精品解析：甘肃省定西市陇西县第一中学2024-2025学年高二下学期第五次月考数学试题

陇西一中2026届高二第五次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前填写自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，全部选对6分，有选错得0分） 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过70分的约有45人 C. D. 这次考试等级分在内的人数约为48人 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 D. 若随机变量X的数学期望，则 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为______． 13. 函数的极大值点为_________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. （1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； （2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 17. 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇西一中2026届高二第五次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前填写自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 2. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，利用互斥事件概率的加法公式得，据此计算即得答案. 【详解】由，则，解得， 则. 故选：B 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件表示甲成功破译密码，事件表示乙成功破译密码， 事件表示恰有一人能成功破译密码， 则. 故选：A 4. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 5. 将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，求出极值点，即可得解. 【详解】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则. 所以无盖方盒的容积为，. 所以， 令，解得；令，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大. 故选：D 6. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 7. 已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量为基底表示，再根据数量积求解即可. 【详解】解：如图，因为为中点，为中点 所以， 因为正四面体的棱长为， 所以 故选：A 8. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，即在上恒成立，再根据右边构造函数，利用导数求出最大值可得结果. 【详解】， 因为在上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 设，则，在上为减函数， ，所以. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分，全部选对6分，有选错得0分） 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过70分的约有45人 C. D. 这次考试等级分在内的人数约为48人 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的含义易判断A，B两项，对于C，D，先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因，故C错误； 对于D， 因， 故这次考试等级分在内的人数约为人，故D正确， 故选：AD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 D. 若随机变量X的数学期望，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A求两点分布的方差即可判断，对于B利用方差的性质即可判断，对于C利用二项分布即可得解出即可判断，对于D利用数学期望的性质即可判断. 【详解】对于A：由， ，故A错误； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，所以，解得，故C正确； 对于D：由，故D正确. 故选：CD. 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于A选项，， 当或时，，所以在，上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，， 在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，令，则，有两个不同的零点，等价于函数与直线有两个交点， 由A选项分析，函数的大致图象如下， 由图知，当或时， 函数与直线有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，故C错误； 对于D选项，直线过原点，且，， 记，， 易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线在的图象下方对应的值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确． 故选：AD． 【点睛】思路点睛：A选项，将不等式恒成立问题，转化为最值问题，然后利用导数求出函数最值即可；B选项，将零点个数问题转化为图象交点个数问题，再利用导数画出函数的草图，数形结合分析即可；C选项，内嵌函数零点问题，先令，则可以求，求出满足题意的t,再利用，求出对应x的值即可；D选项, 设，数形结合进行分析，利用恰有1个负整数解的要求，发现直线的斜率会介于和之间，从而得解，所以，该题总的思路就是数形结合思想的灵活应用. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式公式直接求解即可. 【详解】设A：抽到一名学生是甲班的，B：抽到一名女生， 则，，， 所以由全概率公式可知，． 故答案为： 13. 函数的极大值点为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出其极大值点. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为1. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，，进而可得，再利用为偶函数可得结论. 【详解】令，， ∵当时，， ∵当时，， ∴在上单调递增， ∵是定义在上的偶函数，∴为偶函数， ∴在上单调递减， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为偶函数， ∴， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. （1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； （2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【答案】（1）； （2）的分布列如下， 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据题设分析，对应事件为从3黑2红中取出2个球，应用古典概型的概率求法求概率； （2）由题意的可能值为，并求出对应概率值，写出分布列，依次求出期望和方差，即可得. 【小问1详解】 由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球， 所以所求概率为； 【小问2详解】 由题设，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 1 2 3 则，故. 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又 为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线 的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线 到平面的距离即为点 到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线 与平面所成角为 ，则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面， 平面， 所以平面， 所以直线 到平面的距离即为点 到平面的距离， 又， 所以点 到平面的距离， 即直线 到平面的距离为. 17. 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 【答案】（1） 的分布列如下： 0 1 2 3 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，应用二项分布的概率求法求对应概率，即可得分布列； （2）先分析事件，再应用独立事件乘法公式求概率即可. 【小问1详解】 由题设，则，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 【小问2详解】由第3次成功之前共有2次失败，即共试验了5次，前4次成功、失败各两次，最后一次成功， 所以所求概率为. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）存在，的长度为或 【解析】 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $