15.1.2 线段的垂直平分线-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 1 线段的垂直平分线的性质及判定 知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用 1.𝐴，𝐵，𝐶 三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓 的位置应选在( ) A.∆𝐴𝐵𝐶三边中线的交点处 B.∆𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点处 C.∆𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点处 D.∆𝐴𝐵𝐶 三边高线的交点处 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线𝐷𝐸与边𝐴𝐵，𝐴𝐶 分别交于点𝐷，𝐸.已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐶𝐸的 周长分别为22 cm和14 cm，则𝐵𝐷 的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 3.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝑀 ，𝑃，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于 点𝑁，𝑄.若𝐵𝐶 = 10，𝑄𝑃 = 2，则△𝐴𝑄𝑃 的周长为________. 44/115 8 数上 基本功 知识点 2 线段垂直平分线的判定 4.如图，𝐴𝐶 = 𝐴𝐷，𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 ，则( ) A.𝐶𝐷垂直平分𝐴𝐵 B.𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷 C.𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵 D.以上结论均不对 5.如图，已知点𝐴(2,3)和点𝐵(4,1)，在𝑥轴或𝑦轴上有一点𝑃 ，且点𝑃到点𝐴和点𝐵的距离相等， 则点𝑃 的坐标为______________. 6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶 的平分线，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐸𝐹交𝐴𝐷于 点𝐺 . （1）求证：𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹 ； （2）若𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 10，𝐷𝐸 = 3，求△𝐴𝐵𝐶 的面积. 45/115 8 数上 基本功 知识点 3 互逆命题（定理） 7.“直角都相等”与“相等的角是直角”是( ) A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 8.按要求解答下列各题. （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果𝑎 + 𝑏 > 0，那么𝑎𝑏 > 0 . （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为互逆定理. 46/115 8 数上 基本功 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 2 作线段的垂直平分线 知识点 1 线段的垂直平分线的作法 1.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶 ，如果要用尺规作图的方法在𝐵𝐶上确定一点𝑃，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶 ，那么符合要求的作图痕迹是( ) A. B. C. D. 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴和点𝐵 为圆心，以相同的长(大于 1 2 𝐴𝐵)为半径作弧，两弧相交 于点𝑀 和点𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸，连接𝐶𝐷 .若△𝐶𝐷𝐵的面积为 24，△𝐴𝐷𝐸 的面积为 18，则四边形𝐸𝐷𝐵𝐶 的面积为____. 3.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中，点𝐴(0,8)，点𝐵(6,8) . （1）尺规作图：在第一象限内求作一个点𝑃，使点𝑃 同时满足下列两个条件（要求保留作图 痕迹，不必写出作法）. ①点𝑃到𝐴，𝐵 两点的距离相等； ②点𝑃 到两坐标轴的距离相等. （2）（1）中点𝑃 的坐标为_______________________. 47/115 8 数上 基本功 知识点 2 画对称轴 4.如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹 为轴对称图形. （1）利用网格线作出△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的对称轴𝑙 . （2）若每一个小正方形的边长为 1，则△𝐴𝐵𝐶 的面积为________________________. （3）找出顶点在格点，以𝐵𝐶为一边且与△𝐴𝐵𝐶全等（不与△𝐴𝐵𝐶 重合）的三角形，这样的三 角形在网格内共能画出_____个. 知识点 3 作垂线 5.如图，Rt △ 𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ .请在𝐴𝐶边上截取线段𝐶𝐷，使得𝐶𝐷 = 𝐵𝐶，过点𝐷作直线𝐴𝐵 的垂线，垂足为点𝐸 ，交𝐵𝐶的延长线于点𝐹 .（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 48/115 8 数上 基本功 6.如图，已知∠1和线段𝑎 ，使用直尺和圆规作直角三角形，使得∠1为其中的一个锐角，𝑎 为 直角三角形的斜边.（保留作图痕迹，不写作法） 49/115 8 数上 基本功 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 1 线段的垂直平分线的性质及判定 知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用 1.𝐴，𝐵，𝐶 三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓 的位置应选在( ) A.∆𝐴𝐵𝐶三边中线的交点处 B.∆𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点处 C.∆𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点处 D.∆𝐴𝐵𝐶 三边高线的交点处 解析：∵ 中转仓到𝐴，𝐵，𝐶三地的距离相等，∴ 中转仓的位置应选在△𝐴𝐵𝐶 三边的垂直平分 线的交点处，故选 C. 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线𝐷𝐸与边𝐴𝐵，𝐴𝐶 分别交于点𝐷，𝐸.已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐶𝐸的 周长分别为22 cm和14 cm，则𝐵𝐷 的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 解析：∵ 𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，∴ 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 ，𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 = 1 2 𝐴𝐵. ∵ △𝐵𝐶𝐸的周长是14 cm，∴ 𝐵𝐶 + 𝐵𝐸 + 𝐸𝐶 = 14 cm ， 68/176 8 数上 基本功 即𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 14 cm.∵ △𝐴𝐵𝐶的周长是22 cm，∴ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 22 cm ， ∴ 𝐴𝐵 = 22 − 14 = 8(cm)，∴ 𝐵𝐷 = 1 2 𝐴𝐵 = 1 2 × 8 = 4(cm) .故选 B. 3.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝑀 ，𝑃，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于 点𝑁，𝑄.若𝐵𝐶 = 10，𝑄𝑃 = 2，则△𝐴𝑄𝑃 的周长为________. 解析：当点𝑃在点𝑄 的左侧时，如图（1） 由线段垂直平分线的性质可得，𝐴𝑃 = 𝐵𝑃，𝐴𝑄 = 𝑄𝐶， ∴ △𝐴𝑄𝑃 的周长为𝐴𝑃 + 𝐴𝑄 + 𝑃𝑄 = 𝐵𝑃 + 𝑄𝐶 + 𝑃𝑄 = 𝐵𝐶 = 10 . 当点𝑃在点𝑄 的右侧时，如图（2） . 由线段垂直平分线的性质可得，𝐴𝑃 = 𝐵𝑃，𝐴𝑄 = 𝑄𝐶， ∴ △𝐴𝑄𝑃的周长为 𝐴𝑃 + 𝐴𝑄 + 𝑃𝑄 = 𝐵𝑃 + 𝑄𝐶 + 𝑃𝑄 = 𝐵𝑃 + 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑃𝑄 = 𝐵𝐶 + 2𝑃𝑄 = 10 + 4 = 14. 综上所述，△𝐴𝑄𝑃 的周长为 10 或 14，故答案为 10 或 14. 69/176 8 数上 基本功 知识点 2 线段垂直平分线的判定 4.如图，𝐴𝐶 = 𝐴𝐷，𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 ，则( ) A.𝐶𝐷垂直平分𝐴𝐵 B.𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷 C.𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵 D.以上结论均不对 解析：∵ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷，𝐵𝐶 = 𝐵𝐷,∴ 点𝐴,𝐵均在𝐶𝐷 的垂直平分线上,∴ 𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷 .故选 B. 5.如图，已知点𝐴(2,3)和点𝐵(4,1)，在𝑥轴或𝑦轴上有一点𝑃 ，且点𝑃到点𝐴和点𝐵的距离相等， 则点𝑃 的坐标为______________. 解析：如图，取格点𝐸(2,1),𝐹(3,2)，作直线𝐸𝐹 , 则点𝐹为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐸 = 𝐵𝐸 = 2，∴ 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹，∴ 点𝐸,𝐹都在线段𝐴𝐵 的垂直平分线上， ∴ 直线𝐸𝐹是线段𝐴𝐵的垂直平分线.根据图易得直线𝐸𝐹与𝑥轴交于点(1,0) ， 70/176 8 数上 基本功 与𝑦轴交于点(0, −1). ∵ 点𝑃到点𝐴和点𝐵的距离相等， ∴ 点𝑃在线段𝐴𝐵 的垂直平分线𝐸𝐹上， ∴ 点𝑃的坐标为(1,0)或(0, −1)，故答案为(1,0)或(0, −1) . 6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶 的平分线，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐸𝐹交𝐴𝐷于 点𝐺 . （1）求证：𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹 ； 【证明】∵ 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶,𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，∴ ∠𝐸𝐴𝐷 = ∠𝐹𝐴𝐷， ∠𝐷𝐸𝐴 = ∠𝐷𝐹𝐴 = 90∘ ，𝐷𝐸 = 𝐷𝐹，∴ 点𝐷在𝐸𝐹 的垂直平分线上. 在△𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐹𝐷中，{ ∠𝐷𝐸𝐴 = ∠𝐷𝐹𝐴, ∠𝐸𝐴𝐷 = ∠𝐹𝐴𝐷, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷, ∴ △𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(AAS) ， ∴ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹，∴ 点𝐴在𝐸𝐹的垂直平分线上，∴ 𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹 . （2）若𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 10，𝐷𝐸 = 3，求△𝐴𝐵𝐶 的面积. 解：∵ 𝐷𝐸 = 3，∴ 𝐷𝐹 = 𝐷𝐸 = 3. ∵ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 10 ， ∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝐸 + 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝐷𝐹 = 1 2 (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶) ⋅ 𝐷𝐸 = 15 . 71/176 8 数上 基本功 知识点 3 互逆命题（定理） 7.“直角都相等”与“相等的角是直角”是( ) A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 解析：“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”；“相等的角是直角”的题设 是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这两个命题的题设和结论互换，所以是互逆命题.“相 等的角是直角”是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.故选 A. 8.按要求解答下列各题. （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； 解：“相等的角是内错角”的逆命题：如果两个角是内错角，那么这两个角相等. ②如果𝑎 + 𝑏 > 0，那么𝑎𝑏 > 0 . 解：“如果𝑎 + 𝑏 > 0，那么𝑎𝑏 > 0”的逆命题：如果𝑎𝑏 > 0，那么𝑎 + 𝑏 > 0 . （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为互逆定理. 解：因为（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，所以（1）中①的原命题和逆命题不是互 逆定理. 72/176 8 数上 基本功 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 2 作线段的垂直平分线 知识点 1 线段的垂直平分线的作法 1.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶 ，如果要用尺规作图的方法在𝐵𝐶上确定一点𝑃，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶 ，那么符合要求的作图痕迹是( ) A. B. C. D. 解析：∵ 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶，𝑃𝐶 + 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶，∴ 𝑃𝐴 = 𝑃𝐶，∴ 点𝑃在𝐴𝐶 的垂直平分线上，即点𝑃为 𝐴𝐶的垂直平分线与𝐵𝐶 的交点.故选 D. 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴和点𝐵 为圆心，以相同的长(大于 1 2 𝐴𝐵)为半径作弧，两弧相交 于点𝑀 和点𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸，连接𝐶𝐷 .若△𝐶𝐷𝐵的面积为 24，△𝐴𝐷𝐸 的面积为 18，则四边形𝐸𝐷𝐵𝐶 的面积为____. 解析：由作法得𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐵，∴ 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 ， ∴ 𝑆△𝐴𝐷𝐶 = 𝑆△𝐵𝐷𝐶 = 24. ∵ 𝑆△𝐴𝐷𝐸 = 18，∴ 𝑆△𝐶𝐷𝐸 = 𝑆△𝐴𝐷𝐶 − 𝑆△𝐴𝐷𝐸 = 24 − 18 = 6， ∴ 四边形𝐸𝐷𝐵𝐶的面积= 𝑆△𝐶𝐷𝐸 + 𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 6 + 24 = 30 .故答案为 30. 73/176 8 数上 基本功 3.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中，点𝐴(0,8)，点𝐵(6,8) . （1）尺规作图：在第一象限内求作一个点𝑃，使点𝑃 同时满足下列两个条件（要求保留作图 痕迹，不必写出作法）. ①点𝑃到𝐴，𝐵 两点的距离相等； ②点𝑃 到两坐标轴的距离相等. 解：如图，点𝑃 即为所求. （2）（1）中点𝑃 的坐标为_______________________. 解析：∵ 点𝐴(0,8)，点𝐵(6,8)，∴ 线段𝐴𝐵中点坐标为(3,8)， ∴ 点𝑃横坐标为3. ∵ 点𝑃到两坐标轴的距离相等，点𝑃在第一象限,∴ 𝑃(3,3).故答案为(3,3). 74/176 8 数上 基本功 知识点 2 画对称轴 4.如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹 为轴对称图形. （1）利用网格线作出△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的对称轴𝑙 . 解：如图，直线𝑙 即为所作. （2）若每一个小正方形的边长为 1，则△𝐴𝐵𝐶 的面积为________________________. 解析：△𝐴𝐵𝐶的面积为2 × 4 − 1 2 × 2 × 1 − 1 2 × 4 × 1 − 1 2 × 2 × 2 = 3.故答案为 3. （3）找出顶点在格点，以𝐵𝐶为一边且与△𝐴𝐵𝐶全等（不与△𝐴𝐵𝐶 重合）的三角形，这样的三 角形在网格内共能画出_____个. 解析：如图，△𝑀𝐵𝐶即为以𝐵𝐶为一边且与△𝐴𝐵𝐶全等 （不与△𝐴𝐵𝐶重合）的三角形，这样的三角形在网格内能画 1 个.故答案为 1. 75/176 8 数上 基本功 知识点 3 作垂线 5.如图，Rt △ 𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ .请在𝐴𝐶边上截取线段𝐶𝐷，使得𝐶𝐷 = 𝐵𝐶，过点𝐷作直线𝐴𝐵 的垂线，垂足为点𝐸 ，交𝐵𝐶的延长线于点𝐹 .（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：如图. 6.如图，已知∠1和线段𝑎 ，使用直尺和圆规作直角三角形，使得∠1为其中的一个锐角，𝑎 为 直角三角形的斜边.（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图,Rt △ 𝐴𝐵𝐶 即为所求. 76/176