第06讲 解直角三角形（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪教版）

第06讲 解直角三角形及其应用（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解非直角三角形 典型例题二 网格中解直角三角形 典型例题三 坐标系中解直角三角形 典型例题四 四边形中解直角三角形 典型例题五 圆中解直角三角形 典型例题六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 典型例题七 直角三角形应用之仰俯角问题 典型例题八 直角三角形应用之方位角问题 典型例题九 直角三角形应用之坡度坡比问题 典型例题十 直角三角形应用之其他问题 知识点01 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵所对的边分别为a、b、c， ∴，故A成立，不符合题意； ，故B不成立，符合题意； ，故C成立，不符合题意； ，故D成立，不符合题意； 故选B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得，则，代入计算即可得出答案． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 知识点02 解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 【即时训练】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，可得米，，，解，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得米，， ∴ ∴米 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形-仰角俯角问题，根据正切的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，米，， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 知识点03 解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：A． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向以34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿北偏西45°方向出发，2小时后两船在P处相遇，则乙货船每小时航行 海里（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿北偏东的方向以34海里/小时的速度出发，求出和，从而得出的值，根据乙货船从港沿北偏西45°方向出发，求出，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， ∵甲货船从港沿北偏东的方向以34海里/小时的速度出发， ∴，（海里）， ∴（海里）． ∵乙货船从B港沿北偏西45°方向出发， ∴， ∴（海里）， ∴乙货船每小时航行：（海里）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解． 知识点04 解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即时训练】 1．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查解直角三角形坡度坡角．在中，直接利用的正弦即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∴的坡度角度数是． 故答案为：． 知识点05 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即时训练】 1．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（    ）m． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 过点作于点，则为最大距离，根据三角函数作答即可． 【详解】解：过点作于点，则为最大距离， 在中，， ∴， 故选：B． 【即时训练】 2．（2024·上海虹口·模拟预测）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为 （保留一位小数，参考数据：，） 【答案】3.7米/3.7m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是掌握锐角三角函数定义及特殊三角函数值，根据在中，，得，计算得米，再根据在中，，即可求得的值，然后根据，计算即可得出答案． 【详解】解：在中，米，，， ， (米)， 在中，，， ， ， （米）， 故答案为：3.7米． 【典型例题一 解非直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， 甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发， ，， ， 乙货船从港沿西北方向出发， ， ， ， 答：港与港相距海里， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口. 【例3】 （24-25九年级上·上海杨浦·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 1．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一艘货船以20n mile/h的速度向正南方向航行，在A处测得灯塔B在南偏东方向，航行5h后到达C处，测得灯塔B在北偏东方向，求C处距离灯塔B的距离BC（结果精确到0.1，参考数据：，，，）． 【答案】65.4nmile 【分析】过点B作，在Rt△CBH和Rt△BAH中，根据三角函数的定义即可计算出C处距离灯塔B的距离BC． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为H， 由题意得，，，， 在Rt△CBH中，∵，， ∴，， 在Rt△BAH中，∵， ∴， 又∵， ∴， 所以， ∴． 答：BC的长约为65.4n mile． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 【典型例题二 网格中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线，与的延长线交于点，在中，由，，可得是等腰直角三角形，计算即可得出答案． 【详解】如图，过点作的垂线，与的延长线交于点， 在中， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形进行求解是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】根据题意可知，采用的是数形结合的思想，进行作答即可． 【详解】解：该小组的这种求解体现的数学思想是是数形结合的思想， 故选：A． 【点睛】本题考查数形结合的思想．熟练掌握数学中常见的数学思想：数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，方程思想，是解题的关键． 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ． 【答案】1 【分析】利用等腰直角三角形的性质即可解问题即可． 【详解】解：如图，连接AB． ∵AB=，OA=，OB=， ∴，且AB=OA， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠AOB=∠MON=45°， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接DE，如图所示： 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC， ∴∠α=30°， 同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α． 又∵∠AEC=60°， ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°． 设等边三角形的边长为a， 则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a， ∴tan（α+β）= =． 故答案为：． 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 1．（2025九年级·上海·专题练习）如图，在4×4正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则 (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，连接，利用勾股定理求解，再利用等面积法求解即可， （2）求解，设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， 而， ∵， ∴， 解得：， ∴， （2）设，则， ∴， ∴． 故答案为： ，． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，锐角三角函数的应用，掌握“求解锐角三角函数的方法”是解本题的关键． 2．（2024九年级上·上海·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先将线段绕点A逆时针旋转得到线段，再在上画点E，使得． 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，平行线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用旋转变换的性质作出线段，取格点，，连接交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】解：如下图： ， ， ， ， ， 解得：， ， 在中，． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点是与网格线的交点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使． (2)图中，在上取点，使得∥，作点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段；取格点，，连接交于点，此时，则，即，连接交于点． （2）过点作的平行线，与网格线交于点，连接，交于点；取格点，连接，使，再取格点，，连接，，使，，则 与的交点即为点关于的对称点． 【详解】（1）如图1，即为所求． 取格点，，连接交于点， ， ， ， 连接交于点， ， 则点即为所求． （2）如图2，过点作的平行线，与网格线交于点， 连接，交于点， 此时， ， 则点即为所求． 取格点，连接，使， 再取格点，，连接，，使，， 与交于点， 则点即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 【典型例题三 坐标系中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作轴，垂足为B，在中，设，则，，求出，，即可解答． 【详解】解：过点P作轴，垂足为B， 在中，， ∴可设，则， ∴， 解得：， ，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，以坐标原点为圆心，半径为2的弧交坐标轴于两点，是上－点（不与点重合），连接，已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要了解直角三角形，坐标与图形，作于点，解得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图，作于点， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选D． 【例3】（23-24九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，点A的坐标为，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转到，恰好过点，与交于点，旋转前后的三角形重叠部分的面积为 ．    【答案】 【分析】过作轴，根据旋转得到，即可得到，结合特殊角三角函数求出，即可得到答案； 【详解】解：过作轴， ∵绕原点顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点的坐标为， 在中， ∴，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 故答案为：，    ； 【点睛】本题主要考查旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握旋转的性质得出所需角的度数和线段的长度是解题的关键． 【例4】（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，，则________． 【答案】 【分析】作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据角的三角函数值与三角形边的关系，可求出各边的条，然后再代入三角函数进行求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，， ， ， 点， ， ． ， ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 1．（2025·上海松江·模拟预测）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，求点B的坐标． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作轴于D，先根据菱形的性质得到，，则，解求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于D， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，菱形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上． (1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； (2)若函数的图象经过点M，且，求k的值． 【答案】(1)见详解 (2)k=3 【分析】整体分析： （1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等； （2）根据OA=3，sin∠OAB=求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标. 【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM， 点M为AB中点， ∴AM=BM， ∵△AOB为直角三角形， ∴OM=AM=BM， ∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等， （2）解：∵sin∠OAB=， ∴设OB=4x，AB=5x， 由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2， 解得：x=1， ∴OB=4，由B（4，0）， 由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2，）． ∴k=3 【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 【答案】(1) (2)当点P运动到这个位置时，的值最小 【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，证明，得出，解直角三角形得出， ，求出，即可得出答案； （2）作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线 ，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P即为所求作的点， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ∴ 当时， ∴当点P运动到这个位置时，的值最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线． 4．（2024·上海奉贤·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点．    (1)求点的坐标； (2)点为线段的中点，点为线段的延长线上一点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为点，点为线段的中点，连接，且．过点作交轴于点，点在线段上，连接，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先得出A和B的坐标，运用以及，得出，则，即可作答． （2）过点作轴于点，先得，根据勾股定理列式在Rt中，，在Rt中，，结合面积公式得，代入数进行计算，即可作答． （3）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质以及边的运算，得出，结合角的等量代换，得出，代入数值，得，再证明和，进行角的换算最后结合等角对等边，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，∵    当时， 当时， 在Rt中， 又 在Rt中， （2）解：如图2，过点作轴于点．   点的横坐标为，且点在直线上 在Rt中， 在Rt中， 点为线段的中点 （3）解：如图3，过点作交的延长线于点，过点作轴于点．   ，   又 即 ∵点为线段的中点 令则 ， ， ∴ 设的解析式为 把代入 解得 ∴的解析式为 点在线段上 可设 令与轴的交点为，过点分别作于点交的延长线于点，过点分别作轴于点，连接． 令，则 又 又 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【典型例题四 四边形中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在四边形中，，以点D为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点E，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解直角三角形，三线合一定理，过点D作于F，连接，可利用勾股定理的逆定理证明，则，由作图方法可得，由三线合一定理得到，解，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补充条件证明三角形相似，掌握相似三角形的判定方法：两组对应角相等的两个三角形相似，两组对边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，三组对应边对应成比例的两个三角形相似，是解题的关键．根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， A、当平分时，，可以判定和相似；不符合题意； B、当时，，可以判定和相似；不符合题意； C、当时，，可以得到，得到，可以判定和相似；不符合题意； D、，无法判断和相似； 故选D． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 延长交延长线于点，根据已知条件可求出和的面积，两者面积相减可求出四边形的面积． 【详解】解：延长，与的延长线交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故填空答案：． 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为 . 【答案】 【分析】连结AC，先在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得tan∠ACB，进而求得∠ACB=30，于是AC=2AB=4，由∠BCD=120，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90．然后在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD的长． 【详解】如图，连接AC， 在中，，， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，得出∠ACD=90是解答此题的关键． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可； （2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意得， 四边形是平行四边形， ，点为中点， ，即， 四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形， ， ∵点为中点， 在中，， 解得： 在中，， 故的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，对角线，交于点，为线段上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，即可证明，则可得，从而由菱形的判定即可证明； （2）由正切函数值设，则，，在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ∵， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：， 设，则，， ， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切函数关系等知识，题目较易，但用到了较多的知识点，熟练运用是关键． 3．（2024·上海松江·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．    (1)小明添加了一个条件，则可证明四边形是矩形，请帮他完成证明． (2)在（1）条件下，且，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，结合可判断四边形为平行四边形，再由得出，可得结论； （2）如图所示，过点D作的垂线，交于点H，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）如图所示，过点D作的垂线，交于点H ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究： ①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则 ． ②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形． (3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求出定值． 【答案】(1)②④ (2)①或或；②见解析 (3)在点P的运动过程中，的值不会发生变化，是定值，理由见解析 【分析】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质，解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质即可解答； （2）①分当和、时三种情况求解； ②由得，根据对角线平分，得，故，即证得四边形为等邻角四边形； （3）过C作于H，过P作于G，由，，得四边形是矩形，得，可证明，得，即有，从而说明在点P的运动过程中，的值总等于C到的距离，不会变化． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形； ②矩形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形； ③菱形的邻角互补，不是等邻角四边形； ④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形． 综上，②④是等邻角四边形． 故答案为：②④； （2）解：①当时，四边形为“等邻角四边形”， ∵， ∴； 当时，四边形为“等邻角四边形”， 当时，四边形为“等邻角四边形”， ； 故答案为：或或； ②∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形； （3）解：在点P的运动过程中，的值不会发生变化，是定值，理由如下： 过C作于H，过P作于G，如图： ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即在点P的运动过程中，的值总等于C到的距离，是定值． 【典型例题五 圆中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A．2 B．4 C．. D．8 【答案】B 【分析】根据得出，从而计算出的长度，再根据垂径定理即可求解． 【详解】根据圆周角定理，得，所以，根据垂径定理，得 故答案选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理以及垂径定理，掌握角度的关系以及线段之间的等量关系是解题关键． 【例2】（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案． 【详解】解：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【例3】（2024·上海·模拟预测）如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，过点作于点，与相交于点，由点共线，可知是的直径，进而得垂径定理，根据是等边三角形，求得的长，分别求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，与相交于点， 点共线， 是的直径， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为． 【例4】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上. （1）线段的长等于 . （2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明） 【答案】 取格点，连接交于点，点即为所求作 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取格点，连接交于点，点即为所求作． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：取格点，连接交于点，点即为所求作， 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（23-24九年级上·上海·课后作业）如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由． 【答案】能，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点．当取最大张角时，过点作于，如图2，理由等腰三角形的性质得，，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，于是可判断此圆规能画出一个半径为的圆． 【详解】解：能画出一个半径为的圆．理由如下： 当取最大张角时，过点作于，如图2， ，， ，， 在中，， ， ， 能画出一个半径为的圆． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用三角函数得到，再求出，即可求解 【详解】（1）证明：连接， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵，设，则， 而，为的直径， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得：．经检验符合题意 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的根据． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在圆中，弦与相交于点，且弧与弧相等．点在劣弧上，连接并延长交线段于点，连接、． (1)求证：∽； (2)当，且时，如果是直角三角形，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用两角对应相等，判断三角形的相似； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 弧与弧相等， ， ， ， ， ， ， ，又， ∽． （2） 解：当时， ，， ，，， ． 当时， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， 即：或． 【点睛】本题考查的是圆的有关性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键 4．（2025九年级·上海·专题练习）如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB于点D，CD＝1． （1）求圆⊙O的半径； （2）过点B、点O分别作AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值． 【答案】（1）⊙的半径为5；（2） 【分析】（1）根据题意和垂径定理，可知∠ODA＝90°，AD＝3，设OA＝r，则OD＝r﹣1，然后根据勾股定理即可得到r的长； （2）根据AB＝EF，可知OD＝OH，然后平行四边形的判定和性质，可以得到OG的长，从而可以求得sin∠OGE的值． 【详解】解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1， ∴OC⊥AB且OC平分AB， ∴AD＝3，∠ODA＝90°， 设OA＝r，则OD＝r﹣1， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得，r＝5， 即圆⊙O的半径为5； （2）作OH⊥EF于点H， ∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4， ∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°， ∵OA∥BG，OG∥AB， ∴四边形OABG是平行四边形， ∴OG＝AB， ∵AB＝6， ∴OG＝6， ∴sin∠OGH＝， 即sin∠OGE＝． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【典型例题六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 【例2】（2025·上海·模拟预测）如图是上海轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 【例3】（2025九年级·上海·专题练习）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果保留根号）． 【答案】（10+12） 【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图， EF＝DG＝CH=， ∵含有45°角的直角三角板， ∴BC=，GH＝2， ∴FG＝8--2-=6﹣2， ∴图中阴影部分的面积为： 8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2 ＝32﹣22+12 ＝10+12（cm2） 答：图中阴影部分的面积为（10+12）cm2． 故答案为：（10+12）． 【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长． 【例4】（2025·上海·模拟预测）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距米的两处，用仪器测文物,探测线与地面的夹角分别是和， 求该文物所在位置的深度(精确到米) ．    【答案】17.3米 【分析】首先构建直角三角形，然后利用特殊角锐角三角函数，即可得解. 【详解】过点 作于，设，如图所示：    在中，，则 在中，， （米） （米） 即米． 答：该文物所在的位置在地下约17.3米处． 【点睛】此题主要考查含有特殊锐角三角函数的实际应用，解题关键是构建直角三角形，即可解题. 4．（24-25九年级上·上海·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． 【典型例题七 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 【例2】（2025·全国·模拟预测）2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：B． 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 【答案】100 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为 米（，结果精确到1米）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作交于，由正切函数得，，即可求解；能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ，，， ， ， （米）； 故答案为：． 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，小明在海按高度为的水平观景台上选定一点A，在点A处测得对面C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，某数学活动小组测量观测塔的高度，在点处测得塔顶的仰角为，从点移动到点（三点共线），米，在点处测得塔顶的仰角为，测角仪且垂直于地面．若，求观测塔的高（结果精确到0.1．参考数据：，，） 【答案】13.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：米， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， （米， 观测塔的高约为13.5米． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，某校一幢教学楼的外墙安装了一块矩形的电子显示屏，其中与水平地面平行，延长线垂直交水平地面于点．该校学生对其进行测量，他们先在水平地面处测得，再步行至点处，测得到点的距离为9米，求电子显示屏的面积．（结果精确到1米，参考数据：，）． 【答案】60平方米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交地面于点，则，求出．则，即可得出答案． 【详解】解：延长交地面于点，则， ， ． 则， 矩形的面积为平方米． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测量仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，斜坡的坡角为， ③用计算器算得： 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题． （1）根据题意，，解直角三角形即可求出； （2）过B作，根据斜坡的坡角为及米，求出，再求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴（米）； 答：综合楼的高度为； （2）解：过B作于H，于E，则四边形为矩形， ∵的坡角为，， ∴，， ∵处测得宣传牌顶部的仰角为， ∴， ∴． 答：宣传牌的高度为． 【典型例题八 直角三角形应用之方位角问题】 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 【例2】（2024·上海闵行·模拟预测）如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 【例3】（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，矩形的判定与性质，过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解． 【详解】如图，过作于，    ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， 则， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 nmile（结果保留根号）．    【答案】 【分析】先作辅助线于点，然后根据锐角三角函数可以求得的长，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：作于点， 由已知可得，，，， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构建直角三角形，作航线于，设，根据三角函数求出、，得出的值，即可列出方程，解方程求出即可． 【详解】解：作航线于，设，如图： 可得：，， 则，， ， 即， 解得：， 故海岛距海岸线的距离约为海里． 2．（2024·上海崇明·模拟预测）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于上海中部里下河地区，是上海省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求的距离．（结果精确到，参考数据： ， ）    【答案】487.9m 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，方向角，解直角三角形等知识，如图，过C作，由题意可得，通过正切值得到，从而得到，在中，利用正弦值得到即可得出结果． 【详解】解：作图如下，过C作，    ∵在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：的距离约为． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 【答案】货轮航行的路程为23.5海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， 由题意得：，， 在中，海里，， （海里）， （海里）， 海里， 在中，， （海里）， 海里， （海里）， 货轮航行的路程约为23.5海里． 4．（2025·上海松江·模拟预测）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 【典型例题九 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是正确解答此题的关键． 过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图，小球由地面沿坡度的坡面向上前进，则小球离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度i的定义，根据i可以求得、的长度的比值，已知米，根据勾股定理即可求的值，即可解题． 【详解】解：小球沿着坡面向上前进了假设到C处，过C作， ∵， ∴， 设，， 在中，，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡比的定义，掌握坡比的定义是解题的关键． 根据坡比的定义，代入数据即可解答． 【详解】解：迎水坡的坡比为，米， ，即， 解得：（米）， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【答案】斜坡、的长分别是， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． ，过D作DF⊥BC于F，得到，根据坡度和特殊角的三角函数值，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 斜坡的坡比， ， ， ， 斜坡、的长分别是，． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，为了测量建筑物的高度，从距离建筑物底部处60米的点(点与建筑物底部在同一水平面上)出发，沿坡度的斜坡前进米到达点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据：) 【答案】63米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图作于N，于M．解直角三角形分别求出，即可解决问题． 【详解】如图：作于N，于M． 在中， ∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ，即， 解得：或(负数舍去)， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴(米)． 答：建筑物的高度约为63米． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树 的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树 AB 的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在 C 处测得大树顶端A 的仰角为 ②在 D 处测得大树顶端A 的仰角为 ； ④斜坡的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出河对岸的大树的高度． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加辅助线，构造直角三角形，过点 D 分别作于点G，作于点H，解，求出的长，设，解，进行求解即可． 【详解】解∶如图，过点 D 分别作于点G，作于点H． 在中，， 斜坡的坡度：， ∴， ∴， ∴， ∴． 设． ∵， ∴． ∵， 四边形为矩形， ∴． 在中， ， ∵， ∴， 解得 ： 答：河对岸的大树的高度是． 【典型例题十 直角三角形应用之其他问题】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（   ）米． A． B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据题意可得三角形是直角三角形，然后利用30度角的正切求解即可. 【详解】解：∵与河岸垂直，，米， ∴（米）； 故选：A. 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴杯中水的最大深度为． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城云梯，云梯之面为二角约为，若楚欲攻宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译：春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高约为10丈，则云梯梯身长约为 丈．（结果精确到0.1；参考数据：，，）      【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可解答即可． 【详解】解：根据题意可知：，，， 在中，有：，即， ∴，解得：． 故答案为：． 【例4】（2025·上海·模拟预测）在光学世界里，当光线从空气斜着进入像水、玻璃等其他透明介质时，其传播路径会发生改变，这种现象就是光的折射．而衡量介质对光折射作用强弱的关键物理量，便是折射率，它等于入射角的正弦值与折射角的正弦值之比．如图，入射光线在点O处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点O且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 ．（参考数据：，，．） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解折射率的意义是解答的关键．先根据折射率求得，在中，，利用勾股定理列方程求得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得， 即折射光线在该介质中传播的距离约是． 故答案为：． 1．（2025·上海·模拟预测）某学校操场边有一棵银杏树，小明想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放置一根竹竿，利用测角仪从竹竿的影子边缘点处测得竹竿的顶端点处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长为，其中点在同一条直线上，．求银杏树的高度．（参考数据：， 【答案】银杏树的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知可得，，则，解，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， ． 在中，，即， 解得． 答：银杏树的高度约为． 2．（2025·上海·模拟预测）学生到工厂开展实践活动，学习制作机械零件．某零件的截面如图所示，通过测量可知，，．求该零件的截面面积．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． 如图，过点作于点，作于点，则，四边形是矩形，在中，，，，在中，，由即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，则， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 又，          在中，， ． 3．（2025·上海松江·模拟预测）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)直吊臂的长为10米 (2)上升了5米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； （2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）某课桌生产厂家研究发现，倾斜的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1所示，可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂，． (1)如图2，当时，，求支撑臂的长； (2)如图3，若长是，当时，求A、D两点间的距离（结果精确到0.1） （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． （1）在中利用锐角三角函数关系得出，代入数值计算即可求出的长； （2）过点作于点，在中利用锐角三角函数关系得出，求出的长，再根据勾股定理求出，的长，进而得出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， 则 答：支撑臂的长为； （2）解：过点作于点， 当时， 则 ， ， 、两点的距离为或． 1．（2024·上海·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，过点作，构造，则的长度就是点到的距离，利用求出的长即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则的长度就是点到的距离，， 在中，， ，， ， ． 故选：A． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（    ） A．6米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 由题意可得，米，然后由正弦函数的定义，即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，米， 在中，， ∴米． 故选：A． 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（    ）m A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解． 【详解】解：在中， 米，为， （米）． 故选C． 6．（24-25九年级上·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．先由正弦得到，从而设，，利用勾股定理求得，再利用正切求解即可． 【详解】解：， ， 设，， ， ， 故答案为：． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，，则的面积用含ａ的式子表示是 ． 【答案】 【分析】过A作的垂线，在构建的两个直角三角形中，通过解直角三角形求出BC的长以及边上的高，从而根据三角形的面积公式求出的面积表达式． 【详解】解：过A作于D． 在中，， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，当两个直角三角形拥有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路． 8．（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为 m（用含α的式子表示）． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用．根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在点处测得塔顶的仰角为， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，过作于点，则，根据题意可设，，根据解直角三角形列方程求得，即可求得，进而求解即可，熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， 为中点， ， 在中，， 如图，过作于点，则， 在中，， 设，， ， ， ， 在中，， 即， 经过检验解得， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向上，B港口在货轮的北偏西方向，则此时货轮与A港口的距离为 海里．（结果取整数）（，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形性质，方向角，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．作于点，分别解直角三角形求出、即可得到答案． 【详解】解：作于点， 由题知，，，海里， ， ， 海里， 海里， 货轮与A港口的距离为海里． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，根据以及已知条件求得的长，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：在中，， ， ． 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60º，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45º，货轮继续向西航行，有无触礁危险？    【答案】见解析 【分析】过点A作AD⊥CB于点D，则Rt△ACD和Rt△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB＝BD−CD即可列方程，从而求得AD的长，与30海里比较，确定货轮继续向西航行，有无触礁危险． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥CB于点D．    在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，则Rt△ACD是等腰直角三角形，则AD＝CD． 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°−60°＝30° ∴BD＝•AD ∵BC＝BD−CD ∴20＝AD−AD ∴AD＝＝＜30海里． 故该船继续航行（沿原方向）有触礁的危险． 【点睛】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路． 13．（24-25九年级上·上海静安·期末）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)． 【答案】AC=6米；CD=5.2米. 【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长． 【详解】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠EBA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴AB＝AE＝8米， ∵BC＝2米， ∴AC＝AB﹣BC＝6米， ∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°， ∴CD＝AC×cos∠DCA＝6×≈5.2(米)． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系. 14．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． (1)如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 15．（2025·上海闵行·模拟预测）综合与实践 某校数学小组为了测量某村宅基地房屋的高度，进行了以下实践活动： a．准备测量工具：测角仪、皮尺． b．实地测量数据： ①画出房屋侧面示意图（如图） 示意图说明：该房屋示意图是由等腰和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高所在的直线． ②确定测量方案 在地面上的点处架设测角仪，测量房檐点的仰角，然后沿方向前进一段距离到达点处，再次测出点的仰角． ③测量数据 ，点在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计． 请你根据题中的测量数据，解决以下问题：（结果精确到，参考数据：） (1)计算房檐点到地面的距离： (2)计算该宅基地房屋的高度． 【答案】(1)房檐点到地面的距离为9.0米 (2)该宅基地房屋的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过仰角问题测量高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作于点，设．则四边形和四边形是矩形，在得出，在，根据，建立方程，解方程，即可求解； （2）由（1）及题意得，设与交于点，由房屋关于所在直线轴对称可知，．在中，得出，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，设．则四边形和四边形是矩形， 在中，， ． ， 在中，， ， 解得， ， 即房檐点到地面的距离为米； （2）如图，由（1）及题意得， ， ∵四边形和四边形是矩形， ， 设与交于点， 由房屋关于所在直线轴对称可知， ． ， 在中，， ． 该宅基地房屋的高度约为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解直角三角形及其应用（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解非直角三角形 典型例题二 网格中解直角三角形 典型例题三 坐标系中解直角三角形 典型例题四 四边形中解直角三角形 典型例题五 圆中解直角三角形 典型例题六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 典型例题七 直角三角形应用之仰俯角问题 典型例题八 直角三角形应用之方位角问题 典型例题九 直角三角形应用之坡度坡比问题 典型例题十 直角三角形应用之其他问题 知识点01 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是 ． 知识点02 解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 【即时训练】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是 米． 知识点03 解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向以34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿北偏西45°方向出发，2小时后两船在P处相遇，则乙货船每小时航行 海里（结果保留根号）． 知识点04 解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即时训练】 1．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 知识点05 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即时训练】 1．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（    ）m． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2024·上海虹口·模拟预测）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为 （保留一位小数，参考数据：，） 【典型例题一 解非直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【例3】 （24-25九年级上·上海杨浦·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 1．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，求． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一艘货船以20n mile/h的速度向正南方向航行，在A处测得灯塔B在南偏东方向，航行5h后到达C处，测得灯塔B在北偏东方向，求C处距离灯塔B的距离BC（结果精确到0.1，参考数据：，，，）． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【典型例题二 网格中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．方程思想 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ． 1．（2025九年级·上海·专题练习）如图，在4×4正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则 (1) ； (2) ． 2．（2024九年级上·上海·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先将线段绕点A逆时针旋转得到线段，再在上画点E，使得． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点是与网格线的交点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使． (2)图中，在上取点，使得∥，作点关于的对称点． 【典型例题三 坐标系中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，以坐标原点为圆心，半径为2的弧交坐标轴于两点，是上－点（不与点重合），连接，已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，点A的坐标为，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转到，恰好过点，与交于点，旋转前后的三角形重叠部分的面积为 ．      【例4】（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，，则________． 1．（2025·上海松江·模拟预测）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，求点B的坐标． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上． (1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； (2)若函数的图象经过点M，且，求k的值． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 4．（2024·上海奉贤·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点．    (1)求点的坐标； (2)点为线段的中点，点为线段的延长线上一点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为点，点为线段的中点，连接，且．过点作交轴于点，点在线段上，连接，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【典型例题四 四边形中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在四边形中，，以点D为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点E，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【例2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为 . 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，对角线，交于点，为线段上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3．（2024·上海松江·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．    (1)小明添加了一个条件，则可证明四边形是矩形，请帮他完成证明． (2)在（1）条件下，且，，求的面积． 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究： ①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则 ． ②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形． (3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求出定值． 【典型例题五 圆中解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A．2 B．4 C．. D．8 【例2】（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是（    ） A．2 B． C． D．3 【例3】（2024·上海·模拟预测）如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为 ． 【例4】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上. （1）线段的长等于 . （2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明） 1．（23-24九年级上·上海·课后作业）如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在圆中，弦与相交于点，且弧与弧相等．点在劣弧上，连接并延长交线段于点，连接、． (1)求证：∽； (2)当，且时，如果是直角三角形，求线段的长． 4．（2025九年级·上海·专题练习）如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB于点D，CD＝1． （1）求圆⊙O的半径； （2）过点B、点O分别作AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值． 【典型例题六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【例2】（2025·上海·模拟预测）如图是上海轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【例3】（2025九年级·上海·专题练习）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果保留根号）． 【例4】（2025·上海·模拟预测）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，已知，，，求的面积． 2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距米的两处，用仪器测文物,探测线与地面的夹角分别是和， 求该文物所在位置的深度(精确到米) ．    4．（24-25九年级上·上海·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【典型例题七 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【例2】（2025·全国·模拟预测）2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为 米（，结果精确到1米）． 