精品解析：河南省郑州市第十一中学2024-2025学年高三上学期期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市第十一中学高三（上）期末数学试卷 一．选择题（共7小题，满分35分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出两个集合，再求交集即可 【详解】解：由，得，所以， 由，得，所以， 所以， 故选：B 2. 2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A. 12盏 B. 24盏 C. 36盏 D. 48盏 【答案】B 【解析】 【分析】各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，依据公比和前5项和可求得首项，即可求最中间一层的灯笼数量． 【详解】五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍， 由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列， 第5层楼所挂灯笼数为，公比． 由，解得. 则最中间一层的灯笼数为24． 故选：B． 3. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得根与系数的关系式，求得以及的范围，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】因为的解集为， 故可得，且方程的两根为； 则，解得，， 又，则，故， 也即，当且仅当，时取得等号； 又，对勾函数在上单调递增， 故，当且仅当时取得等号. 故的最小值为. 故选：A. 4. 已知在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，又由为直角三角形，可得，于是有BC⊥平面MAB，所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M-ABC外接球球心，求出的长度即可知球半径，再根据球的体积公式计算即可. 【详解】解：因为MA⊥平面ABC，平面ABC，所以，同理， 又，且为直角三角形，所以， 又，AB，平面MAB，所以BC⊥平面MAB， 又平面MAB，所以， 所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M-ABC外接球球心，又由已知得，， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 所以该三棱锥的外接球体积为． 故选：B. 5. 设函数是定义在上的函数，且，当，，则在区间内，关于x的方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求方程 解的个数，即求函数与图象的交点个数，结合两个函数的图象，即可得到本题答案. 【详解】解：∵函数是定义在上的函数，，∴的对称轴为， 又当时，，∴，， 当时，，当时，. 故函数与在区间内的图象如图所示： 根据图象可得函数与在区间上有3个不同的交点，故在区间内，关于x的方程解的个数为3． 故选：C 6. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，明确直线是过定点的直线，根据直线与圆的位置关系，可判断A的真假；根据的长度判断B的真假；求过点的圆的切线，根据切线的斜率判断C的真假；当时，根据点到直线的距离判断D的真假. 【详解】如图： 直线即，所以直线过定点. 圆的圆心为，半径为：1. 对A：如图所示，直线与圆不一定有公共点，故A选项内容正确； 对B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， \且，故B选项内容正确； 对C：若直线与圆相交，则：，故C选项内容错误； 对D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，所以圆上到直线的距离等于的点有三个， 故D选项内容正确. 故选：C 7. 设函数，则下列选项错误的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，， 当时，，当或时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 故是函数的极小值点，A正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，， 而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确； 故选：B. 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 8. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，作差法判断B、C，由已知得，再把目标式左侧展开化简判断D. 【详解】A：若，则，，错误. B：若，则，正确. C：若，则，，正确. D：若，则，即，得，正确. 故选：BCD 9. 已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析与的递推关系，根据数列的奇数项、偶数项以及分组求和法求得. 【详解】依题意，，A选项正确. ，所以B选项错误. 当为偶数时，， 所以，而，所以， 所以 ，所以C选项正确. 当为奇数时，， 所以，而，所以， 所以 ， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解形如的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为的形式，再结合等比数列的知识来求得.求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解. 10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，当抛物线在点处的切线与直线垂直，且抛物线在点处的切线与直线垂直时，最大，可判断C；对于D，求出抛物线在点处的切线，并求出切线与轴的交点的坐标，可知半个花瓣的面积小于的面积，可判断D. 【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A正确； 对于B，根据A项分析，由，解得或，即， 代入可得，即 由图象的对称性，可得，所以，故B错误； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，且方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，此时方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，即直线截第一象限花瓣的弦长最大值为，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以抛物线在点处的切线方程为，即， 令，可得， 该切线交轴于点， 所以半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：ACD. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 11. 已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，结合二次函数性质可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，一元二次不等式是真命题. 则，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的极限表达式计算易得. 【详解】由，则. 故答案为：3. 13. 若，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得则为二项式的展开式的二项式系数和． 【详解】解：因为， 则为二项式的展开式的各项二项式系数和， 则. 故答案为：． 四．解答题（共5小题，满分77分） 14. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 15. 已知函数 （1）求的单调递增区间： （2）若函数在上的零点个数为2，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间； （2）将问题化为的图象与直线的交点有2个，结合正弦型函数性质求的区间端点值，即可确定参数范围. 【小问1详解】 令，解得 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 在上的零点个数等于的图象与直线的交点个数． 因为，所以， 当，时，则在上单调递增，在[，]上单调递减． 所以，， 所以，即m的取值范围为. 16. 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】（1） 取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）不存在，理由： 假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数，其中． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出和，根据导数的几何意义求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值； （3）根据题意关于x的不等式在上有解，设，，，，分别求函数的最小值和的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意，， 则，且， 所以在处的切线方程为：； 【小问2详解】 令，得或， 则当和时，，则函数单调递增， 则当时，，则函数单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为， 为函数的极小值点，极小值为， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为和， 极大值为，极小值为； 【小问3详解】 根据题意关于x的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，所以， 在上单调递减，所以， 则，解得. 【点睛】关键点点睛：设，，，，关于x的不等式在上有解，转化为函数的最小值小于或等于的最大值. 18. 已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4． （1）求C的方程． （2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出C的方程； （2）假设存在梯形．设直线，由题意得到，分别求出点和到直线l的距离表示出梯形的面积，利用基本不等式求出最大值，再联立直线和直线求出点并判断出B、A在曲线C的内部，符合题意. 【小问1详解】 设C的内接正方形的一个端点坐标为， 则，解得， 则C的内接正方形的面积为， 即．又，所以， 代入，解得，故C的方程为． 【小问2详解】 存在梯形，其面积的最大值为． 理由如下：设直线，． 因为直线l经过点，所以， 所以点到直线l的距离为， 点到直线l的距离为， 所以梯形的面积（为直线l的倾斜角）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时，直线，直线， 联立这两条直线的方程，解得， 因为， 所以点在C的内部. 同理可证：也在C的内部. 故在C内存在梯形，其面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州市第十一中学高三（上）期末数学试卷 一．选择题（共7小题，满分35分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年蛇年春晚武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A. 12盏 B. 24盏 C. 36盏 D. 48盏 3. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4. 已知在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是定义在上函数，且，当，，则在区间内，关于x的方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 7. 设函数，则下列选项错误的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 8. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域面积不大于32 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 11. 已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是______. 12. 若，则_____. 13. 若，则_____ ． 四．解答题（共5小题，满分77分） 14. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 15. 已知函数 （1）求的单调递增区间： （2）若函数在上的零点个数为2，求m的取值范围． 16. 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 17 已知函数，其中． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 18. 已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4． （1）求C的方程． （2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $