14.4.2用样本估计总体的离散程度参数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 复习导入 平均数 个实验数据的平均数（），一般记为 加权平均数 复习导入 众数：反映总体中数据较为集中的位置；不能反映极端值和众数所在的位置 中位数：将样本数据分成两部分,比它小的占一半,比它大的占一半； 不能反映数据的集中情况和极端值. 平均数：反映总体数据的平均状态；与数据的变化有关, 极端值对平均数会有较大的影响. 任何一个样本数据的改变都可能引起平均数的变化. 新知探究 情境1:甲、乙两个单位的职工收入情况如下,甲单位月平均工资1800元;乙单位月平均工资1500元,最低不少于1000元,如果你到两单位去应聘,最终你将选择哪个单位? 分析:如果甲单位每位职工的工资悬殊不大,都在1800元左右,那么选择甲单位 如果甲单位职工的工资悬殊太大,假如极少职工达上万元的月工资,那么其他职工的工资就很低了,选择甲单位应聘就值得考虑了. 在考虑有些问题时,需要考虑数据的离散程度： 确定数据离散程度的数字特征是方差和标准差. 新知探究 情境2:有两名射击队员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 追问1:两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别。 考虑离散程度 新知探究 追问2:那么，如何度量成绩的离散程度呢？ 离散程度：极差 甲命中环数的极差，乙命中环数的极差 甲的成绩波动范围比乙的大 追问3:极差在分析估计时有何优缺点？ 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 新知探究 思考:你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 若射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 若射击成绩波动幅度很大，那么大多数射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 追问4:如何对一组数据与平均值的平均距离进行量化呢？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 新知探究 追问5:如何对一组数据与平均值的平均距离进行量化呢？ 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即作为到的“距离”. 平均距离为 含有绝对值,运算不太方便，改用平方代替 方差： 方差 新知探究 追问6:如何对一组数据与平均值的平均距离进行量化呢？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 新知探究 . 有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差。 新知探究 追问7:问题1中，方差的单位是什么？ 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即 追问8:问题1中，标准差是？ ∵ ，1.2 ∴ ，≈1.095 新知探究 方差、标准差： 方差：给定一组数据，用表示这组数据的平均数，则： 标准差：方差的算术平方根，即 注：方差、标准差可用于刻画数据离散程度 新知探究 问题2:标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 标准差.表示这组数据中的每一个数据到平均数的距离都是0，即这组数据的每个数据是相等的. 追问:在实际问题中，如何求总体平均数和总体标准差，样本的标准差与方差和总体的标准差与方差有什么关系？ 用样本标准差估计总体标准差 新知探究 总体方差、标准差： 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称： 为总体方差，为总体标准差 ． 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为其中出现的频数为则总体方差为 加权形式 练习巩固 例6：甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：）如下表所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 因为，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。 练习巩固 练习1：甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中随机抽取6件测量直径数据如下: 甲　 乙　 (1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差; (2)根据计算结果说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 解：(1)甲的极差为,乙的极差为. , , 练习巩固 解：(1) (2)，所以乙机床加工零件的质量更稳定。 练习1：甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中随机抽取6件测量直径数据如下: 甲　 乙　 (1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差; (2)根据计算结果说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 练习巩固 例7：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。 解：各区间的组中值分别为，，525.5，555.5，585.5，615.5，645.5，675.5，由此可算得平均数约为 （天） 练习巩固 例7：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。 这些组中值的方差为 故所求标准差为（天） 练习巩固 练习2：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为，…，，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为. 练习巩固 解：根据方差的定义，总样本方差为 ① 由，， 所以，总样本平均数为 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 练习2：只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和. 新知探究 练习2：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 解：因此，总样本的平均数为165.2，方差约为51.49，据此估计高一年级全体学生的身高方差约为51.49。 样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数，样本标准差. 新知探究 问题3:一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的方差呢？ 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为： . 练习巩固 变式2-1：某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2023年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2023年高考中的方差为___________. 【答案】： 变式2-2：已知某省二、三、四线城市数量之比为，年月份调查得知该省所有城市房产均价为万元/平方米，方差为,二、三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，，则二线城市的房价的方差为_____. 【答案】： 新知探究 练习3：甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为，方差为，乙队体重的平均数为，方差为，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 解：由题意可知甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为则 甲、乙两队全部队员的平均体重为， 甲乙两队全部队员的体重的方差为 小结 方差、标准差： 方差：给定一组数据，用表示这组数据的平均数，则： 标准差：方差的算术平方根，即 总体方差、标准差： 总体方差：， 总体标准差： $$