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，小明在海按高度为的水平观景台上选定一点A，在点A处测得对面C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，某数学活动小组测量观测塔的高度，在点处测得塔顶的仰角为，从点移动到点（三点共线），米，在点处测得塔顶的仰角为，测角仪且垂直于地面．若，求观测塔的高（结果精确到0.1．参考数据：，，） 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，某校一幢教学楼的外墙安装了一块矩形的电子显示屏，其中与水平地面平行，延长线垂直交水平地面于点．该校学生对其进行测量，他们先在水平地面处测得，再步行至点处，测得到点的距离为9米，求电子显示屏的面积．（结果精确到1米，参考数据：，）． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测量仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，斜坡的坡角为， ③用计算器算得： 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【典型例题八 直角三角形应用之方位角问题】 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【例2】（2024·上海闵行·模拟预测）如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 nmile（结果保留根号）．    1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 2．（2024·上海崇明·模拟预测）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于上海中部里下河地区，是上海省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求的距离．（结果精确到，参考数据： ， ）    3．（2024·上海·模拟预测）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 4．（2025·上海松江·模拟预测）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【典型例题九 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 【例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图，小球由地面沿坡度的坡面向上前进，则小球离地面的高度是 ． 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 米． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，为了测量建筑物的高度，从距离建筑物底部处60米的点(点与建筑物底部在同一水平面上)出发，沿坡度的斜坡前进米到达点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据：) 4．（2025·上海长宁·模拟预测）某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树 的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树 AB 的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在 C 处测得大树顶端A 的仰角为 ②在 D 处测得大树顶端A 的仰角为 ； ④斜坡的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出河对岸的大树的高度． 【典型例题十 直角三角形应用之其他问题】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（   ）米． A． B．24 C． D． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城云梯，云梯之面为二角约为，若楚欲攻宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译：春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高约为10丈，则云梯梯身长约为 丈．（结果精确到0.1；参考数据：，，）      【例4】（2025·上海·模拟预测）在光学世界里，当光线从空气斜着进入像水、玻璃等其他透明介质时，其传播路径会发生改变，这种现象就是光的折射．而衡量介质对光折射作用强弱的关键物理量，便是折射率，它等于入射角的正弦值与折射角的正弦值之比．如图，入射光线在点O处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点O且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 ．（参考数据：，，．） 1．（2025·上海·模拟预测）某学校操场边有一棵银杏树，小明想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放置一根竹竿，利用测角仪从竹竿的影子边缘点处测得竹竿的顶端点处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长为，其中点在同一条直线上，．求银杏树的高度．（参考数据：， 2．（2025·上海·模拟预测）学生到工厂开展实践活动，学习制作机械零件．某零件的截面如图所示，通过测量可知，，．求该零件的截面面积．（结果精确到，参考数据：） 3．（2025·上海松江·模拟预测）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 4．（2025·上海宝山·模拟预测）某课桌生产厂家研究发现，倾斜的桌面有利于学生保持躯体自然姿势，根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面，新桌面的设计图如图1所示，可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂，． (1)如图2，当时，，求支撑臂的长； (2)如图3，若长是，当时，求A、D两点间的距离（结果精确到0.1） （参考数据：，，，，） 1．（2024·上海·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（    ） A．6米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（    ）m A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·期末）若，则的值为 ． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，，则的面积用含ａ的式子表示是 ． 8．（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为 m（用含α的式子表示）． 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为 ． 10．（23-24九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向上，B港口在货轮的北偏西方向，则此时货轮与A港口的距离为 海里．（结果取整数）（，，，） 11．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，．求的长． 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60º，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45º，货轮继续向西航行，有无触礁危险？    13．（24-25九年级上·上海静安·期末）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)． 14．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． (1)如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 15．（2025·上海闵行·模拟预测）综合与实践 某校数学小组为了测量某村宅基地房屋的高度，进行了以下实践活动： a．准备测量工具：测角仪、皮尺． b．实地测量数据： ①画出房屋侧面示意图（如图） 示意图说明：该房屋示意图是由等腰和矩形构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高所在的直线． ②确定测量方案 在地面上的点处架设测角仪，测量房檐点的仰角，然后沿方向前进一段距离到达点处，再次测出点的仰角． ③测量数据 ，点在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计． 请你根据题中的测量数据，解决以下问题：（结果精确到，参考数据：） (1)计算房檐点到地面的距离： (2)计算该宅基地房屋的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$