精品解析：云南省昭通市市直中学2024-2025学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题

昭通市市直中学2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域及指数函数值域分别可得两集合，进而利用交集和并集运算判断各选项. 【详解】由对数型函数的定义域可知，，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，所以，所以，故B正确； 因为，所以不成立，故C错误； ，因为，所以，即，所以成立，故D错误. 故选：B 3. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数关系及，根据已知等量关系即可求值. 【详解】由题设， 又， 所以，可得. 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，结合等差数列的求和公式逐项判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，则， ，无法判断ABC选项， ，D对. 故选：D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知等式化简得到，且，利用基本不等式将其化成关于的不等式，解之即得. 【详解】由可得，即，故， 由，可得， 当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8. 故选：D. 6. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ） A. 630种 B. 840种 C. 1470种 D. 1480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 7. 记函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点的概念可知，根据指对互化得，构造函数，则，根据的单调性得，即可得解. 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的最小正周期 C. 有4个零点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数性质运算求解；对于B：根据对称性和奇偶性分析可得，进而可得周期性；对于C：分别作出的图象，结合图象分析判断；对于D：根据题意结合函数性质分析运算. 【详解】对于A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于B：∵是偶函数，则，则， 又∵为奇函数，则，可得， ∴，则的最小正周期，故B正确； 对C：令，则， 注意到此时，分别作出的图象， 由图象可知：有4个交点，故有4个零点， 故C正确； 对D：∵， 则， 可得，故D不正确. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求解各选项即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令可得， 故，故B错误； 对于C，令可得， 故，故C正确； 对于D，令可得， ，故D正确. 故选：ACD． 10. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和事件的原则，逐项判断即可. 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有个零点 C. 若在上的最大值为，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，借助函数的单调性、极值及，可判定C正确；D选项，求得，令，求得，得出，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以极大值点为，A错误； B选项，由A知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B正确； C选项，， 由A、B可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，， 所以，在上的最大值为，则，C正确； D选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分） 12. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据导数的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴． 故答案为： 14. 如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3、P4、…、Pn、…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则（1）S3＝______，（2）如果对恒成立，那么a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，写出前3项，再归纳总结出与的关系式，并求的最小值，解不等式即可. 【详解】第一块纸板面积为 第二块纸板面积为 第三块纸板面积为 由此归纳总结，第块纸板面积为 因为，故要使得，恒成立 只需，可解的， 故. 故答案为：，. 【点睛】易错点睛：本题考查归纳推理，等比数列求和，以及解不等式，需要注意的是要理解本题的意义，从而避免出错，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于较难题. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 【答案】（1） （2）以当年产量为6万件时，利润最大，最大利润为3万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出的解析式； （2）利用均值不等式分别求出各段的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时，有最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）分布列见解析， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 17. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用与的关系求出，利用等比数列定义即可证明； （2）先求出通项公式，利用放缩法及等比数列前n项和公式求出和的范围即可求出整数k. 【小问1详解】 因为的等差中项为，所以， 因为时，，则，所以， 由得， 又，两式相减得，即， 所以有，所以， 所以是等比数列，其首项为，公比为2. 【小问2详解】 由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 又， 所以，所以. 18. 新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. （1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】（1）种 （2）①4093人；②不可信 【解析】 【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可； （2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的原则判断即可. 【小问1详解】 甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法； 【小问2详解】 ①设此次网络测试的成绩记为，则， 由题知，，， 则，所以， 所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人； ②不可信.， 则， 5000名学生中成绩大于430分的约有人， 这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】（1）是的“－函数”，证明： 由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2） 由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3） 由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市市直中学2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ） A. 630种 B. 840种 C. 1470种 D. 1480种 7. 记函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的最小正周期 C. 有4个零点 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有个零点 C. 若在上的最大值为，则 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分） 12. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 13. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 14. 如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3、P4、…、Pn、…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则（1）S3＝______，（2）如果对恒成立，那么a的取值范围是______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 18. 新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. （1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $