精品解析：山东省青岛第二中2024-2025学年学高三上学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省青岛第二中学高三（上）期末数学试卷 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设向量，，则在上的投影为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 2或 8. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C D. 若，则数列的前项和小于 11. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ） A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. （点O为坐标原点）的最小值为7 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作．若曲线在点处的切线斜率为3，且，则______． 13. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 14. 三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8，0.4，0.5，若三人各射击一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为_________；至少有两人中靶的概率为_________． 四.解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知向量. （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 16. 在三棱柱中，，平面． （1）证明：平面． （2）已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． 17. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）若不等式恒成立，求实数取值范围； （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行. （1）求双曲线C的方程； （2）经过点F直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省青岛第二中学高三（上）期末数学试卷 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合的解集，再根据集合的运算可求出结果. 【详解】集合， 又集合， 故选：D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断. 【详解】由，可得， 故在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3. 设向量，，则在上的投影为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴在上的投影为. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 5. 在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心位于对称轴上，由平行线性质求得球半径后可得球体积． 【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面， 由对称性知其内切球球心在上，到的距离相等为球的半径，设其为， 因为是直角，所以是正方形，即， 由得，即，解得， 球体积为． 故选：C． 6. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以为偶函数，故C错误； 又对两边求导，得， 即，所以是偶函数，故B错误； 由，可得， 由，可得， 所以，即，即得， 所以是周期为4的函数，则，所以是奇函数，故A正确； 由，可得，即， 又由，可得， 所以，即为偶函数，所以为偶函数，故D错误. 故选：A. 7. 已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值. 【详解】 . 令，则，， 开口向下，对称轴， 当时，则，无解. 当时，则. 综上所述，的值为. 故选：B 8. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示： 由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题. 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给变量赋值可得系数关系，即可判断AD，对于B就得用构造的二项式展开式，利用展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于C就得用等式两边求导思想，再赋值就可得到结果． 【详解】令，代入得：，故选项A正确的； 由得： ， 所以，， 即，，由于，所以，故选项B是错误的； 由两边求导得： ， 再令，代入上式得：，故选项C是正确的； 再令，代入可得： ， 因为，所以，故选项D是错误的； 故选：AC. 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ） A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. （点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项. 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图： 则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作．若曲线在点处的切线斜率为3，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由振幅定义可得，再由导数的几何意义可得，然后联立方程，即可得到结果. 【详解】， 当，时，单调递增，所以， 则，又，则，两式联立得. 故答案为： 13. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用给定条件，求出点的坐标，再借助比例式建立方程求出离心率. 【详解】令，直线：，在椭圆中，令，得， 点，在抛物线中，令，得， 由，得，即，而， 解得，所以的离心率 故答案为： 14. 三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8，0.4，0.5，若三人各射击一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为_________；至少有两人中靶的概率为_________． 【答案】 ①. 0.16## ②. 0.6## 【解析】 【分析】第一空，直接利用独立事件的概率公式求解即可，第二空，根据独立事件和互斥事件的概率公式求解即可 【详解】甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8，0.4，0.5， 则甲、乙、丙三人都中靶的概率为， 至少有两人中靶的概率为， 故答案为： 四.解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知向量. （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 （1）因为， 可得 ， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 16. 三棱柱中，，平面． （1）证明：平面． （2）已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，M是的中点． 【解析】 【分析】（1）由平面得，又，即可证平面，由平面即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面的法向量和平面的法向量，利用夹角公式即可表示出含的方程解出即可. 【小问1详解】 证明：已知平面，平面，∴． ∵，，∴平面． 又平面，∴平面平面． 【小问2详解】 过C作AB的平行线作为x轴，以AC所在直线为y轴，以所在直线为z轴（C为坐标原点，为正方向）建立如图所示的空间直角坐标系． 由，，，，即， 设， 则，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则有，令， 易得平面的一个法向量为． 平面的法向量为， ，， ，令， ∴平面的一个法向量为． ． 设平面和平面夹角为，则由平面和平面夹角的正切值为， 即，又，解得， ，解得，即M是的中点． 17. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据可得，进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可； （2）由题可得，进而得，然后参变分离，求函数的最值即得. 【小问1详解】 由题意知，， 即， 所以， 故， ∴， 因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增， 所以单调递增，又 为增函数， 所以函数在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数a的取值范围是； 【小问2详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， ∴，即存在，使成立， 令， 因为在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， ∴， ∴， 所以实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行. （1）求双曲线C的方程； （2）经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于a,b的等式，结合离心率即可求得a,b，可得双曲线方程； （2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合可得､的斜率之和为，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立. 【小问1详解】 设，由条件知的斜率等于， 即，又， , ，， 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 存在点满足恒成立，且点在轴上. 理由如下:设点，过点，设直线, 由,消去得, , 设， 由韦达定理得，①,，② ，､的斜率之和为， 即，因为，， 所以代入整理得：，③ 将①②代入③可得，即,④ ④式对任意实数都成立，， ,即存在点满足恒成立，且点在轴上. 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）数列是“和稳定数列”， 不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式； （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果； （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【小问1详解】 根据题意可知，所有可得， 又因是等比数列，所以设的公比为，则， 所以， 因①， 当时，②， ①式减去②式可得， 将，可得， 将之化简可得， 所以数列是为首项，公差为的等差数列， 故. 【小问2详解】 由题意知集合， 则化简转化为， 设前项和为， 数列前项和为， 且解之可得， 所以集合所有元素之和为 . 【小问3详解】 数列是“和稳定数列”，理由如下： 当时，是正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； 数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则， 且， 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 【点睛】方法点睛：解决新定义的综合性数列题目，常用思想及方法有： （1）数列的公式法；（2）数列定义法；（3）阅读理解能力应用；（4）分类与整合思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$