精品解析：天津市第九十五中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

九十五中学2024-2025学年度第二学期 第二次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在相距2千米的A，B两点处测量目标点C， 若，，则A，C两点之间的距离为（ ）(单位：千米) A. B. C. D. 3. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在抗击“新冠肺炎”疫情期间．在全国人民的努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制，如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．则（ ） A. 甲省的平均数比乙省的平均数大 B. 甲省的方差比乙省的方差大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是13 5. 设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 6. 已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知 为正方体， ， 分别是， 的中点，异面直线 与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 9. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的三角形 D. 直角三角形 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 为做好“新冠肺炎”防疫防控工作，西青区学校坚持落实每日体温检测制度，以下为某校某班级六名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，35.9，36.2，36.6（单位：，则该组数据的第70百分位数____________． 11. 若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为，则该正方体的棱长为_______ 12. 复数满足，①；②；③复数的虚部为；④是方程在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______． 13. 在中，若，，，则__________ . 14. 在中，，，其面积为，则_______． 15. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量； （1）若3与共线，求m； （2）若，求||. 17. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点. 求证：（1）底面； （2）平面； （3）平面平面. 19. 已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，时，求的面积． 20. 如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九十五中学2024-2025学年度第二学期 第二次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直接求解即可 【详解】解：因为， 所以． 故选：A． 2. 在相距2千米的A，B两点处测量目标点C， 若，，则A，C两点之间的距离为（ ）(单位：千米) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，利用正弦定理计算即可. 【详解】，，， 由正弦定理，即， 解得，故C正确. 故选：C． 3. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系及对应的直观图，从而可求直观图的面积. 【详解】解：正的边长为4，以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则对应的直观图如下图（右）所示： 则，故，故边上的高为， 故直观图的面积为， 故选：A． 4. 在抗击“新冠肺炎”疫情期间．在全国人民的努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制，如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．则（ ） A. 甲省的平均数比乙省的平均数大 B. 甲省的方差比乙省的方差大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是13 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图可知甲省、乙省的确诊人数，结合平均数、方差、中位数和极差的定义与计算公式计算，依次判断选项即可. 【详解】甲省的确诊人数依次为28，28，24，27，11，9，13， 乙省的确诊人数依次为19，26，24，29，18，17，23， 所以甲省的平均数为， 乙省的平均数为，故选项A错误； 甲省的方差为， 乙省的方差为， 故选项B正确； 甲省的中位数为24，故选项C错误； 乙省的极差为，故选项D错误． 故选：B． 5. 设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：如果，，那么与平行、相交或异面，故A错误； 对于B：如果，，那么或，故B错误； 对于C：如果，，那么或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 对于D：如果，，根据线面垂直的性质可得，故D正确． 故选：D． 6. 已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算用表示，再利用数量积计算得解. 【详解】由题，，，， ， ， . 故选：D. 7. 已知 为正方体， ， 分别是， 的中点，异面直线 与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为点，连接，则为异面直线 与所成的角或其补角，在中，由余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点为点，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 即为异面直线 与所成的角或其补角， 设正方体棱长为，则， 因为为的中点，为的中点， 所以在中，， ，， 在中，， 所以，即异面直线 与所成的角为. 故选：C 8. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，再由余弦定理可得答案. 【详解】由，则 所以， 则，又 所以. 故选：C 9. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再由，得判断. 【详解】解：都为单位向量， 所以在的角平分线上， 由，得, 由，得， 所以为等腰非等边三角形， 故选：A 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 为做好“新冠肺炎”防疫防控工作，西青区学校坚持落实每日体温检测制度，以下为某校某班级六名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，35.9，36.2，36.6（单位：，则该组数据的第70百分位数____________． 【答案】36.4 【解析】 【分析】根据第70百分位数定义计算可得. 【详解】解：将六名同学某日上午的体温从小到大排列为： 35.9，36.1，36.2，36.3，36.4，36.6， 因为， 所以该组数据的第70百分位数为36.4． 故答案为：36.4． 11. 若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为，则该正方体的棱长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的体对角线即外接球直径求解即可 【详解】如图， 设正方体的棱长为，则其体对角线长为， 其外接球的半径为， 外接球的表面积，得． 故答案为：． 12. 复数满足，①；②；③复数的虚部为；④是方程在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据复数的几何意义计算进而判断①；根据共轭复数的概念判断②；根据复数的实部、虚部概念判断③；将代入方程计算验证即可判断④. 【详解】因为， 则，故选项①正确； ，故选项②错误； 复数的虚部为2，故选项③错误； 因为， 故是方程在复数范围内的一个解，故选项④正确． 故答案为：①④． 13. 在中，若，，，则__________ . 【答案】 【解析】 【详解】在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=． 14. 在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 15. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量； （1）若3与共线，求m； （2）若，求||. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出，，由与共线，能求出； （2）由，求出，从而，由此能求出． 【详解】解：（1），， ∵与共线， ∴﹣3（2m+6）﹣13（2﹣3m）＝0，解得； （2）∵ ∴，解得m＝4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量平行与垂直的坐标运算，属于基础题． 17. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点. 求证：（1）底面； （2）平面； （3）平面平面. 【答案】(1)证明： ∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． (2) 证明： ∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点， 故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD． 又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD． (3) 证明：平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①． 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD． 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD， ∴CD⊥EF ②． 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF． 由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． （2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD． （3）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD， 从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF⊥平面PCD． （1）略． （2）略． （3）略． 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定． 19. 已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积以及正弦定理可得，利用余弦定理可求. （2）利用余弦定理及面积公式可求三角形面积. 【小问1详解】 中，，，且， ， 利用正弦定理，化简可得，， ，而为三角内角，． 【小问2详解】 ，，由余弦定理可得， 即，， 故的面积为． 20. 如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:连接交于点，则为中点， 又是的中点，则， 因平面，平面，则平面. （2）证明:因，是的中点，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，求证，最后由线面平行的判定定理即可； （2）求证，，最后利用线面垂直的判定定理即可； （3）过点作，求证为直线与平面所成角，在中即可求出. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）可知，平面，又平面， 则平面平面， 过点作，垂足为， 又平面平面，平面， 则平面，则为直线与平面所成角， 因，则在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $