暑假自测卷01 二次函数与反比例函数-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

暑假自测卷01 二次函数与反比例函数 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 2．反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 3．若将抛物线向左平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ）    A． B．2 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B、D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数 ． 12．点是函数和图象的交点，则代数式 ． 13．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 14．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 15．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 16．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ． 三、解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中利用描点法画出此二次函数的图象； … … … … (2)当时，观察函数图象，请直接写出函数值的取值范围 ． 18．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 19．某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 20．某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度（C）与时间（min）的函数图象如下，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息， 回答下列问题： (1)玻璃加热速度为 ℃/min； (2)求能够对玻璃进行加工的时长； 21．2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 23．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假自测卷01 二次函数与反比例函数 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数相等，所以形状相同，该选项正确，故不符合题意； B、该抛物线对称轴为，该选项正确，故不符合题意； C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而减小，该选项正确，故不符合题意； D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误，故符合题意； 故选：D． 2．反比例函数的图象在第二、四象限，则二次函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，二次函数图象与性质，首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案，掌握反比例函数的性质与二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴二次函数的开口方向向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在轴右侧， ∴选项符合题意， 故选：． 3．若将抛物线向左平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移3个单位求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵向左平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得到的新抛物线的表达式是． 故选：C． 4．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， ， 故③正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故不正确． 故选：C． 5．已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例数解析式得出反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴、在第三象限，在第一象限， ∴，， ∴， 故选：D． 6．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，该函数有最大值， 故选：A． 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 8．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 9．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与几何结合，根据反比例函数比例系数求阴影部分面积等．根据题意先设，，则，，后得到，后得到，，再利用面积列式计算的值即可． 【详解】解：根据题意得：设，，则，， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积：， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B、D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过点D和点两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点D和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将D，两点的横坐标代入函数解析式得， 点D坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式，解题关键掌握根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式． 先根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，确定比例系数的符号，再写出反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴答案不唯一，如：， 故答案为：． 12．点是函数和图象的交点，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求代数式的值，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点是函数和图象的交点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 14．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 15．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 16．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，轴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中利用描点法画出此二次函数的图象； … … … … (2)当时，观察函数图象，请直接写出函数值的取值范围 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：补充表格如下： … … … … 画出抛物线如图所示． （2）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减少， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的取值范围为． 18．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式求出的值，再把代入函数解析式中求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入到中得， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴此时点P的坐标为或； 在中，当时，则，此时，故原方程无解，即此种情形不存在； 综上所述，点P的坐标为或． 19．某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)卡车能顺利通过隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点C坐标代入解析式，求出对应的函数解析式，再令函数值为0，求出x的值得到A、B坐标即可得到答案； （2）把代入解析式求出此时y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴； （2）解：卡车能顺利通过隧道，理由如下： 在中，当时，， ∴卡车能顺利通过隧道． 20．某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度（C）与时间（min）的函数图象如下，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息， 回答下列问题： (1)玻璃加热速度为 ℃/min； (2)求能够对玻璃进行加工的时长； 【答案】(1)150 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求时长，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． （1）根据图形，利用速度公式：温度除以时间即可得到速度； （2）利用待定系数法求出反比例函数和正比例函数图象的解析式，利用时长等于交点横坐标的差即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：150 （2）解：由题可得，在反比例函数图象上， 设该反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 玻璃温度下降时，与的函数表达式是． 由题图可设玻璃温度上升时的函数表达式为， 点在该正比例函数图象上，代入点可得，， 玻璃温度上升时，与的函数表达式是． 将代入，得， 将代入，得， ， 能够对玻璃进行加工的时长为． 21．2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 【答案】(1) (2)该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）； （2）解：由题意可得， ， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 23．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积； （3）设，则，，根据列出关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，则， ， ； （3）解：设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 24．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$