第01讲 相似形与比例线段（4大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学衔接讲义（沪教版）

第01讲 相似形与比例线段（4大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 相似多边形的性质 典型例题三 比例的性质 典型例题四 比例线段 典型例题五 黄金分割 典型例题六 由平行判断成比例的线段 典型例题七 求位似图形的对应坐标 典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题九 求两个位似图形的相似比 典型例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题十一 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十二 在坐标系中画位似图形与位似中心 典型例题十三 坐标与图形综合问题 知识点01 位似图形 定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． 画位似图形 的步骤 （1） 确定位似中心； （2） 连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）； （3） 按相似比进行取点； （4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【典型例题一 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和与相似多边形，根据多边形的内角和与相似多边形的性质进行判断即可． 【详解】解：用打印机将如图所示的六边形放大后所得图形与原图形相似， 则对应角相等，对应边及周长均放大，内角和不变， 故选：A 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4） 【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可． 【详解】解：根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键． 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．例如，两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由． 【答案】①④是相似图形，②③不一定是相似图形．理由见解析. 【分析】根据相似图形的定义，对题目所给几何图形逐个分析即可． 【详解】①两个圆，它们的所有元素都对应成比例，是相似图形； ②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形； ③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形； ④两个正六边形，它们的边长等元素对应成比例，对应角相等，是相似图形． ∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下面不是相似图形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、长方形与正方形形状不一样，故不是相似图形； B、两个风车的形状相同，故是相似图形； C、两个等边三角形的形状相同，故是相似图形； D、两个图形的形状相同，故是相似图形； 故选A． 【点睛】本题考查了相似图形的识别，对于相似图形应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 【答案】 【分析】利用相似图形的性质即可求. 【详解】∵四边形四边形 ∴∠A=∠E，∠D=∠H ∵ ∴∠E=∠H=100° ∵ ∴∠F=360°-∠E-∠H-∠G=95° 故答案为95°. 【点睛】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等. 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）相似，理由见解析 【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可； （2）根据相似图形的判定解答即可． 【详解】 解：（1）如图1，设AB＝x， 由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°， ∴∠BCF＝∠BDF=90°， 又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF， ∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴BC=x， ∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x， ∴EF＝CE＝AD＝（+1）x， ∵DE＝AC＝AB＝x， ∴DF＝DE+EF＝（+2）x， ∴， 故答案为：． （2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x， ∴对A5纸，长边：短边， ∴A4纸与A5纸相似． 【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答． 4．（24-25九年级上·嘉定·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75 【分析】（1）根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论． 【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体； B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体； 故选：A； （2）根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方； 故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （3）由题意知他的体积比为()3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为x千克， 则有()3=， 解得x==60.75． 答：初三时的体重为60.75千克． 故答案为：60.75． 【点睛】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据阅读材料对相似图形的概念进行推广，得到相似体的概念，然后对阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，表面积的比以及体积的比与相似比的关系． 【典型例题二 相似多边形的性质】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，即可作答． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长之比为， 故选：B 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【详解】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：15 【例4】（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 【答案】9，12， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应角相等、对应边的比相等即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， ． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【典型例题三 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期末）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，根据比例的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 故选：B． 【例2】（2025·宝山·模拟预测）已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据比例的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴①，正确； ②，正确； ③，正确； ④当时，，正确 故选：D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）早在春秋战国时期，我国就开始生产和使用铁器．把焦炭、铁矿石一起放入“高炉”，在高温条件下，焦炭发生一系列反应生成一氧化碳（CO），最后一氧化碳把铁从铁矿石（）里还原出来．一氧化碳还原氧化铁的化学方程式为：，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查比例性质的应用，根据化学知识得到，根据比例的性质得到答案即可． 【详解】解：根据化学知识可知， 则， 即， ∴， 故答案为： 【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期末）根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据已知可得，即可作答． （2）先设，则得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：依题意，设， ∴， ∵， 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质．根据题意，设，，．又因为，则可得的值，从而求得的值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 【详解】解：设，则，， ， ． 故答案为：4． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 【典型例题四 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·上海松江·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例线段的知识，解题的关键是比例线段的性质，进行求解，即可． （1）根据，得，求出，即可； （2）根据（1）可得的值，根据，根据，则，根据，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）图中的八边形是由10个单位正方形所组成的，在PQ下面的部分包含一个单位正方形与底边为5的三角形．若PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，则之值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设QY＝x，则XQ＝1﹣x，根据题意得到：PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得结果． 【详解】设QY＝x，则XQ＝1﹣x． ∵PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，∴PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解得：x，∴QY，则XQ＝1﹣x＝1，∴XQ：QY2：3． 故选D． 【点睛】本题考查了不规则图形的面积的求解方法：注意将原图形分割求解．此题难度不大，要注意仔细识图． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，若是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则 ． 【答案】 【分析】设，从而可得，先利用勾股定理可得，再利用线段的和差可得AC的长，然后求出线段的比即可得． 【详解】设，则， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、线段的比等知识点，熟练掌握勾股定理是解题关键． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得； （2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得． 【详解】（1）由题意得：，即， 将代入得：， 解得； （2）由得：， 整理得：，即， 解得． 【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长． 【答案】（10﹣10）cm 【分析】根据D为AB的黄金分割点（AD＞BD），求出AD，再由五角星的性质可得EC=AC，继而求出EC+CD的长． 【详解】解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），  ∴AD= AB=10 ﹣10， ∵EC+CD=AC+CD=AD， ∴EC+CD=（10﹣10）cm 【点睛】本题考查黄金分割的知识，解答本题需要同学们熟记黄金比值及黄金分割的定义． 【典型例题五 黄金分割】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割的性质得，再代入计算即可. 【详解】解：∵点E是的黄金分割点， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，一舞台长，是靠近点的黄金分割点，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据黄金分割点是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比列出比例式，整理得一元二次方程，求解方程即可得解． 【详解】解：黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比， ， ， ， ， 故选：C． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 故答案为：或． 【例4】（2025九年级上·上海·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 【答案】米 【分析】根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 1．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图已知线段，点C，D是它的黄金分割点，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点．熟练掌握黄金分割法，线段的和差计算，是解决问题的关键， 根据线段点C，D是的黄金分割点，求出线段，的长，而后运用线段的和差关系计算线段的长 【详解】∵点C是的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵点D是的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（即），如果的长度为 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由P为的黄金分割点（），可得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点（）， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 【典型例题六 由平行判断成比例的线段】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴错误的是选项D； 故选D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【例4】（2024·上海金山·模拟预测）如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例，数形结合即可得到答案，熟记平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，在图中，即，不满足题意； B、由，在图中，即，满足题意； C、由，在图中，即，不满足题意； D、由，在图中，即，不满足题意； 故选：B． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，点是内部一点，且，，点在上，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设，，由此可证是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据，平行分线段成比例的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设，，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质、平行线分线段成比例的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． （2）根据格点特点作且即可； （3）取格点P、Q，E、F连接，交格线于点K、T，则K、T即为所求． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）如图即为所求； 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于8cm2． (2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)存在，秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及平行线分线段成比例定理，根据已知条件得出是解题的关键． （1）根据题意表示出的长，再利用三角形面积公式求出即可； （2）利用平行线分线段成比例定理得出，进而代入求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，得， 整理，得 ， 解得：，， 当时，，此时点Q越过C点，不合题意，舍去， 即经过2秒后，的面积等于8cm2 ． （2）存在． ∵若，则点P、Q应分别边、上，此时，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵满足， ∴秒时，． 【典型例题七 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，在平面直角坐标系中，位似图形是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比为k或，据此解答即可． 【详解】解：∵正与正是以原点O为位似中心，且面积比为， ∴，且相似比为． ∵点C的坐标为， ∴点E的坐标为，即． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换∶在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了坐标与图形性质．先求出，则可判断线段和线段的位似比为，根据关于以原点为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标． 【详解】解∶ ，， ． ， ． 以原点O为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为． 点C的坐标为，即． 故选∶B． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了位似图形的性质， 根据位似比可得点的横坐标，纵坐标的变化特征，再分两种情况得出答案． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段， ∴端点的横坐标和纵坐标都变为A点横坐标和纵坐标的． ∵点， ∴端点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． (1)若以点为位似中心在轴的左侧将缩放，使得相似比为：，求作； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵，两点的坐标分别为，和的位似比为． ∴． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出，，，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的2倍，，，，进而得出点的横坐标． 【详解】解：如图，过点B作轴，过点作轴， 点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍． 点的对应点的横坐标是， ，， ， 点的横坐标是：． 故选：B 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为 ．    【答案】 【分析】先把点和点的横纵坐标都乘以得到，，则，接着证明，所以，然后把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【详解】解：等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，而点，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了等腰直角三角形的性质． 3．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2），． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为，代入确定解析式为；直线为，联立得，于是得到位似中心；根据题意，，故可以求得与的相似比为，解答即可． （2）设，根据位似比为，得到即点为线段的中点，利用中点坐标公式解答即可． 本题考查了位似中心的确定，位似点坐标的确定，熟练掌握位似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为； 直线为， 当时， ， 故位似中心； ∵，， ∴， ∴与的相似比为， 故答案为：，． （2）解：设，根据位似比为，得到即点为线段的中点， ∵， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解∵与位似，点O为位似中心，已知， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 【答案】(4，2) 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8，4），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【例4】（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心； （2）解：补全如图所示： 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的面积等于4，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】利用位似的性质得到AD：A'D'=OA：OA'=2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A'B'C'D'的面积. 【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，AD：A'D'=OA：04'=2：3， ∴四边形ABCD的面积：四边形A'B'C'D'的面积=4：9, 又∵四边形ABCD的面积等于4， ∴四边形A'B'C'D'的面积为9. 故选D 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线） 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点． （1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'． ②填空：tan∠AB'C'＝　 ． 【答案】（1）如图所示，AD即为所求；见解析；（2）①如图所示，△AB'C'即为所求；见解析；②tan∠AB′C′＝2， 【分析】（1）利用网格作出BC的中点，再连接AD即可得； （2）①根据位似变换的定义作图可得； ②先利用勾股定理逆定理证△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，再利用tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝可得答案． 【详解】（1）如图所示，AD即为所求； （2）①如图所示，△AB'C'即为所求； ②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵△ABC∽△AB′C′， ∴tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝＝＝2． 【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及勾股定理逆定理． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． (2)以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-平移变换和位似变换，掌握确定关键对应对点的位置成为解题的关键． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后顺次连接即可解答； （2）如图：延长到使，延长到使，延长到使，然后顺次连接即可解答； 【详解】（1）解：如图：为所求． （2）解：如图：为所求． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 【典型例题九 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）如图，和是位似图形，O是位似中心，点的对应点分别为点．若的周长为4，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，而， ∴与的周长比为：， ∵的周长为4， ∴的周长为6； 故选A． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴； 故选B． 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点O，位似比为，若，则为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，由与是位似图形，位似中心为点O，位似比为，得出，又，即可求出． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，位似比为， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换， （1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心； （2）根据要求画出位似图形即可． 【详解】（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求． 故答案为：； （2）如图，即为所求． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝8，则S△DEF等于 ． 【答案】18 【分析】由OA=2AD，可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，再由面积比等比位似比的平方可解. 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形且OA＝2AD． ∴两位似图形的位似比为2：3， ∴两位似图形的面积比为4：9， 又∵△ABC的面积为8， 得△A′B′C′的面积为18． 故答案为18． 【点睛】本题考查位似图形位似比与面积比的关系：面积比等与位似比的平方，熟记性质是解题关键. 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查位似，相似三角形的性质，熟练掌握位似变换是解题的关键． （1）对应点连线所在的直线的交点即为位似中心； （2）求出，，即可得到位似比． 【详解】（1）解：作图如示．注：画出任二条线并标出点O （2）解：由题意得：，， 与的位似比． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次应A′，B'，C′，且都在格点上． (1)在图上画出位似中心P； (2)根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比． 【答案】(1)见解析； (2)点的坐标为，与△的面积比为： 【分析】（1）连接、，交于点，即可得到结论； （2）求出边长为1和2的正方形的对角线，得到与的长，求出与的比值，根据三角形与三角形相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：点的坐标为； ， 与△的面积比为：． 【点睛】此题考查了作图位似变换，解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【典型例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：，， ∴与的相似比为：， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点，点，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比． 根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案． 【详解】解：，， ，， 以原点为位似中心放大后得到， ， 与的相似比是， 与的面积的比是． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．以点B为位似中心，作的位似图形（点A，C的对应点分别是点D，E），且与的相似比为，点D，E都在x轴的下方，并直接写出与的面积之比． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质等知识点，熟练掌握画位似图形的方法及位似图形的性质是解题的关键． 