精品解析：河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第三次考试（6月）数学试题

卓越联盟2024—2025学年高二第二学期第三次考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，集合与简用逻辑用语，不等式，函数与导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若曲线在处的切线的斜率为1，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 三个家庭分别从承德避暑山庄、北戴河、野山坡百里峡、白石山这四个景点中选择一个景点旅游，则不同选择方法共有（ ） A. 256种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 5. 某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ） A. 105种 B. 455种 C. 120种 D. 560种 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. C. 15 D. 120 7. 下列是离散型随机变量的是（ ） A. 种子含水量的测量误差 B. 某品牌电视机的使用寿命 C. 某网页在24小时内被浏览次数 D. 测量某一零件的长度产生的测量误差 8. 已知随机变量X的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量满足，其中的分布列如下表所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 某课题组的3名女老师和6名男老师乘坐这三辆车去参加团建活动，每辆车随机安排3名老师乘坐，则（ ） A. 车辆A不安排女老师的概率为 B. 车辆A至少安排2名女老师的概率为 C. 车辆B安排1名女老师的概率为 D. 这三辆车均安排了女老师的概率为 11. 某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极值点为_______，极值为_______． 13. 小元拍摄个人影像集，包含城市街拍风、复古风、英伦风、国潮风、简约时尚风和中国传统风6套装造．拍摄时，小元要求复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，且城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，则不同的排法种数为_______． 14. 为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）若直线与曲线相切，求a的值； （2）若函数在上存在单调递增区间，求a的取值范围． 16. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 001 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集的数据如表所示． 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间t/分钟 62 68 75 81 89 95 102 108 （1）试根据这以上数据建立加工时间t关于零件数x的经验回归方程； （2）当零件数为99个时，试估计加工时间为多少分钟． 参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 18. 甲、乙两人进行解题技能比赛，比赛规则如下：每轮比赛甲、乙每人均需要解答3道试题，解对题量多一方获得1分，解对题量少的一方不得分．若两人解对的题量相等，则两人均不得分．已知甲解对每道题的概率均为，乙解对每道题的概率均为p，每人解对每道题与否互不影响，甲、乙解对试题与否互不影响，每轮比赛互不影响． （1）若，求一轮比赛后甲比乙多解对1道试题概率； （2）设事件A表示“在一轮比赛中乙获得1分”，求； （3）设，若乙要想至少获得2分，则从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛． 19. 某课程开发团队开发了三类课程，分别为经典课（录播模式）、双师课（直播+辅导）、智适应课（AI驱动），其中智适应课尚在测试阶段．每位用户只能选择其中一类课程进行学习，其中经典课的用户占总用户的40%，该课程的完成率（以下称完课率）为65%，双师课的用户占总用户的60%，其完课率为85%，智适应课还在测试阶段，暂无用户． （1）从现有用户中随机抽取一人，求该用户完成所选课程的概率． （2）为测试智适应课的效果，该团队计划在各类课程完课率不变的情况下减少经典课、双师课的用户占比，增加智适应课的用户占比．若每位用户是否完成课程相互独立，且智适应课的完课率为90%，经典课、双师课用户减少的占比相等，则当智适应课的用户占比为多少时，可以保证从完成课程的用户中随机抽取一人，其选择智适应课的概率为22.5%? （3）设智适应课开放使用后的用户占比为．已知智适应课的用户占比影响服务器的配备台数，当时，则需使用1台服务器；当时，则需使用2台服务器；当时，则需使用3台服务器．若每台服务器的年固定成本为30万元，投入使用的服务器每台每年可获得收入200万元，未投入使用的服务器每台每年没有收入，，．为使总利润的期望最大，试问该团队应配备几台服务器？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 卓越联盟2024—2025学年高二第二学期第三次考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，集合与简用逻辑用语，不等式，函数与导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常用数集的表示、一元二次不等式的求解，结合交集的运算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D. 2. 若曲线在处的切线的斜率为1，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得. 故选：A 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令，结合函数的定义域即可求解函数的单调递减区间. 【详解】的定义域为，且. 令得，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 4. 三个家庭分别从承德避暑山庄、北戴河、野山坡百里峡、白石山这四个景点中选择一个景点旅游，则不同的选择方法共有（ ） A. 256种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知三个家庭中，每个家庭都有种选择方法， 由分步乘法计数原理得，共有种不同的选择方法． 故选：C. 5. 某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ） A. 105种 B. 455种 C. 120种 D. 560种 【答案】A 【解析】 【分析】采用隔板法分析，取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，再结合组合数计算可得. 【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板， 这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间元素个数分别对应这3个年级的学生名额， 则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等． 因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种． 故选：A. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. C. 15 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可求解. 【详解】在的展开式中，需要从个因式中的个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项， 所以含的项的系数是. 故选：B. 7. 下列是离散型随机变量的是（ ） A. 种子含水量的测量误差 B. 某品牌电视机的使用寿命 C. 某网页在24小时内被浏览次数 D. 测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 8. 已知随机变量X的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由概率分布列中所有概率和为1可求得，从而根据互斥事件概率公式计算出概率． 【详解】根据分布列概率之和为1，得，解得， 则． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量满足，其中的分布列如下表所示，则（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分布列以及均值的公式即可求出，判断A选项；再利用均值的性质可求得，判断B选项；根据方差的公式可求得，判断C选项；再利用方差的性质可求得，判断D选项. 【详解】由分布列可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD. 10. 某课题组的3名女老师和6名男老师乘坐这三辆车去参加团建活动，每辆车随机安排3名老师乘坐，则（ ） A. 车辆A不安排女老师的概率为 B. 车辆A至少安排2名女老师的概率为 C. 车辆B安排1名女老师的概率为 D. 这三辆车均安排了女老师的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用超几何分布或选取问题用组合数思想，结合古典概型来解题即可 【详解】由题意得车辆不安排女老师的概率为，A正确． 车辆至少安排2名女老师的概率为，B错误． 车辆B安排1名女老师的概率为，C正确． 这三辆车均安排了女老师的概率为，D正确． 故选：ACD. 11. 某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的定义可判断A选项；求出的表达式，结合可判断C选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B选项；利用的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意易得，A正确， 对于C选项，， 所以， 显然，C错误； 对于B选项，，B正确； 对于D选项，因为，所以． 因为， 所以，所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极值点为_______，极值为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】易得， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，极小值为． 故答案为：； 13. 小元拍摄个人影像集，包含城市街拍风、复古风、英伦风、国潮风、简约时尚风和中国传统风6套装造．拍摄时，小元要求复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，且城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，则不同的排法种数为_______． 【答案】144 【解析】 【分析】首先安排城市街拍风，再利用插空法安排剩下的五个装造即可. 【详解】城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，有2种排法， 复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，有种排法， 所以不同的排法种数为. 故答案为：144. 14. 为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 【答案】 ①. ②. 28 【解析】 【分析】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个，求出普通果的数量，根据题意列出方程求解即可求解. 【详解】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个， 则普通果的数量为个， 由题意得， 解得，由超几何分布可知，. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）若直线与曲线相切，求a的值； （2）若函数在上存在单调递增区间，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出切点，根据导数的几何意义列斜率和函数值相关等式即可求解. （2）由题意可得在上有解，即分离参数即在上有解，根据函数的单调性求其最大值即可求解. 【小问1详解】 由题意得． 设切点为，则 解得． 【小问2详解】 由，得． 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解． 设，，则函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 16. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联 【解析】 【分析】（1）由题意计算填写可得； （2）由卡方的计算可得. 【小问1详解】 列联表如下． 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 900 100 1000 平衡力差 850 150 1000 合计 1750 250 2000 【小问2详解】零假设为：平衡力的好坏与心脏病风险没有关联． 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联． 17. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集的数据如表所示． 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间t/分钟 62 68 75 81 89 95 102 108 （1）试根据这以上数据建立加工时间t关于零件数x的经验回归方程； （2）当零件数为99个时，试估计加工时间为多少分钟． 参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1） （2）121分钟． 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用最小二乘估计公式即可求出； （2）将代入回归方程中即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 则 ， ， 则，， 故加工时间t关于零件数x的经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，， 故当零件数为99个时，加工时间约为121分钟． 18. 甲、乙两人进行解题技能比赛，比赛规则如下：每轮比赛甲、乙每人均需要解答3道试题，解对题量多的一方获得1分，解对题量少的一方不得分．若两人解对的题量相等，则两人均不得分．已知甲解对每道题的概率均为，乙解对每道题的概率均为p，每人解对每道题与否互不影响，甲、乙解对试题与否互不影响，每轮比赛互不影响． （1）若，求一轮比赛后甲比乙多解对1道试题的概率； （2）设事件A表示“在一轮比赛中乙获得1分”，求； （3）设，若乙要想至少获得2分，则从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛． 【答案】（1） （2） （3）5轮 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. （2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. （3）设随机变量表示轮比赛后乙获得积分，则，利用二项分布的期望公式及得，然后令，利用导数求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“一轮比赛中解对道试题”， 事件表示“在一轮比赛中解对道试题”其中， 事件表示“轮比赛后甲比乙多解对1道试题”， ． 【小问2详解】 依题意得 ． 【小问3详解】 设随机变量表示轮比赛后，乙获得的积分， 则，． 由，得， 又，所以． 令， 则在上恒成立， 即在上单调递增，所以的最小值为， 即的最小值为，则的最大值为． 因为，所以理论上至少要进行5轮比赛． 19. 某课程开发团队开发了三类课程，分别为经典课（录播模式）、双师课（直播+辅导）、智适应课（AI驱动），其中智适应课尚在测试阶段．每位用户只能选择其中一类课程进行学习，其中经典课的用户占总用户的40%，该课程的完成率（以下称完课率）为65%，双师课的用户占总用户的60%，其完课率为85%，智适应课还在测试阶段，暂无用户． （1）从现有用户中随机抽取一人，求该用户完成所选课程的概率． （2）为测试智适应课效果，该团队计划在各类课程完课率不变的情况下减少经典课、双师课的用户占比，增加智适应课的用户占比．若每位用户是否完成课程相互独立，且智适应课的完课率为90%，经典课、双师课用户减少的占比相等，则当智适应课的用户占比为多少时，可以保证从完成课程的用户中随机抽取一人，其选择智适应课的概率为22.5%? （3）设智适应课开放使用后的用户占比为．已知智适应课的用户占比影响服务器的配备台数，当时，则需使用1台服务器；当时，则需使用2台服务器；当时，则需使用3台服务器．若每台服务器的年固定成本为30万元，投入使用的服务器每台每年可获得收入200万元，未投入使用的服务器每台每年没有收入，，．为使总利润的期望最大，试问该团队应配备几台服务器？ 【答案】（1）0.77． （2）智适应课的用户占比需达到． （3）2台服务器． 【解析】 【分析】（1）设事件为“取的用户完成所选课程”事件为“用户选择经典课”事件为“用户选择双师课”由全概率公式计算可得； （2）设事件为“用户选择智适应课”经典课、双师课的用户占比均减少，由条件概率公式计算可得； （3）分别求出配备1,2,3台设备的总利润，再比较可得. 【小问1详解】 设事件为“取的用户完成所选课程”事件为“用户选择经典课”事件为“用户选择双师课” 则由全概率公式，得， 即从现有用户中随机抽取一人，该用户完成所选课程的概率为0.77． 【小问2详解】 设事件为“用户选择智适应课”经典课、双师课的用户占比均减少， 则． 由条件概率公式，得，所以， 解得， 所以智适应课的用户占比需达到． 【小问3详解】 设总利润为万元． ①若配备1台服务器，则万元． ②配备2台服务器， 当时，使用1台服务器，则； 当时，使用2台服务器，则． 所以万元． ③配备3台服务器， 当时，使用1台服务器，则； 当时，使用2台服务器，则； 当时，使用3台服务器，则． 所以万元． 因为，所以为使总利润的期望最大，该团队应配备2台服务器． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$