9.1 分式及其基本性质 教学设计2024-2025学年沪科版数学七年级下册

第9章 分式9.1 分式及其基本性质教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是沪科版初中数学七年级下册第9章《分式》的9.1节《分式及其基本性质》，学生将通过实际问题抽象出分式的概念，理解分式的定义，明确分式中分母不能为零的条件，掌握分式有意义的条件，探究分式的基本性质，学会运用分式的基本性质进行简单的分式变形和约分，了解有理式的分类，知道整式和分式统称为有理式。 2.内容解析 学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的相关知识，这为学习分式奠定了基础。分式是不同于整式的另一类代数式，它是两个整式相除的商，当分母中含有字母时便形成了分式。通过本节课的学习，学生能够拓展代数式的认知范畴，深入理解代数式的多样性。分式的学习是分数知识的延伸和拓展，二者在概念、基本性质及运算等方面有诸多相似之处，学生可以通过类比分数来学习分式，这有助于培养学生的类比推理能力。分式在实际生活中有着广泛的应用，如在解决工程问题、行程问题、浓度问题等实际问题中都会用到分式，通过本节课的学习，学生能够学会用分式表示实际问题中的数量关系，体会数学与生活的紧密联系，为后续学习分式的运算、分式方程等内容打下坚实的基础。 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解分式的概念，能准确判断一个代数式是否为分式，明确分式有意义的条件。 （2）掌握分式的基本性质，能运用分式的基本性质进行分式的变形和约分，理解最简分式的概念。 （3）通过对分式概念和基本性质的探究，培养学生的抽象概括能力和类比推理能力，体会数学知识的内在联系。 2.目标解析 通过本节课的学习，学生能够从具体的实际问题中抽象出分式的概念，理解分式与整式的区别，学会用分式表示实际问题中的数量关系，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。学生在探究分式基本性质的过程中，经历观察、比较、归纳等数学活动，进一步发展逻辑思维能力，体会类比的数学思想方法，为后续学习分式的运算和分式方程等内容做好铺垫。同时，通过分式在实际生活中的应用案例，让学生感受到数学的实用价值，激发学生学习数学的兴趣，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题的意识。 三、教学问题诊断分析 1. 分式概念理解不清晰 学生可能会对分式的定义理解不透彻，不能准确判断一个代数式是否为分式，容易将一些形式类似分式但实际不是分式的代数式混淆，例如对分母中是否含有字母的判断不准确。 2. 分式有意义条件应用不当 在解决分式有意义的问题时，学生可能会忽略分母不能为零的条件，或者在求解分母为零的方程时出现错误，导致对分式有意义的范围判断不正确。 3. 分式基本性质运用不熟练 学生在运用分式的基本性质进行分式变形时，可能会出现分子分母同时乘以或除以一个整式时，忽略该整式不能为零的条件，或者在约分过程中不能准确找出分子分母的公因式，导致约分错误。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 一个长方形的面积为，如果它的长为，那么它的宽为多少？ 设计意图：通过生活中常见的长方形面积问题，引导学生用含有字母的式子表示宽，即，让学生初步感受分式的形式，体会分式是解决实际问题的需要，为引出分式的概念做铺垫，对应目标1中理解分式的概念。 问题2 某超级杂交稻育种基地有两块稻田，第一块稻田，每公顷产超级杂交稻；第二块稻田，每公顷产超级杂交稻，则这两块稻田平均每公顷产超级杂交稻多少千克？ 设计意图：进一步通过实际问题，让学生用含有字母的式子表示两块稻田的平均产量，即，加深学生对分式形式的认识，让学生体会到分式在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣，对应目标1中用分式表示实际问题中的数量关系。 （二）合作探究 探究1 师：观察上面得到的两个式子和，它们与我们学过的整式有什么不同？ 生：它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含字母。 师：很好，那么什么样的式子叫做分式呢？ 生：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式。 追问：为什么分式中分母不能为零呢？ 生：因为分母为零时分式无意义，就像分数中分母不能为零一样。 归纳总结： · 分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式，其中叫作分式的分子，叫作分式的分母。 · 分式有意义的条件：分母不能为零。 · 有理式的分类：整式和分式统称为有理式，即 有理式整式分式 （三）典例分析 例1 下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，，。 解析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子是分式，分母中不含字母的式子是整式。 · 分式有：，，，。 · 整式有：，，。 涉及知识点：分式的概念，整式的概念。 例2 （1）当取什么值时，分式有意义？ （2）当是什么数时，分式的值为零？ 解析： （1）要使分式有意义，分母不能为零，即，解得。 （2）要使分式的值为零，分子必须为零，且分母不能为零。由，解得。当时，分母，所以当时，分式的值为零。 涉及知识点：分式有意义的条件，分式值为零的条件。 设计意图：通过具体的例题，让学生巩固分式的概念和分式有意义的条件，学会运用所学知识解决实际问题，提高学生的分析问题和解决问题的能力，对应目标1中准确判断分式及掌握分式有意义的条件。 （四）巩固练习 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子是分式。选项A、C、D的分母中都不含字母，只有选项B的分母中含有字母，所以是分式。涉及知识点：分式的概念。 1. 当为多少时，分式有意义？ 答案： 解析：要使分式有意义，分母不能为零，即，解得。涉及知识点：分式有意义的条件。 1. 一箱苹果售价元，箱子与苹果总质量为，箱子质量为，每千克苹果的售价为多少元？ 答案：元 解析：苹果的质量为，售价为元，所以每千克苹果的售价为元。涉及知识点：用分式表示实际问题中的数量关系。 1. 已知轮船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两地的航程为，船从甲地顺江而下到乙地需要多少时间？从乙地返回甲地需要多少时间？ 答案：顺流时间为小时，逆流时间为小时。 解析：顺流速度为轮船在静水中的速度加上水流速度，即，根据时间=路程÷速度，顺流时间为小时；逆流速度为轮船在静水中的速度减去水流速度，即，逆流时间为小时。涉及知识点：用分式表示实际问题中的数量关系。 1. 根据分式的基本性质填空： 答案： 解析：分式的分子分母同时除以，分式的值不变，所以。涉及知识点：分式的基本性质。 1. 约分： 答案： 解析：分子分母的公因式为，约分可得。涉及知识点：分式的约分，分式的基本性质。 1. 下列约分是否正确？如果不正确，请改正。 答案：不正确，改正为 解析：分子可变形为，所以。涉及知识点：分式的约分，分式的基本性质。 1. 当取什么值时，分式的值为零？ 答案： 解析：要使分式的值为零，分子必须为零，且分母不能为零。由，即，解得或。当时，分母，分式无意义，所以当时，分式的值为零。涉及知识点：分式值为零的条件，分式有意义的条件。 1. 化简： 答案： 解析：分子分解因式为，分母分解因式为，所以。涉及知识点：分式的约分，因式分解，分式的基本性质。 （五）归纳总结 知识点 内容 分式的概念 如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式，其中是分子，是分母 分式有意义的条件 分母不能为零 有理式的分类 整式和分式统称为有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，即（、、都是整式且） 约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分，约分的结果是最简分式或整式 （六）感受中考 1. （2023·大庆）若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：要使分式有意义，分母不能为零，即，解得，故选B。涉及知识点：分式有意义的条件。 1. （2023·台州）下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子是分式，选项B的分母中含有字母，所以是分式，故选B。涉及知识点：分式的概念。 1. （2022·聊城）化简的结果是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：分子分解因式为，所以，故选A。涉及知识点：分式的约分，因式分解，分式的基本性质。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 分式的概念：（、为整式，含字母）分式有意义的条件：分式的基本性质：（）约分：约去公因式，化为最简分式或整式有理式分类：整式、分式 （十）布置作业 1. 必做题： （1）课本习题9.1第1题：下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，， （2）课本习题9.1第2题：当取什么值时，下列分式有意义？ ， （3）课本习题9.1第3题：约分： 1. 探究性作业： 观察生活中还有哪些问题可以用分式来表示，例如购物时的单价、工程中的工作效率等，收集3个这样的例子，并分别说明分式中分子和分母所表示的实际意义。 五、教学反思（先空白，课后再写） 学科网（北京）股份有限公司 $$