精品解析：安徽省淮北市濉溪县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

濉溪县2024—2025学年度第二学期教学评估 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次根式取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 直角三角形中三条边分别是3，4，，则的值是（ ） A. B. 5 C. 5或7 D. 5或 6. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，化简得（ ） A. B. C. D. 8. 若方程中，满足和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（ ）亿元． A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将 沿折叠，使点落在对角线上的点 处，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，满分20分） 11. 最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____ 13. 实数在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 14. 对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 三、解答题（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 16. 解一元二次方程： 四、解答题（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 每个小方格的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，若三角形的三个顶点都在格点上，则这个三角形叫格点三角形． （1）如图1，是_____ （2）以格点为顶点，能做出边长分别是的吗？若能，请在图2中作出来． （3）的面积是_____． 18. 观察下列计算：；．同理可以化简得：； （1）化简 （2）计算结果中找出规律，用（为正整数）表示为 ；并利用这一规律计算 五、解答题（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 设是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围． 六、解答题（本大题共两小题，每小题12分，共24分） 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示） （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元． 22. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； 七、解答题（本题满分14分） 23. 公元3世纪初，我国数学家赵爽证明勾股定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点 、点 、点三点共线）进行了勾股定理的证明．与是一样的直角三角板，两直角边长为，，斜边是． 请用此图1证明勾股定理． 扩展应用1：如图2，以的边和边为边长分别向外作正方形 和正方形，过点 分别作的垂线段 ，那么 的数量关系是怎样?说明理由． 扩展应用2：如图3，在两平行线 之间有一正方形，已知点和点 分别在直 上，过点 作直线 ，已知 之间距离为， 之间距离为2．直接出正方形的面积是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濉溪县2024—2025学年度第二学期教学评估 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，熟记最简二次根式的定义是解决问题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐个判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. 是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只有一个未知数且未知数次数为2的整式方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐项判断即可． 【详解】解：A： 含有分式，不是整式方程，不符合题意； B： 中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是二次方程，不符合题意； C： 展开后为，是整式方程且最高次数为2，符合定义． D：，展开右边得合并后方程为，化简得，为一次方程，不符合题意． 故选C． 3. 下列根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据算术平方根的定义，二次根式的减法，二次根式的性质，二次根式的乘法依次对各选项进行分析即可作出判断．掌握相应的定义，运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 二次根式取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查二次根式以及分式有意义的条件，掌握它们有意义的条件是解题的关键. 根据二次根式和分式有意义的条件可得 ，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得 ， ， 故选：C． 5. 直角三角形中三条边分别是3，4， ，则 的值是（ ） A. B. 5 C. 5或7 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分斜边是a和4两种情况，分别运用勾股定理求解并结合选项即可解答． 【详解】解：在直角三角形中，若a为斜边，则； 若4为斜边，则； 综上， 的值是5或． 故选D． 6. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平方式的形式，再用完全平方公式进行分解因式． 【详解】解： ， 移项得：， 等式两边同时加， 可得： 整理得：． 故选： C． 7. 当时，化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 8. 若方程中，满足和，则方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 9. 某经济开发区，今年一月份工业产值达 亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（ ）亿元． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据月平均增长率分别计算各月产值，再求和得到第一季度总产值即可． 【详解】解：一月份产值为 亿元， 二月份产值为亿元，三月份产值为亿元， 第一季度总产值为： ． 故选：B． 10. 如图，在矩形纸片 中，，，点在上，将 沿折叠，使点落在对角线上的点 处，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， 根据勾股定理，列出方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 故选：． 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，满分20分） 11. 最简二次根式和是同类二次根式， 的值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则 的取值范围是_____ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得，由根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 实数 在数轴上的位置如图所示：则化简为_____ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 14. 对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴ ，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先利用平方差公式去括号，然后计算二次根式乘法和化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 16. 解一元二次方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴或， ∴或． 四、解答题（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 每个小方格的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，若三角形的三个顶点都在格点上，则这个三角形叫格点三角形． （1）如图1，是_____ （2）以格点为顶点，能做出边长分别是的吗？若能，请在图2中作出来． （3）的面积是_____． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）能； （3）3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，借助网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，得到，再勾股定理逆定理推出为等腰直角三角形； （2）根据要求，结合勾股定理画出即可； （3）利用网格求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理，得：， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 由题意，即为所求； 【小问3详解】 由图可知：． 18. 观察下列计算：；．同理可以化简得：； （1）化简 （2）计算结果中找出规律，用（为正整数）表示为 ；并利用这一规律计算 【答案】（1） （2）；44 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）根据题干给出的等式，化简，先进行分母有理化再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 由题可知：； ． 五、解答题（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 设是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是方程 的两个根， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵是方程 的两个根， ∴， ∴ ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）a>4 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1) =a2-4a+4 =(a-2)2≥0， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：x2-ax+a-1=0， x=， ∴x1=1，x2=a-1， ∵方程有一实数根大于3， ∴a-1>3， 解得a>4， 即a的取值范围为a>4． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根． 六、解答题（本大题共两小题，每小题12分，共24分） 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示） （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元． 【答案】（1） （2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可； （2）设每件商品降价元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件， ∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件， ∴平均每天销售数量为件， 故答案为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元， 根据题意得：， 解得： ， （符合题意） （舍去） 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的销售利润问题，解题的关键是根据题意列出方程，并熟知总利润=单件利润×销售量． 22. 如图，中，，，，若点 从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若时，求出此时的值； （2）若点 恰好在的角平分线上（点除外），求的值； 【答案】（1）秒或秒； （2）秒． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据勾股定理可以求出，当点 在上时，则，，利用勾股定理可得：，解方程求出；当 点在中点时，可得：秒； 过 作，因为点 恰好在的角平分线上，可证，根据全等三角形的性质可知，则 ，设，则，利用勾股定理可得，解方程可得：，所以可得． 【小问1详解】 解：中，，，， ， 当点 在上时， 如下图所示：连接， 当时，则，， 在中，， ， 解得：， 当秒时，； 当 点在中点时，， 秒， 当秒或秒时，； 【小问2详解】 解：如下图所示，过 作， 又点 恰好在的角平分线上，且，，， ， 在和中，， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 综上，若点 恰好在的角平分线上，的值为秒． 七、解答题（本题满分14分） 23. 公元3世纪初，我国数学家赵爽证明勾股定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点 、点 、点三点共线）进行了勾股定理的证明．与是一样的直角三角板，两直角边长为 ，，斜边是． 请用此图1证明勾股定理． 扩展应用1：如图2，以的边和边为边长分别向外作正方形 和正方形，过点 分别作的垂线段 ，那么 的数量关系是怎样?说明理由． 扩展应用2：如图3，在两平行线 之间有一正方形 ，已知点和点 分别在直 上，过点 作直线 ，已知 之间距离为， 之间距离为2．直接出正方形的面积是 ． 【答案】 证明：∵点 、点 、点三点共线， ， ∴四边形是直角梯形， ∵与是一样的直角三角板， ∴， ∴，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ，， ∴，即有， ∴； 拓展1： ，理由： 过作于点 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ，即 ， 故答案为： ； 拓展2：5 【解析】 【分析】首先说明，结合全等三角形的性质可得是等腰直角三角形；用 ，，表示三角形与梯形的面积，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积和便可得结论； 拓展1：过作于点 ，再证明三角形全等即可得结论； 拓展2：过点 作 ，分别交 于点 ，交于点 ，然后证明三角形全等，转化线段，再用勾股定理解答即可． 【详解】略 拓展1：略 拓展2：过点 作 ，分别交 于点 ，交于点 ，如图3， 则 ， ∴ ， ∴ ， 在和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴在 中，可有 ， ∴正方形的面积为5． 故答案为：5． 【点睛】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用、正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质与判定等知识，解题关键是构造全等三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $