专题13.4 三角形的内角（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题13.4 三角形的内角 教学目标 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。 3. 能够利用三角形的内角和解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的内角和及其证明； （2）直角三角形的性质与判断。 2. 难点 （1）利用三角形的内角和求三角形同一个顶点高线与角平分线的夹角； （2）三角形的内角和结合折叠求角度问题； 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ；∠C＝ 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 【即学即练2】 2．先看下面的问题：图（1）中，BE∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠A，因为∠ABC+∠1+∠2＝180°．（平角定义），所以得∠ABC+∠C+∠A＝180°． （1）你能结合图（2）得到类似的结论吗？请你写出来（其中CD∥AB且过点C）； （2）你能写出一个与三角形有关的具有一般性的结论吗？联系上面的问题试试看！ 【即学即练3】 3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 三角形。 【即学即练1】 4．直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（　　） A．27° B．63° C．117° D．27°或63° 【即学即练2】 5．将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【即学即练3】 6．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　 °． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　 ． 【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　 ． 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝2∠B＝3∠C； ④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（　　） A．45° B．30° C．60° D．15° 【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【变式2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（　　） A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE C．∠DAE∠1 D．∠DAE 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．41° 1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 4．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 5．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（　　） A．75° B．45° C．60° D．65° 6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（　　） A．28° B．29° C．31° D．32° 7．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 8．如图，光线α照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　） A．39° B．52° C．65° D．78° 10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　 　 ． 12．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　 　 ． 13．如图，点D为△ABC的边AB上一点，如果∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，那么当∠ACD＝　 　 °时，有A′D∥CA． 14．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 　 ． 15．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P1；分别作∠BAP1和∠P1CD的角平分线，交点记为P2；分别作∠BAP2和∠P2CD的角平分线，交点记为P3，按此规律继续操作，则∠AP5C的度数为 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD． （1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数； （2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD． 17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 20．定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是 　 　 （填序号）． ①40°，60°，80°；②10°，70°，100°；③30°，30°，120°． （2）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数． （3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.4 三角形的内角 教学目标 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。 3. 能够利用三角形的内角和解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的内角和及其证明； （2）直角三角形的性质与判断。 2. 难点 （1）利用三角形的内角和求三角形同一个顶点高线与角平分线的夹角； （2）三角形的内角和结合折叠求角度问题； 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 【即学即练1】 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝55°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣55°＝125°①， ∵∠A﹣∠B＝35°②， ∴①﹣②得，2∠B＝90°，解得∠B＝45°． 故选：C． 【即学即练2】 2．先看下面的问题：图（1）中，BE∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠A，因为∠ABC+∠1+∠2＝180°．（平角定义），所以得∠ABC+∠C+∠A＝180°． （1）你能结合图（2）得到类似的结论吗？请你写出来（其中CD∥AB且过点C）； （2）你能写出一个与三角形有关的具有一般性的结论吗？联系上面的问题试试看！ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CD∥AB， ∴∠A+∠ACD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∠2＝∠B，（两直线平行，内错角相等） 又∵∠ACD＝∠ACB+∠2， ∴∠ACD＝∠ACB+∠B， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°． （2）三角形的三个内角的和等于180°． 【即学即练3】 3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 【即学即练1】 4．直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（　　） A．27° B．63° C．117° D．27°或63° 【答案】A 【解答】解：∵直角三角形的一个锐角是63°， ∴它的另一个锐角是90°﹣63°＝27°， 故选：A． 【即学即练2】 5．将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠E＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°， ∴∠F＝90°﹣75°＝15°． 故选：B． 【即学即练3】 6．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，求出∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故①符合题意； ②令∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，得到x+2x+3x＝180°，求出x＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故②符合题意； ③由∠A＝∠B＝2∠C，得到2∠C+2∠C+∠C＝180°，求出∠C＝36°，得到∠A＝∠B＝72°，△ABC是锐角三角形，故③不符合题意； ④由，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故④符合题意； ⑤由∠A＝2∠B＝3∠C，得到∠B∠A，∠C∠A，由三角形内角和定理求出∠A，△ABC是钝角三角形，故⑤不符合题意． ∴能确定△ABC为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：设另两个内角的度数分别为2x，3x， 根据题意得：50°+2x+3x＝180°， 解得：x＝26°， ∴2x＝2×26°＝52°，3x＝3×26°＝78°， ∵50°＜52°＜78°， ∴最大内角的度数是78°． 故选：B． 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A180°＝40°． 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝40°， 故选：D． 【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】A 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴， ∵∠ABC＝3∠C， ∴， 设∠C＝x，则， ∵∠EDC＝20°， ∴∠AED＝∠C+∠EDC＝x+20°， ∵∠ADE＝3∠AED， ∴∠ADE＝3x+60°， ∵DF平分∠ADE， ∴， ∵∠FDC＝∠F+∠FBC， ∴， ∴∠F＝50°． 故选：A． 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　52　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°． 故答案为52． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°， ∴∠A＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝51°， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　40°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠FCD＝75°， ∴∠A+∠B＝75°， ∵∠A：∠B＝1：2， ∴∠A75°＝25°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CFD＝∠AFE＝65°， ∵∠FCD＝75°， ∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°． 故答案为：40° 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 【变式2】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 【变式3】在下列条件中： ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3； ③∠A＝2∠B＝3∠C； ④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形； ③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B，∠C，则x180°，解得x， ∴∠A＝（）°，，， ∴△ABC不是直角三角形； ④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定△ABC是直角三角形的条件有2个， 故选：B． 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意； B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意； C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°， ∴∠α＝∠β，故不符合题意； D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意； 故选：D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【答案】B 【解答】解：∵将一副三角板按照如图方式摆放， ∴∠BCF＝60°，∠EAD＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCF﹣∠EAD＝75°， ∴∠BGE＝∠AGC＝75°， 故选：B． 【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（　　） A．45° B．30° C．60° D．15° 【答案】B 【解答】解：根据题意得∠ABC＝∠DEF＝90°，∠DFE＝30°， ∴∠FDE＝60°， ∴∠BGD＝90°﹣∠FDE＝30°， ∴∠CGF＝∠BGD＝30°， 故选：B． 【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°． ∵DF∥AB， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°． 故选：D． 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【答案】D 【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE∠CAE50°＝25°． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝40°， ∴∠BAC＝2∠1＝2×40°＝80°． 在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠ABC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°）． 故选：A． 【变式3】如图，钝角△ABC中，∠2为钝角，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠1、∠2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（　　） A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE C．∠DAE∠1 D．∠DAE 【答案】B 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠D＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠1， ∵∠BAC+∠2+∠1＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠2， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC（180°﹣∠1﹣∠2）， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝90°﹣∠1（180°﹣∠1﹣∠2）， 故选：B． 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【答案】C 【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．41° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°， ∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°． 故选：C． 2．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°100°＞90°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 3．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝37°，∠B＝53° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A﹣∠C＝∠B D．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 【答案】B 【解答】解：由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°， A、∵∠A＝37°，∠B＝53°， ∴∠C＝90°， 故A不符合题意； B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 则3x+4x+5x＝180°， 解得x＝15， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠C+∠B， ∴∠A＝90°， 故C不符合题意； D、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°， 则2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18， ∴∠A＝36°，∠B＝54°，∠C＝90°， 故D不符合题意． 故选：B． 4．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1∠ACB40°＝20°． 故选：B． 5．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（　　） A．75° B．45° C．60° D．65° 【答案】A 【解答】解：设∠BCD＝x，则∠ACE＝2x， ∵∠EDC＝90°，∠E＝30°， ∴∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝60°﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴2x+60°﹣x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∴∠CBE＝∠D+∠BCD＝90°+30°＝120°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝120°﹣45°＝75°， 故选：A． 