精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2024-2025学年第二学期高一月考2数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 6. 在三棱锥中，平面，， ，，则三棱锥 的外接球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（ ） A. 男、女员工得分在A区间的占比相同 B. 在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C. 得分在C区间的员工最多 D. 得分在D区间的员工占总人数的19% 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有四个不等的实根 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，则 _______ 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为______ 14. 如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，a证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围； （2）若是纯虚数，求. 16. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 如图所示，平行四边形中，，，点E为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，得到四棱锥.在翻折过程中， （1）求四棱锥体积的最大值； （2）若棱的中点为F，求的长； （3）若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一月考2数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法直接求出z. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据斜二测法的规则将原图复原，然后计算对角线的长度即可. 【详解】根据斜二测法的规则，平行于轴的线段长度在直观图和原图形中保持不变； 平行于轴的线段长度在原图形中是直观图中的2倍. 所以，且. 所以四边形为直角梯形. 根据勾股定理. 故选：C. 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于化简可得，再由可得的值，从而可求出的值 【详解】解：，， ， . ， . . 故选：A. 4. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出. 【详解】若，，则或与异面或与相交，故选项错误； 若，，则与可能相交，故选项错误； 若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误； ， 或，又 ，故选项正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度. 6. 在三棱锥中，平面，， ，，则三棱锥 的外接球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥补全成为长方体，那么长方体的外接球即是三棱锥的外接球，然后根据长方体的外接球半径为体对角线的一半求得半径，最后根据球的表面积公式求得结果. 【详解】将三棱锥补全成为长方体，那么该三棱锥的外接球也是长方体的外接球， 则外接球半径为 . 那么三棱锥的外接球的表面积为 . 故选：B. 7. 已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积得到，在中，由余弦定理得，因为平分，利用三角形面积公式得到. 【详解】因为的面积为，，， 所以，解得. 在中，由余弦定理得 ， 解得. 因为平分，所以. 故选：A. 8. 如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，过作，求证为二面角的平面角，最后在中求出余弦值即可. 【详解】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 因，，则为的中点，，， 因，，则为等边三角形， 则为边上靠近点的四等分点，， 则，则， 则， 故二面角的余弦值为. 故选：B 【点睛】 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（ ） A. 男、女员工得分在A区间的占比相同 B. 在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C. 得分在C区间的员工最多 D. 得分在D区间的员工占总人数的19% 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出员工总数和男员工人数，再求出男女员工在各区间的人数，从而对四个结论逐一判断即可. 【详解】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人）， 所以，解得， 所以男员工人数为（人）， 对于A，女员工得分在区间的占比为， 男员工得分在区间的占比为， 即男、女员工得分在A区间的占比相同，故A正确； 对于B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人， 男员工在区间有（人），区间有（人）， 区间有（人），区间有（人）， 所以区间男员工少于女员工，故B错误； 对于C，区间有（人），区间有（人）， 所以区间人数比C区间多，故C错误； 对于D，区间有（人）， 所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确． 故选：AD 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有四个不等的实根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换求得，然后根据正弦函数的周期性判断A，根据正弦函数的对称性判断B，根据正弦函数的性质求解最大值判断C，结合角的范围，根据正弦函数的性质求方程的根判断D. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到， A选项，函数最小正周期为，A选项正确. B选项，，即时函数取到最大值， 所以函数图象的一条对称轴为直线，B选项正确. C选项，若，则，所以， 即函数在区间上的最大值为1，C选项错误. D选项，若，则，方程即， 所以，即， 所以方程在区间上恰有四个不等的实根，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A. 当P在线段BC₁上运动时， B. 当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C. 当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明平面即可证明；对于B，求三棱锥的体积判断B的真假；对于C，根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断C的真假；对于D，判断点轨迹，求的轨迹长度判断D的真假． 【详解】对于A，如图所示，连接，， 为平行四边形，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 同理可证， ，平面，平面， 平面，，故A正确； 对于B，当在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故B错误； 对于C，如图所示，取中点，连接，，， 易知为等边三角形，故． 当在线段上运动时， 因为，所以或其补角为异面直线与所成角． 当与重合时，异面直线与所成角为． 当与不重合时，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的范围为，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与平面所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）， 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】运用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以 故答案为： 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据中位数、极差的概念求出这四个正整数，再由百分位数的定义求解. 【详解】这组数据的极差，中位数为， 据题意得，即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为，，为正整数且互不相等，所以，，. 所以排列顺序为：； 因为，所以这4个数据的第40百分位数为. 故答案为：2. 14. 如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理，得 ， 在中，由余弦定理，得 ， 由于，得， 即，整理，得， 在中，由余弦定理，得 ,即，代入式化简整理，得 由基本不等式得，即， 当且仅当即时，等号成立， 当时，取得最大值为. 所以面积的最大值为 . 故答案为：. 【点睛】解决此题的关键就是利用余弦定理算两次，得到表达式利用基本不等式得出的最大值，结合三角形的面积公式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，a证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在第二象限，求a的取值范围； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数及所对应的点，再列出不等式求解即得. （2）利用复数除法运算求出复数，再由纯虚数的意义求出，进而求出模. 【小问1详解】 由，得， 由复数对应的点在第二象限，得，解得， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得，则 所以. 16. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1） 取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面. （2） 在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和诱导公式可求角. （2）由三角形面积公式和角，可求的值，再结合余弦定理可求，即可得三角形的周长. 【小问1详解】 由 又得 其中 化简得 又得. 即 因为是三角形的内角，所以. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为． 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 19. 如图所示，平行四边形中，，，点E为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，得到四棱锥.在翻折过程中， （1）求四棱锥体积的最大值； （2）若棱的中点为F，求的长； （3）若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥体积取得最大值，求解即可； （2）方法一：取中点，连接，证明四边形为平行四边形，即可得出答案；方法二：延长交于点，连接，由题意可得，由余弦定理求出，即可求出的长； （3）方法一：设点到平面A′DE的距离为，由求出，由设与平面所成角为，则，求解即可得出答案；方法二：由题意证得平面，则即为与平面所成角，求解即可. 【小问1详解】 取DE的中点O，连接， 是等边三角形， ， 当平面平面时，点到平面的距离最大， 四棱锥体积取得最大值，此时平面， 底面的面积为， 则四棱锥体积的最大值为， 【小问2详解】 方法一：取中点，连接， 分别为中点，，； 四边形为平行四边形，为中点，，， ，，四边形为平行四边形，， 由（1）知，为等边三角形，边长为，所以，所以. 方法二：延长交于点，连接， 四边形为平行四边形，，又为 中点，为中点，又为中点，， 为的中点，所以 . 【小问3详解】 取中点，连接，，连接， ，四边形为平行四边形，四边形为菱形， ，则翻折后， 则即为二面角的平面角，， 作，垂足为，连接， ，，， 平面，平面，又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 为边长为的等边三角形，， ，，， 又，， ，； 方法一：，， 设点到平面A′DE的距离为， ，， ，解得：， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 方法二：取中点，连接，作，垂足为，连接， 分别为中点，且， 与平面所成角即为与平面所成角； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 即为与平面所成角， ， 又，， ， 即与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $