第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像（一）-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像（一） 【学习目标】 二次函数是九年级上学期第三章的内容． 本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域． 其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数 的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线 的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备． 【基础知识】 一、二次函数 一般地，解析式形如 （其中a、b、c是常数，且 ）的函数叫做二次函数． 二次函数 的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定． 二、二次函数y = ax2的图像 1. 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数 的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数 的图像，如图2所示． 二次函数 的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数 的图像就称为抛物线 ． 2.二次函数 的图像 抛物线 （ ）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当 时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 【考点剖析】 考点一：二次函数 例1．判断下列函数是否是二次函数． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【难度】★ 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是 【解析】（1）没有二次项；（2）符合 ；（3）不是整式； （4） ，符合 ； （5） ，符合 ； （6） ，没有二次项． 【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合 的形式． 例2． 是关于x的二次函数需要满足的条件是_____________． 【难度】★ 【答案】 且 ． 【解析】 ，解得 且 ． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零． 例3．二次函数 的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 _____． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】 ，所以 ， ， ，代入得 ． 【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为 一般式． 例4．已知二次函数 ． （1）当 时，求函数值； （2）当 取何值时，函数值为0？ 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） 或 ． 【解析】（1）把 代入 得 ； （2）把 代入 得 ， ． 【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题． 例5．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★★ 【答案】（1）是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ； （2）不是； （3）是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ； （4）不是 【解析】形如 （ ）的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、 是常数项． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念． 例6．已知函数 ． （1）当m为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当函数 为二次函数时，则 时， 即 ． （2）当函数 为一次函数时， 则 ，得 ． 【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念． 例7．如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（ ）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】阴影部分的长方形的的长为 ，宽为 ， 所以面积 ． 【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 例8．某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x ( )，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析． 【难度】★★ 【答案】 【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为 ，所以5月份的营 收为 万元，12月份的营收为 万元． 【总