6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（　　） A．28° B．29° C．31° D．32° 【答案】D 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵AD⊥BD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°， ∴2∠ABD+（90°﹣∠ABD）+∠DAC+∠C＝180°， 即90°+∠ABD+20°+38°＝180°， 解得∠ABD＝32°， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 7．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 【答案】C 【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣α， ∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°， 故选：C． 8．如图，光线α照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【解答】解：根据题意可得，∠4＝∠1＝45°，∠5＝∠3＝65°，∠2＝∠6， 由三角形内角和定理和平角的定义得∠2＝180°﹣45°﹣（180°﹣65°×2）＝85°； 故选：D． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　） A．39° B．52° C．65° D．78° 【答案】B 【解答】解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠PBC＝∠C， 设∠C＝x，则∠PBC＝x， ∵∠FEC＝26°， ∴∠AFE＝x+26°， ∵∠AEF＝2∠AFE， ∴∠AEF＝2x+52°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP＝x+26°， ∵∠PEC＝∠P+∠PBC， ∴x+26°+26°＝∠P+x， ∴∠P＝52°， 故选：B． 10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°． ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 12．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°． ∵△ABC的三条角平分线交于一点， ∴BO平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝25°． 故答案为：25°． 13．如图，点D为△ABC的边AB上一点，如果∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，那么当∠ACD＝　65　 °时，有A′D∥CA． 【答案】65． 【解答】解：将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，如果∠A＝50°， ∴∠ADC＝∠A′DC， 当A′D∥CA， ∴∠A′DC＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴， 故答案为：65． 14．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　60°或18°　 ． 【答案】60°或18°． 【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°； 如图2，当∠BDF＝90°时， 同理可得∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°， ∴∠B＝42°， ∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°， ∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°， 综上所述，∠ADF的度数为18°或60°． 故答案为：60°或18°． 15．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P1；分别作∠BAP1和∠P1CD的角平分线，交点记为P2；分别作∠BAP2和∠P2CD的角平分线，交点记为P3，按此规律继续操作，则∠AP5C的度数为 　5.625°　 ． 【答案】5.625°． 【解答】解：如图所示，过点P1作P1Q∥AB， ∵AB∥CD， ∴P1Q∥CD，∠BAC+∠ACD＝180°， 又∵AP1，CP1是∠BAC和∠ACD的角平分线， ∴∠BAP1＝∠AP1Q∠BAC，∠QP1C＝∠P1CD∠ACD， ∴∠AP1C（∠BAC+∠ACD）＝90°180°， 同理可得，∠AP2C（∠BAP1+∠P1CD）＝45°180°， ∴∠APnC＝（）n×180°， ∴∠AP5C＝（）5×180°＝5.625°； 故答案为：5.625°． 16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD． （1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数； （2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD． 【答案】（1）110°； （2）详见解答． 【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵∠A＝∠ABE＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°， ∴∠BFC＝∠ABF+∠CDB＝40°+70°＝110°； （2）∵∠A＝∠ABE，∠BDC＝∠CBD＝∠ACB，而∠BFD＝∠CBF+∠BCD， ∴∠BDF＝∠BFD． 17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠1， ∵∠1＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°， ∴∠B＝∠DFE＝34°， 在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°， ∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°， ∵CD平分∠ACB， ， ∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）20°； （2）10． 【解答】解：（1）∵在△ABC中∠C＝70°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC80°＝40°； ∵AD⊥BC，∠C＝70°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∵∠CAE＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE（180°﹣∠C﹣∠B）， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD（180°﹣∠C﹣∠B）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）＝10°． 19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）①26°；②∠P，证明见解析过程． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB． 同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）①解：由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 又∵∠B＝36°，∠D＝16°， ∴∠P． ②∠P，证明如下： 由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 20．定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是 　②③　 （填序号）． ①40°，60°，80°；②10°，70°，100°；③30°，30°，120°． （2）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数． （3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵80°﹣40°＝40°，60°﹣40°＝20°，80°﹣60°＝20°，∴这个三角形不是“准互余三角形”； ②∵100°﹣10°＝90°，∴这个三角形是“准互余三角形”； ③∵120°﹣30°＝90°，∴这个三角形1是“准互余三角形”； ∴能构成“准互余三角形”的是②③， 故答案为：②③； （2）∵∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”， ∴|∠A﹣∠B|＝90°， ∴∠A﹣∠B＝90°或∠B﹣∠A＝90°， 解得：∠B＝20°或∠B＝110°（不合题意舍去）， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣110°＝50°； （3）证明：设∠BAC＝x，则∠ABC＝90°﹣x， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵∠C＝90°， ∴∠ADC+∠DAC＝90°， ∴， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣（）， ∵， ∴△ABD是“准互余三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $