精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2025届高三下学期适应性考试数学试题

东北育才高中2025届高三适应性考试数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人 校对人：高三数学组 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 2. 设复数的共轭复数为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，由复数先求出，再根据复数的乘法法则计算即可. 【详解】由可得， 则. 故选： 3. 已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 4. 已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由可得，即， 由题意可得，解得， 所以. 因此. 故选：D. 7. 高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（ ） 参考数据：若，则，． A. 0.8743 B. 0.1257 C. 0.9332 D. 0.0668 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合公式可得，即，且，代入数据计算． 【详解】根据题意 则考生分数超过520分的概率 根据题意可得，则 故选：A． 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则最小 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，，再利用等差数列的性质依次判断选项即可. 【详解】因为，所以， 所以，，，即. 对选项A，若，因为，， 则，，， 所以，故A正确； 对选项B，若，，则，， 所以最小，故B错误. 对选项C，因为，所以， 所以，即，故C错误. 对选项D，因为，所以， ，即. ， 所以D正确. 故选：AD 10. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 11. 如图，在长方体中，为棱上一点，且，平面上一动点满足是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体外接球的半径为 B. 点到平面的距离为 C. 球心到平面的距离为 D. 点的轨迹在内的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球的概念计算即可判断A；如图，点A到平面的距离为正方体体对角线长的，即可判断B；利用面面垂直的判定定理与性质可得平面，结合余弦定理计算即可判断C；确定点的轨迹为以为直径的圆，即可判断D. 【详解】对于A，长方体外接球的半径，故A正确. 对于B，以为A一顶点，为以A为顶点的棱，构造棱长为3的正方体，连接， 则点A到平面的距离为正方体体对角线长的，得，故B正确； 对于C，取的中点，连结，则， 又面，所以面. 面平面平面. 过作于，则平面. 在中，计算得， 所以， 于是，故C错误. 对于D，过点A向平面作垂线，垂足为，连结，则， 又，得，即点的轨迹为以为直径的圆， 在中，， 所以点的轨迹的长度为，其在内的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决本题选项D的关键是根据确定点的轨迹为以为直径的圆. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和. 【详解】 ＝＝＝n＋1， 所以bn＝＝＝－， 则＝－＋－＋＋－＝－＝． 故答案为： 13. 已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由直观图还原梯形，再利用斜二测画法的性质求得其边与高，从而判断得该梯形为等腰梯形，进而利用圆台与圆锥的体积公式求解即可. 【详解】在直观图中，，所以在还原图中，，如图， 在直观图中，，为的三等分点， 所以在还原图中，，D为OA的三等分点， 又在直观图中，轴， 所以在还原图中，轴，则， 所以，则， 故，，所以四边形OABC是等腰梯形， 所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积， 即． 故答案为：. 14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则点到的距离为，再联立直线与的方程，求出点的坐标，进而表达出平行四边形面积，再结合平行四边形面积为求出点的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解． 【详解】设点，则点到的距离为， 直线方程为， 联立，解得， 所以， 所以， 所以， 所以点的轨迹为两个双曲线、， 因为双曲线的实半轴长为，双曲线的实半轴长为， 若与圆有四个交点，则，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II.电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行.设电梯在每一层运行时间为a.现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量. （1）求： （2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯.求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出的基本事件，再应用互斥事件概率的加法求. （2）根据题设分别写出运行一部电梯、运行两部电梯等待电梯的时间的分布列，进而求它们的期望，作差即可知王老师在第4层乘电梯平均节省的时间. 【小问1详解】 由题设，的基本事件为{ I在4层II在其它层，II在4层I在其它层，I、II都在4层}， ∴. 【小问2详解】 当运行一部电梯时，的可能值为{0,a,2a,3a,4a,5a,6a}， 0 a 2a 3a 4a 5a 6a ∴期望， 当运行两部电梯时，的可能值为{0,a,2a,3a,4a,5a,6a}， ，，， ， 0 a 2a 3a 4a 5a 6a ∴期望， ∴运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间为. 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若点M在线段上，，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理边角互化，化简得到，所以； （2）利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得， 而，则，两边平方得， 又，所以，，于是，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 17. 已知函数（e为自然对数的底数）． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，判断函数在上单调递减，即可求出函数的值域． （2）将代入化简得， 令，问题等价于对任意，恒成立， 对求导，讨论k的取值，判断，即可得出答案． 【详解】（1）因为， 所以， ，， ，所以， 故函数在上单调递减，函数的最大值为； 的最小值为， 所以函数的值域为. （2）原不等式可化为，任意恒成立． 因为恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，式可化简为 令，则， 1）当时，， 所以函数在上单调递增，故， 所以； 2）当时，令；得， 所以当时，； 当时，． ①当，即时，函数在单调递减，在单调递增，所以恒成立； ②当，即时，函数但上单调速减， ，解得. 即 综上所述：. 【点睛】本题考查利用导数求函数的值域与不等式恒成立．属于难题． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点. （1）直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明 （2）若二面角的平面角的余弦值为. （i）求侧面的面积； （ii）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 直线不可能垂直于平面 证明如下：连接，由， 由余弦定理 所以， 假设平面，平面， 则，又，得. 在中，，矛盾.故假设不成立. 所以，直线不可能垂直于平面. （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得出，反证法得出即可证明； （2）（i）应用二面角定义得出，再结合余弦定理计算边长进而计算侧面面积；（ii）先应用线面垂直判定定理得出平面，再结合线面角定义求解计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，连接. 连接，由， 由余弦定理 所以，所以，所以， 由题意，得， 所以是二面角的平面角，故. 由余弦定理 所以，所以，所以， 所以，即侧面的面积为 （ii）取的中点，由，知与平面所成角即与平面所成角. 由、是等腰直角三角形，取的中点， 连接，由， ，得，又由，， 平面，所以平面. 取的中点，连接，由，知平面，是直线与平面所成的角. 由，得. 所以与平面所成角的正弦值为 19. 已知椭圆经过点． （1）求的离心率． （2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 【答案】（1） （2）①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， . 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证；②根据题意可得是等比数列，求得，代入放缩可得，，进而得证. 【小问1详解】 因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率； 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025届高三适应性考试数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人 校对人：高三数学组 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数的共轭复数为，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（ ） 参考数据：若，则，． A. 0.8743 B. 0.1257 C. 0.9332 D. 0.0668 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则最小 C. D. 10. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（    ） A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，为棱上一点，且，平面上一动点满足是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体外接球的半径为 B. 点到平面的距离为 C. 球心到平面的距离为 D. 点的轨迹在内的长度为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________． 13. 已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为______． 14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II.电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行.设电梯在每一层运行时间为a.现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量. （1）求： （2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯.求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间. 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若点M在线段上，，，求的最小值． 17. 已知函数（e为自然对数的底数）． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意恒成立，求k的取值范围． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点. （1）直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明 （2）若二面角的平面角的余弦值为. （i）求侧面的面积； （ii）求与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆经过点． （1）求的离心率． （2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $