2025年中考数学真题完全解读（江苏扬州卷）

2025年中考数学真题完全解读（江苏扬州卷） 本套试卷整体命题在遵循《义务教育数学课程标准》的基础上，充分体现了中考命题对基础知识、基本技能和综合能力的要求，注重对学生思维过程的考查，兼顾了地区学情、教情与校情。以下从题型结构、知识点覆盖、难易程度、计算量及思维要求几个方面进行简要评价。 首先，本套试卷在题型与结构上延续了近年来中考“单选题+填空题+解答题”的常规模式。全卷共分三大题型，题量相对稳定。其中单选题共 8 小题，考查范围包括有理数比较、图形的对称性、方差评价随机事件等，题量适中；填空题共 10 小题，按由易到难的顺序分布，涉及一次函数、分式计算、三角几何、勾股定理等内容；解答题则侧重对综合能力的考察，包含函数综合、几何综合和实际应用型問題。这种布局既与往年本地中考试卷风格相衔接，同时也在灵活度和开放度上略有提升。 其次，本卷覆盖了初中阶段的主要知识点。代数部分从分式运算、一次函数、二次函数到分式方程的应用等都有涉及；几何部分涵盖了三角形、平行四边形、菱形以及圆的基本性质，还重点关注了动点与折叠、旋转和投影的应用。这样的知识分布既符合《课程标准》对于必备知识与技能的涵盖要求，也有效检验了学生面对不同题型时综合与迁移的能力。 再次，难易分布较为合理。基础题（如有理数大小比较、简单一次函数性质判断等）难度不大，面向全体学生；而中高档题（如由折叠构造的几何问题、函数与几何结合的问题）则对学生的综合分析及空间想象力提出较高要求，能够区分出不同层次的学生。整套试卷注重过程性评价，对于常见的几何推理论证、二次函数与坐标几何问题，均强调证明思路与计算过程。计算量适中，大多可通过常规方法或适当辅助几何构造求解，不会给学生造成过度负担。 最后，本卷在考查学生逻辑思维与创新意识方面做了较为突出的尝试。例如试卷中出现了材料背景式的问题，如“莲叶的疏水性”“勾股数推算”等，既考查学生理解数学与自然、生活、历史文化的联系，也关注了数学建模与探究过程。这在一定程度上体现了中考对学生综合素养的重视。整套试卷在命题中遵循“面向全体、适度区分、反映素养”的原则，对初中阶段的数学教学和学生数学学科能力的检测都具有较好的导向作用。总体而言，这份试卷能较为准确地反映学生对基础知识与综合运用能力的掌握水平，为九年义务教育终结阶段的教学评价提供了稳定且有效的参考。 1.整体题量与题型 2025年试卷与2024年相比，题量均为28题，题型依旧分为选择题（共8题）、填空题（共10题）、解答题（共10题）。每种题型数量保持不变，考查范围与命题方向基本连续。只是在部分题型位置上做出了调整，例如解答题28题由原来的圆综合压轴调整为四边形综合压轴，二次函数题型由原来的25题中等难度题型调整为今年的27题压轴难度，难度上升。 2.分值与难度安排 ❆选择题共8题，基础与中档兼顾，约占总分的。 ❆填空题共10题，涵盖代数与几何的核心内容，约占总分的。 ❆解答题10题，区分度较高，侧重能力综合与情境分析，约占总分的。 1.选择题考向调整 ❆虽然题型数量不变，但在几何题中增加了对“旋转、折叠、光学成像”等场景的考查，融合空间想象与函数思想，要求学生具备更灵活的几何分析能力。 ❆概率统计题延续往年常见形式，强调抽样调查与方差等基础应用，难度平稳。 2.填空题知识交融 ❆保留常规的因式分解、分式运算、一次函数等考点，进一步强化数形结合，如“三角形中位线”“圆周角”与代数式相结合，凸显了几何与代数融合的趋势。 3.解答题深化情境 ❆题目情境更贴近现实，如“马拉松数据统计”、“折叠与疏水性”等，要求学生在真实场景中综合运用函数、几何、数论等知识点，重视对阅读理解与分析能力的考验。 ❆对关键几何定理与函数性质的灵活运用要求更高，学生需善于构造辅助线、运用坐标与参数方程等方法来解决综合问题。 4.对学生思维与能力的影响 ❆要求学生更注重“多表征”思考方式：数轴、图形、函数表达式之间相互转化。 ❆更看重学生对“情境建模—数学求解—结果合理性判断”的完整过程理解与表达，促进学生在真实情境中的问题解决能力与探究意识提升。 以下针对“2025年江苏省扬州市中考真题数学试卷”作出考情分析。根据试卷给出的题目与答案，整份试卷包括以下题型： ❆选择题（8 小题，约占总分值的 ） ❆填空题（10 小题，约占总分值的 ） ❆解答题（10 小题，约占总分值的 ） 接下来，通过表格的形式呈现各题目的分值分布、题型、考查内容以及难易分析。下表按试题顺序排列。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 容易 2 3 选择题 容易 3 3 选择题 中等偏容易 4 3 选择题 中等 5 3 选择题 中等偏容易 6 3 选择题 中等 7 3 选择题 中等 8 3 选择题 中等 9 3 填空题 容易 10 3 填空题 容易 11 3 填空题 中等 12 3 填空题 容易 13 3 填空题 容易 14 3 填空题 中等 15 3 填空题 中等 16 3 填空题 容易 17 3 填空题 中等偏难 18 3 填空题 较难 19 8 解答题 中等 20 8 解答题 容易 21 8 解答题 中等 22 8 解答题 中等 23 10 解答题 中等 24 10 解答题 中等偏难 25 10 解答题 中等偏难 26 10 解答题 较难 27 12 解答题 较难 28 12 解答题 较难 总体上，该卷难度层级分布合理，既能覆盖基础知识，也能考查学生的综合应用能力和探究思维。 ❆容易题（如第 、、、、、、、 题等）主要考查计算与基础概念，解题过程直接且步骤简洁。 ❆中等题（如第 、、、、、、、、、、、 等）需要对概念间的关系较为熟悉，且能进行一定程度的综合或推理。 ❆较难题与难题（如第 、、、、、、 题）往往关联多个知识点，注重思维的灵活与综合运用，部分题目（如第 、 题）还带有探究与创新思维要求，需要学生具备较强的几何推理及代数综合能力。 本套试卷侧重考查学生对初中数学主干知识的掌握程度及应用能力。在注重基本技能考查的同时，也适度增加了几何综合与函数综合类题目，以检验学生在多情境下的应用与探究能力。易、中、难的配比合理，对各层次学生均有一定的区分度。通过该卷可对学生的知识掌握水平及解决问题能力进行较全面的考查。 以下建议旨在帮助同学们更好地理解本试卷所呈现的重点考查方向，并在接下来的复习中更有针对性地提升综合能力。 1.有理数与实数的比较 ❆试卷第 1 题涉及负数大小比较，尤其要牢记“在负数中，绝对值越大，数值越小”的规律。同学们复习时可多做数轴定位、绝对值比较等练习。 2.几何图形对称性 ❆关于中心对称与轴对称（第 2 题），要分清“绕点旋转 180° 重合”与“沿直线折叠重合”这两种概念，避免混淆。 3.函数与方程 ❆一次函数：掌握一次函数 的图象特性：斜率正负决定增减，截距决定与坐标轴的交点位置。特别注意“不经过某象限”的判断思路。 ❆一元二次方程：通过判别式  判断方程根的情况（第 4 题），并注意与实际意义结合。 ❆反比例函数：如 ，在坐标轴的对称性及与一次函数求交点时，往往需要代入我们习惯称的“代数消元”方法。 4.三角形与圆： ❆圆周角定理、三角形中的中位线、勾股定理（第 16 题等）是常考内容，要对常见的几何辅助线（平行、垂直、平分等）非常熟练。 ❆注意多边形内角、外角关系，以及精确计算每个内角或外角后推断多边形边数（第 13 题）。 5.数据统计与概率： ❆重点关注方差的应用（第 3 题）和直观统计图（如条形图、折线图、饼图）的选用依据，以及概率的基本计算（第 22 题）。 1.选择题： ❆善用排除法：对于备选选项中明显违背概念或数值不合常理的，及时剔除； ❆注重数形结合：有几何背景时画示意图，或在数轴上定位； ❆避免粗心：涉及负号或分数时要聚焦小细节。 2.填空题： ❆强化计算与变形：如分式混合运算、去括号、提取公因式等，都需要扎实的基本功； ❆培养“整体代入”思维：若题目中给出  等特殊结构，要懂得用整体替代，减少重复展开。 3.解答题： ❆书写规范，思路清晰： 先列出已知条件，再写出推理过程或方程（函数），最终呈现结论； ❆几何绘图： 关键辅助线要标明长度、角度、相同线段或角的记号，有助于呈现完整的思路； ❆综合运用： 将代数、几何、函数、统计等多模块知识交叉运用，是中考压轴题的常见形态，要训练综合解题的能力。 1.保证平稳心态： ❆中考复习周期较长，压力也较大。遇到难题时不妨先转换思路或暂时跳过，再回头攻克；保持积极心态，避免因一两道题而自我否定。 2.分阶段逐层突破： ❆第一阶段（基础梳理）： 对教材中出现的概念、公式、定理做系统整理，建立知识网络； ❆第二阶段（专项训练）： 结合往年和本套试卷出现的易错点，如轴对称、中心对称区分、二次方程根判断等，做针对性强化； ❆第三阶段（综合模拟）： 做整卷模拟训练，着重培养解题速度与应试技巧，检验薄弱环节并及时回补。 3.合理安排作息： ❆学习与休息需保持平衡。复习冲刺期应全面避免过度熬夜，保证充足睡眠，有助于提升记忆力和运算准确度。 4. 命题趋势与后续关注 ❆多模块融合：趋势可能继续加大代数与几何、函数与数形结合的联动考查，如一次函数图象与三角形面积结合等，要求同学们综合运用不同知识点。 ❆生活化与创新：近年考试常以“真实情境”命题，例如统计项目与生活数据、几何问题与建筑结构（如实物折叠），需关注对现实素材的理解与引申。 5.更高层次的问题解决： ❆对探究型试题和具有开放性思维的问题，更需培养学生的观察力与多角度思考能力，切勿局限于单一解题套路。 总之，各位同学可先在基础、概念、公式与常考题型上持续发力，配合针对性的专项训练，再通过全真模拟与自我反思进行查漏补缺。相信只要掌握好各知识版块的内在联系、不断积累经验并调整好心态，定能在中考考场上取得理想的成绩！祝大家备考顺利，旗开得胜。 2025年江苏省扬州市中考真题数学试卷 一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合顾目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1．下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 2．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．　 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3．下列说法不正确的是（   ） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程， 其判别式为：， 由于，说明该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 6．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 7．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 8．已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9．2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．若，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 13．若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 14．如图，点，，在上，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 15．如图，在△ABC中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在△ABC中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 17．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到△APE，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 三、解答题(本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 21．为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）． 表1评委评分数据 评委 评委评分 小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9 小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8 表2评委评分数据分析 选手 平均数 中位数 众数 小红 7 小丽 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表2中______，______，______； (2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)；7；8 (2)小丽的成绩较好，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； 把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9， ∴小红的10位评委的评分的中位数为分，即； ∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多， ∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即； （2）解：小丽的成绩较好，理由如下： 从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好． 22．为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 23．某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为(2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 25．如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． c （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】(1)，(2)(3)2，0，4，无数 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解； （2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可； （3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 28．问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，45；（2）；（3）随点的运动，的度数不变，且为 【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解； （3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求： 连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$