精品解析：云南省“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（三）数学试题

云南“美美与共”民族中学联盟联考（三） 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页、第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：. 故选：D. 2. 已知，，向量，，其中λ，，那么三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量定理可得充要条件. 【详解】因为，，且，故不共线， 故均为非零向量， 而三点共线的充要条件为存在，使得， 即等价于即等价于即等价于， 故选：C. 3. 已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因，，且MN， 所以， 故选：A 4. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. R B. C. 1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出得值即可. 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 故选：C. 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质结合特殊角的三角函数值可求. 【详解】因为为奇函数，故， 故选：B. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以，即或，经检验均符合题意， 所以或. 故选：D 7. 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 8. 如图，在四棱锥中，底面为菱形且，若侧面，侧面为正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，的中点为，连接，可证或其补角为异面直线所成的角，利用余弦定理可求的余弦值后可得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 取的中点为，的中点为，连接， 因为，故， 故或其补角为异面直线所成的角， 设底面菱形的边长为，则，而， 故，故由余弦定理可得， 故， 因为为的中点且为正三角形，故，而平面， 平面平面，平面平面， 故平面，而平面，故， 由余弦定理可得即， 故，故， 故， 故异面直线异面直线所成的角的余弦值为， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 直线和直线是异面直线 B. C. 平面 D. 平面平面， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，可作适当的 辅助线看是否在同一平面内；对于选项B，通过线面垂直的性质可推出线线垂直；对于选项C，作辅助线看其平行直线与平面是否有交点；对于选项D，通过线面垂直可推出面面垂直. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 所以四边形为等腰梯形，在同一平面上，所以直线不是异面直线，所以A错误. 对于选项B： 因为正方体，所以. 因为，所以.所以B正确. 对于选项C：设， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以,而与平面交于点，所以与平面不平行，C错误. 对于选项D： 因为，所以. 因为平面，平面， 所以，又，所以平面. 又平面，所以平面平面，D正确. 故选：BD. 10. 数据，，…，的平均数，方差，极差分别为，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平均数方差极差的概念公式逐个判断选项即可. 【详解】平均数只能说明数据的平均水平为，但方差反映的是样本数据的波动情况不一定为，故A错误； 若，根据方差定义知：，即，，即， 那么，所以极差，故B正确； 因为，所以，所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选： 11. 关于函数和，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数和有相同的最小值 B. 存在直线l，使函数和的图象都关于直线l对称 C. 存在点P，使函数和的图象都关于点P对称 D. 函数，有6个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角函数的值域可判断A；求出和的对称轴和对称中心可判断BC；令，利用三角恒等变换得到方程，解得或1，，则，分和两种情况，求出零点个数可判断D. 【详解】对于A，由题知，与的最小值为，故A正确； 对于B，函数的对称轴为，， 所以，， 的对称轴为， 所以，，可知时，是函数和的对称轴， 所以存在直线，使函数和的图象都关于直线l对称，故B正确； 对于C，函数的对称中心为，， 所以，， 的对称中心为， 所以，，令，则， 不存在时成立，故C错误； 对于D，令，即， 即，即， ，解得或1， ，则， 当时，或或或， 解得或或或， 当时，或， 解得或， 所以函数，有6个零点，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某家具厂仓库存放了三种板材，分别是生态板12000张、密度板7500张、欧松板5500张，现从仓库中用按比例分层随机抽样的方法抽取了400张板材，那么，密度板抽了________张，欧松板抽了________张． 【答案】 ①. 120 ②. 88 【解析】 【分析】由分层抽样计算可得. 【详解】因为， 所以密度板抽了张； 欧松板抽了张. 故答案为：120；88. 13. 已知一圆锥的底面半径和高都等于1，则它的外接球的体积________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出外接球的半径，进而根据球的体积公式即可求出外接球的体积. 【详解】根据勾股定理可得：. 将代入得：. 解得. 所以圆锥的外接球的体积为. 故答案为：. 14. 在平行四边形中，，，点分别在和上，且，，线段和相交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】用表示，再利用向量的夹角公式可求. 【详解】 设，则， 而，， 故， ， ， 故， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： （1）分别求出频率分布直方图中的a，b； （2）求出丽江旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； （3）若一个地区旅游满意度评分的第60百分位数的分值越高，则认为该地区的旅游经济效益越好，请通过计算，判断大理与丽江的旅游经济效益哪个更好？ 【答案】（1）； （2）（分） （3）大理的旅游经济效益更好 【解析】 【分析】（1）根据面积之和为即可求出； （2）以中点值乘以频率求和即可； （3）根据频率分布直方图求出第60百分位数，再比大小即可. 【小问1详解】 ，得， ，得. 【小问2详解】 丽江旅游满意度评分的平均数为： （分） 【小问3详解】 丽江旅游： ，， 则第60百分位数位于至之间，设第60百分位数为， 则，得（分）； 大理旅游： ， 故第60百分位数是（分）， 故大理的旅游经济效益更好. 16. 已知函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）求函数最小正周期； （3）若锐角α满足，求sinα的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由即可解； （2）利用三角恒等式化简，由即可求解； （3）由得，由同角三角函数平方关系得，由即可求解. 【小问1详解】 由题意有，，解得， 【小问2详解】 所以 由，所以函数的最小正周期为； 【小问3详解】 由有，即， 又，所以， 由有， 所以， 当时， 所以，由，所以，矛盾， 当时， 所以， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，直线，，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，． （1）求证：； （2）求证：平面平面ADPM； （3）求直线PB与平面EFG所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面，再由线面垂直的性质定理即可证明； （2）由中位线可证明线线平行，进而可证两组线面平行，进而由面面平行的判定定理即可证明面面平行； （3）先把线面角找出来，在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 连接，为正方形，， 底面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 【小问2详解】 分别为的中点．， ，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，平面 平面平面. 【小问3详解】 平面，平面，， 又，，平面， 连接，则为直线与平面所成的角， ，，， . 由（2）知平面平面， 所以直线与平面所成角与与平面所成的角相等， 直线与平面所成角的正弦值为 18. 设的内角的对边分别为，的面积为，且． （1）求B； （2）已知点在边上，且． ①若，且的周长为，求的面积； ②若BD平分，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据面积公式和数量积定义可得，从而可求； （2）①根据面积公式、周长和余弦定理可得关于边长的方程组，求出后可得三角形面积；②根据面积关系可得，利用基本不等式可取的最小值，从而可求面积的最小值. 【小问1详解】 因，故， 而，故，而为三角形内角，故. 【小问2详解】 ①因为且，故， 所以，由余弦定理得， 由已知周长得， 所以，故即， 故. ②因为，故， 所以即，当且仅当时等号成立， 故. 19. 在平面向量中，我们已经学习了两个向量，的一种乘积运算——内积（记作）运算，即我们平时所说的数量积运算，它的运算结果是一个数量．在神经网络的激活函数计算中，还会经常用到一种向量的乘积运算——哈达玛积（记作）运算，它是将两个向量的对应元素相乘的运算方法，它的运算结果是一个向量．对于任意的向量，，我们规定，的哈达玛积． （1）若，，，求和； （2）①若，，，证明：不等式，并指出取“＝”的条件； ②利用①的结论，解答以下问题：已知实数满足，，，求的最小值． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题设的运算定义计算即可； （2）①根据定义分别求出，再利用作差法可证题设中的不等式；②利用对数的运算性质得，构造相应的向量再根据①中的不等式可求的最小值． 【小问1详解】 因为，，， 所以，同理， 故. 【小问2详解】 ①，， 而， 故 ， 故，当且仅当即共线时等号成立. ②因为，故，故， 取，，， 则由①结论可得： ， 当且仅当即时等号成立， 故即， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南“美美与共”民族中学联盟联考（三） 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页、第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 已知，，向量，，其中λ，，那么三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. R B. C. 1 D. 无法确定 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面为菱形且，若侧面，侧面为正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 直线和直线是异面直线 B. C. 平面 D. 平面平面， 10. 数据，，…，的平均数，方差，极差分别为，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 关于函数和，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数和有相同的最小值 B. 存在直线l，使函数和图象都关于直线l对称 C. 存在点P，使函数和的图象都关于点P对称 D 函数，有6个零点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某家具厂仓库存放了三种板材，分别是生态板12000张、密度板7500张、欧松板5500张，现从仓库中用按比例分层随机抽样的方法抽取了400张板材，那么，密度板抽了________张，欧松板抽了________张． 13. 已知一圆锥的底面半径和高都等于1，则它的外接球的体积________． 14. 在平行四边形中，，，点分别在和上，且，，线段和相交于点，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： （1）分别求出频率分布直方图中的a，b； （2）求出丽江旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； （3）若一个地区旅游满意度评分的第60百分位数的分值越高，则认为该地区的旅游经济效益越好，请通过计算，判断大理与丽江的旅游经济效益哪个更好？ 16. 已知函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）求函数的最小正周期； （3）若锐角α满足，求sinα的值． 17. 在如图所示的几何体中，直线，，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，． （1）求证：； （2）求证：平面平面ADPM； （3）求直线PB与平面EFG所成角正弦值． 18. 设的内角的对边分别为，的面积为，且． （1）求B； （2）已知点在边上，且． ①若，且的周长为，求的面积； ②若BD平分，求的面积的最小值． 19. 在平面向量中，我们已经学习了两个向量，的一种乘积运算——内积（记作）运算，即我们平时所说的数量积运算，它的运算结果是一个数量．在神经网络的激活函数计算中，还会经常用到一种向量的乘积运算——哈达玛积（记作）运算，它是将两个向量的对应元素相乘的运算方法，它的运算结果是一个向量．对于任意的向量，，我们规定，的哈达玛积． （1）若，，，求和； （2）①若，，，证明：不等式，并指出取“＝”条件； ②利用①的结论，解答以下问题：已知实数满足，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$