河南省平顶山市郏县第一高级中学2024—2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

**基本信息** 高二期末数学卷以真实情境（如教职工业余活动、药物试验）融合集合、概率、导数、圆锥曲线等知识，通过基础辨析与综合应用，体现数学眼光观察现实、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、概率、数列、导数|基础概念辨析，如等差数列前n项和最值（第3题）| |多选|3/18|随机事件、函数性质|多选项分层考查逻辑，如互斥与独立事件判断（第9题）| |填空|3/15|双曲线、圆、概率|情境创新，如正方体顶点青蛙跳跃概率（第14题）| |解答|5/77|独立性检验、数列证明、立体几何、导数应用、椭圆综合|综合应用，如药物试验分析（第15题）、椭圆与直线位置关系（第19题）|

2024—2025学年（下）高二年级期末调研考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 3. 已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（ ） 附： () 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 ，. A. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关” C. 有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关” D. 有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关” 5. 已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的最小值点 C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线在处切线的斜率小于零 7. 已知函数，则下列错误的个数是（ ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是（ ） A. 若M，N为互斥事件，且，则 B. 若，则M，N为相互独立事件 C. 若，则M，N为相互独立事件 D. 若，则M，N为相互独立事件 10. 已知定义在上的函数则（ ） A. B. 不存在单调区间 C. D. 在定义域内的任意区间上都不存在最大值 11. 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是_________.． 13. 已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则______. 14. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只. （1）完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效. 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 （2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用X表示服药的只数，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列满足,设. （1）求； （2）证明：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 2024—2025学年（下）高二年级期末调研考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）列联表： 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 20 20 40 服用 35 25 60 合计 55 45 100 没有充分证据表明该药物对预防流感有效. （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明： 是等比数列，且公比为2，首项为4； （3） 【17题答案】 【答案】（1） 连接．因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由题可设，，PQ的中点为， 若直线PQ的斜率为0，不存在满足的点T，故设PQ的方程为， 代入椭圆方程得， 则，，， ∵TF的方程为，令，得， ∴，∴OT过PQ的中点，即点M在直线OT上. （ⅱ）面积最大值为，点T的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $