21.2.3解一元二次方程——因式分解法（第1课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第一课时 21.2.3 因 式 分 解 法 学 习 目 标 1 2 3 了解因式分解法解一元二次方程的概念。 会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程。 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 知识回顾 1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? （1）配方法 （2）公式法 已知 当时 等号两边同时开平降次为一元一次方程 当 一元二次方程的求根公式 配方化为 这两个方法都需要先将一元二次方程化为一般形式 将a，b，c的值直接代入公式 知识回顾 2.什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫分解因式. （C为多项式，A、B是整式） 3.因式分解有哪些方法? （1）提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) （2）公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 （3）十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 对于有的多项式需要先适当分组再因式分解 4.若𝐴•𝐵=0，能得出什么结论？ 若𝐴•𝐵=0 ，则=0或=0 实数乘法法则 根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 解：设物体经过x秒落回地面，由题意得： 小球最终回到地面， 此时离地高度为0 尝试用配方法和公式法求方程的解？ 导入新课 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 10x-4.9x2 =0 ① 配方法 解方程 10x-4.9x2=0 解：移项得， 4.9x2 -10x=0 系数化为1得，x2 - x =0 配方得， x 2 - x += 整理得， = 由此可得， =± 则= ≈2.04 公式法 解：移项得， 4.9 x 2 -10 x =0 a=4.9,b=-10,c=0 Δ=b2-4ac=100>0 方程有两个不等的实数根 = 即x 1=, x 2=≈2.04 导入新课 做一做 新知探究 ① 探究点1 因式分解法 方程10x - 4.9x 2 = 0化为： ； ∴ 方程的解为：x 1 = 0，x 2 =. 　x = 0 或 10-4.9x = 0 讨论 因式分解：10x - 4.9x 2= ； x (10-4.9x ) x (10-4.9x ) = 0 若𝐴•𝐵=0 ， 则=0或=0 除了配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 ① 配方法 公式法 降次 = 新知探究 探究点1 因式分解法 ① 因式分解 降次 转化为每个一次因式等于0， 得到两个一次方程 x (10-4.9x ) = 0 10x - 4.9x 2=0 ① ∴ x 1 = 0，x 2 =. 　x = 0 或 10-4.9x = 0 思考： 二次方程①如何降为一次的? 因式分解法： 当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个因式的积，进而转化为两个一元一次方程求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 典例分析 探究点1 因式分解法 方程 0(≠0) 通过变形和因式分解 (+p)(+q)=0 +p=0或+q=0 =-p或+=-q 化为一次方程 写出方程的解 例1．方程的正确解法是（ ） A．化为 B． C．化为 D．化为 先移项为 提公因式（x+1）可得 【解析】 注意：方程两边不能同时除以 C 9 例2　　因式分解法解下列方程: 典例分析 探究点1 因式分解法 解： 或 方程= = 因式分解 （1） （2） 或2 因式分解 方程= -= 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解. 新知探究 探究点2 正确运用因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 讨论 ①移项,使一元二次方程等式右边为0; ②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积; ③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; ④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。 由于不是所有的方程都能因式分解，这种方法仅限于能因式分解的一元二次方程. 典例分析 探究点2 正确运用因式分解法解一元二次方程 例3.用因式分解法解方程： 5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0 解： （1）方程化为 因式分解得： 或 解得= = x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 方法二：利用公式直接因式分解 方法一 解：（1）方程化为 方法二 解得= = 典例分析 探究点2 正确运用因式分解法解一元二次方程 例3.用因式分解法解方程： 5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0 解： （2）移项，方程化为 因式分解得： 或 解得= = 方法一 解：（1）方程化为 方法二 方法二： 先化为一般式再因式分解 解得= = 典例分析 探究点2 正确运用因式分解法解一元二次方程 例3.用因式分解法解方程： 5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0 解： （3）因式分解得： 或 解得= = 公因式，直接因式分解 （）（5x-(x＋1)）=0 （）（4x-1）=0 拓展提升 1.解方程组: 解: 由(2)得: 代入(1)中得 解得= = 当= 时 当= 时 ∴解方程组的解: 或 1.用因式分解法解下列方程. （4） 2 （1）因式分解，得 解： 或 解得= =-1 教材P14练习 （2）因式分解，得 或 解得= = 巩固练习 1.用因式分解法解下列方程. （4） 2 （3）化简方程得： 解： ∴ 解得= =1 教材P14练习 （4）因式分解，得 或 解得= - = 巩固练习 1.用因式分解法解下列方程. （4） 2 （5）化简方程得： 解： 或 3 解得= - =- 教材P14练习 （6）化简方程得： - 或 解得= = 巩固练习 巩固练习 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 得 答：小圆形场地的半径是m （不合题意，舍去） 教材P14练习 巩固练习 3．若等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9或12 D． 不能确定 解方程 解得：，． ∵三角形为等腰三角形 ∴腰为5，底为2,（腰为2，底为5舍去） ∴周长为12。 【解】 C 1.(2024·四川凉山·中考真题)已知， 则的值为___. 真题感知 ∵ ，∴ 将代入=0 , 得，=0 ， 即=0 ， ∴=0 或 , 解得= = ∵ ≥0 ∴ = 舍去, ∴ = 3 解: 真题感知 2.（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 去括号，得 ， 则或， 解得：，． 方程两边不能同时除以含未知数的代数式 提公因式后去括号符号不对 正确解答： 课堂小结 方程 0(≠0)，通过变形和因式分解，变成(x+p)(x+q)=0的形式，则x+p=0或x+q=0，进而解出方程。 依据 如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即 若ab=0，则a=0或b=0. 步骤 （1）方程右边化为0； （2）将方程左边因式分解； （3）根据至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 因式分解法解一元二次方程 $$