ ）种. A. 36 B. 72 C. 114 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排除法列式计算即得. 【详解】安排甲有3种方法，再安排乙有2种方法，因此安排甲乙共有种方法； 余下3人，每人有3种安排方法，共有种方法，除甲乙去的学校外的学校无人去的情况有种， 所以不同的派遣方案有（种）. 故选：C 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】，则，因此， ，因此， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：D 8. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为的图象与函数的图象只有一个交点，同一坐标系内作出两函数图象，求出函数切线得到极端情况，数形结合得到答案. 【详解】因函数仅有一个零点， 所以函数的图象与函数的图象只有一个交点. 函数恒过定点，， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式、下标和的性质及等差、等比数列前项和公式逐个判断即可. 【详解】若，则，由，可得，故A错误； ，故B正确； 对于C，由选项条件可得，，解得或，故C错误； 因为，所以，所以，所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. ，使得为单调函数 B. 当，时，的图象关于中心对称 C. 当时， D. 若是方程的三个不同的根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用中心对称的意义判断B；利用方程根的定义判断D. 【详解】对于A，取，函数，函数都是上增函数， 因此函数为上增函数，A正确； 对于B，当时，， 则，的图象关于中心对称，B正确； 对于C，当时，，取， ， ，C错误； 对于D，， 又，因此，D正确. 故选：ABD 11. 1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ） A. 如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B. 主持人打开3号门的概率为 C. 在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D. 在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【解析】 【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和条件概率公式对选项进行分析即可. 详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门， 对于A，游戏参与者初次选择了1号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后， 因此事件发生的概率均为，正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，， 由全概率公式，正确； 对于CD，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为： ， 因此选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以. 故答案为： 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则______，______. 【答案】 ①. 3 ②. 8 【解析】 【分析】化方程为，利用同构方程的意义求出；构造函数并利用导数确定单调性得即可计算得解. 【详解】关于b的方程， 依题意，，解得； 因此，显然， 函数，求导得，函数在上单调递增， 由，得，则，即， 所以. 故答案为：3；8 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】（1）拟合效果非常好，理由见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）首先根据表格里面的数据求出的平均值，然后根据根据相关系数公式求出相关系数. （2）首先求出回归方程的表达式，然后将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度. 【小问1详解】 易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． 【小问2详解】 由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． 16. 一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 （1）完成列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； （3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用概率计算出倾向于购买燃油车的人数，则可列出二联表； （2）利用独立性检验规则，即可作出判断； （3）利用超几何分布概率公式可得概率分布列，从而可求期望. 【小问1详解】 由从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8， 可知道倾向于购买燃油车的人数为人 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 240 320 男性居民 80 400 480 合计 160 640 800 【小问2详解】零假设：对新能源车与燃油车的购买倾向相互独立，不存在性别差异， 则 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，且该推断犯错误的概率不超过； 【小问3详解】 从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人， 则女性居民有3人，男性居民有5人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因， 用表示3人中女性居民的人数，则的可能取值有， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知函数，. （1）求曲线过点处的切线； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，再由切线过点，即可得到方程，求出，即可得到切线方程； （2）设过点的直线与曲线相切于点，表示出切线方程，设，依题意可得有个不同零点，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，从而求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 设切点为，， 所以切线为， 又切线过点，所以，解得或， 所以切线方程为或. 【小问2详解】 因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则，且切线斜率为， 所以切线方程为， 因此， 整理得， 设， 则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”. 因为. 所以、与的变化情况如下： 0 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以是的极大值，是的极小值. 当，即时， 此时在区间和上分别至多有个零点， 所以至多有个零点， 当，即时， 此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点. 当且，即时， 因为，， 所以分别在区间，和上恰有个零点. 由于在区间和上单调， 所以分别在区间和上恰有个零点. 综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 18. 已知正数数列，，且满足，，记数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：，并应用该结论求； （3）已知且，求的和. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，从而得到，再由累乘法计算可得； （2）根据阶乘公式证明，再由结论及裂项相消法计算可得； （3）根据所给组合数公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以，则， 所以，，，， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为等式右边等式左边， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 因为 ， 所以 . 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）是否存在实数a，使得有3个零点？若存在，任意写出其中一个a的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：当时，对于，. 【答案】（1）答案详见解析 （2）答案详见解析;（答案不唯一） （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）二次求导，研究函数单调性，注意 ，且，从而分，和三种情况，分类讨论，得到答案； （2）利用极值点条件和零点存在定理证明零点问题，举例时选择  是因为它容易验证且满足极值条件. （3）在（1）基础上，得到，其中  ；可用放缩的方法得到不等式： （等号当  时成立），结论得证. 【小问1详解】 求导得：, 令，， 得，令， 当时，，当时，， 可得 在上递增，在上递减， 故最大值在处取到，且； 又且， 所以当时，对任意 成立，故在上单调递减， 即单调递减区间为； 当时，存在和使得， 且在  上 ，故递减；在上，递增； 在 上 ，故递减. 故此时在，上单调递减，在上单调递增； 当时，存在唯一使得， 在  上，故递增；在 上，故递减. 此时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 存在实数  使得  在  上有三个零点，理由如下： 由（1）知，当  时，存在唯一和使得, 函数 在 上单调递减， 单调递增，在上单调递减. , , ，， 所以 ，代入得， 而,,所以，使, 经检验当时符合. 此时为一个零点； ，，所以在递增区间 上，  从负增至正，故在  内存在第二个零点； 而，，所以在递减区间  上，  从正减至负，故在  内存在第三个零点； 因此，存在实数 （可取 ），使得 有三个不同的零点. 【小问3详解】 当  时，由（1）知    上严格递减，且 ， 故对意 ，有 ，即：， 取 （，则 ，得：， 对  从 1 到  求和：， 其中  ； 可用放缩的方法得到不等式： （等号当  时成立）；理由如下： 设，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，故，即，当且仅当时，等号成立， 取，所以，即， 所以， 故. 综上，对任意正整数，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$