先确定，，的位似对应点，，，再顺次连接各对应点即可画出位似三角形，然后根据位似图形的性质即可得出面积比． 【详解】解：如图，即为所求作， 与的相似比为， ∴与的面积之比为． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（    ） A．大鱼与小鱼的相似比是 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍 D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是 【答案】C 【分析】利用位似图形的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、大鱼与小鱼的相似比是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，正确，故此选项符合题意； D、小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若，△AOB的面积为4，则△FOE的面积为 . 【答案】1 【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积． 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE， ∴． ∵∠AOB=∠FOE， ∴． ∴△AOB和△FOE的相似比是2． ∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4． ∵△AOB的面积是4． ∴△FOE的面积是1． 故答案为：1 【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)，或，； (3)；27 【分析】此题考查了作图-位似变换，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键． （1）由以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比是，可求得各对应点的坐标，继而画出位似图形； （2）由（1），可求得点、的坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得与的相似比，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，的位似图形即为所求； （2）解：由图形知，或，； （3）解：∵，点A的对应点A2的坐标为， ∴与的相似比为：； 与的面积比为：， ∵的面积为， ∴的面积为27， 故答案为：；27． 4．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：和的相似比是； 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是； 故答案为：； （4）的面积是：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【典型例题十一 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，，，，， ，， ， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A、B、C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下，其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E，则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为，，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵ 则 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两竖格线间的距离相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】 （24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，，若，，，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，正确理解平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，根据题意得，则有，判定，有，设的高为h，则的高为，可知、和，即可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴ ∵两条对应边，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则中边上的高为， 中边上的高为， ∵， ∴，， ∴， 则阴影部分面积为， 故答案为：7． 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)解方程：； (2)如图，，求的长． 【答案】(1)； (2)12.5． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）根据平行线分线段成比例，即可求解． 本题考查了公式法解一元二次方程，平行线分线段成比例，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 原方程的解是； （2）解：∵， ， ， ． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【典型例题十二 在坐标系中画位似图形与位似中心】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查位似中心的确定，根据对应点连线的交点即为位似中心求解即可得到答案． 【详解】解：如图，点O为位似中心， , 故选：D． 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以原点O为位似中心作，使与位似（点A、B、C的对应点分别为），且与的相似比为，点在第二象限． (2)在（1）的条件下，分别写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可； （2）由图可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由（1）知：． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； (3)若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)． 【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似的性质作图，即可得出答案； （）结合轴对称的性质、位似的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：经过（）题变换后点的对应点的坐标为，经过（）题变换后的对应点坐标为． 【典型例题十三 坐标与图形综合问题】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 根据的定义和可知或，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形． 【详解】解：∵， ∴或． 如图， ①当时，点P满足或， 在图象上，线段即为图中正方形的右边，线段即为图中正方形的左边； ②当时，点P满足，或， 在图象上，线段即为图中正方形的上边，线段即图中正方形的下边． 则所有满足该条件的点围成的图形为边长为4的正方形， ∴所有满足该条件的点围成的图形的面积为， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证，得，，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，过A作轴于点E，过B作轴于点F， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，点，点，且直线轴， 所以， 解得． 所以m的值为． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海阶段·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转90°得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）根据平移的性质作图即可； 本题考查了旋转作图，平移作图，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 点C到的距离为4， ∴； （2）解：设点P坐标为， ，， ∵面积为面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴点P坐标为或． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】此题考查了坐标系中点的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分两种情况，当点在线段的右侧时，当点在线段的左侧时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， 把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； 故答案为：， （2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， 故答案为： （3）∵点是点的“双移点”， ∴点， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段的右侧时， ∵的面积为9， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 当点在线段的左侧时， ∵的面积为9， 当点点在原点时，的面积为， ∴点在原点的左侧， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 综上可知，点的坐标为或 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知，下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积，是解此题的关键．根据比例的性质分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴只有选项A符合题意． 故选：A． 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（    ） A．O点 B．E点 C．G点 D．F点 【答案】C 【分析】延长AD到A1，使A1D=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到△A1B1C1． 【详解】如图，点A的对应点为G点． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据矩形的性质得到，根据位似变换的性质得到，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．熟练掌握位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关键．也考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵矩形的周长是24， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，， 则， 故选：B． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在上时，点在点C时，n的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于直线对称得到“第一对应点”， 关于直线对称得到“第二对应点”， 点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”． ∴当点在上时，，解得， 当点在点C时，，解得， ∵线段与的边有公共点， ∴， ∴整数n的值为1，2，3． 故选：C 6．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 【答案】①② 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：①，这四条线段成比例，符合题意； ②，这四条线段成比例；符合题意； ③∵，，，， ∴ ∴，这四条线段不成比例，不符合题意； ④，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故答案为：①②． 7．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 8．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 【答案】 【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等． 【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等， 因而，，， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键． 9．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，根据题意得，则有，判定，有，设的高为h，则的高为，可知、和，即可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴ ∵两条对应边，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则中边上的高为， 中边上的高为， ∵， ∴，， ∴， 则阴影部分面积为， 故答案为：7． 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 【答案】（3n－1，0）． 【详解】试题分析：∵菱形的边长为2，=60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0）， 同理可得： 点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）， 点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）， ……… ∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）． 考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型． 11．（24-25九年级上·上海静安·期末）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． （1）利用已知条件得到，进而代入求出答案． （2）设，代入化简即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：设， 所以． 12．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）首先求出，然后利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 13．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）． （1）△ABC外接圆圆心的坐标为　 　，半径是　 　； （2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是　 　，△ABC与△DEF位似比为　 　．    【答案】（1）（2，6），；（3）（3，6）， 【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可； （2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求； 【详解】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．    故答案为（2，6）； 连接CO′．CO′＝＝， ∴△ABC外接圆的半径是， 故答案为； （2）如图2中，∵△ABC∽△DEF， ∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．    观察图象可知M（3，6）， △ABC与△DEF位似比为＝＝， 故答案为（3，6），． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题． 14．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知与各顶点都在网格的格点上，其坐标信息如下表： (1)根据表格信息，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整； (2)在（1）的条件下，画出； (3)观察与，写出一条有关这两个三角形关系的正确结论． 【答案】(1)图见解析；8，6；5，1；10，2 (2)见解析 (3)是的位似图形 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （）根据点的坐标建立直角坐标系，在平面直角坐标系中写出点坐标，通过表格观察可知对应点的横纵坐标都乘以，则可以得到点的坐标； （）利用（）中各点的坐标描点即可； （）根据位似的定义进行判断； 【详解】（1）如图，，， 故答案为：8，6；5，1；10，2； （2）如图，即为所作； （3）是的位似图形，位似中心为原点． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）． （1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ； （2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）； （3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 ． （4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 【答案】（1），4；（2）见解析；（3）；（4）①见解析，②见解析 【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解； （2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成； （3）根据（2）的做法得到，点就是QP的中点，用中点坐标公式求出点的坐标； （4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求； ②作，，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH． 【详解】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是， ， 故答案是：，4； （2）如图，连接OA取，OA中点记作点，用同样的方法找到点和点，就得到缩小后的； （3）根据（2）中的做法，点就是OP的中点，根据中点坐标公式，， 故答案是：； （4）①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求， 根据平行四边形的性质，O是BD中点， ∴CO是的中线， ∵E是CD中点， ∴BE也是的中线， 根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到的最后一条中线，则F是BC中点； ②如图，分别过点B、C作的矩形对角线BD，的矩形对角线CE， ，，则直线BD与CE的交点F就是的高所在直线的交点， 连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的的高． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标和三角形面积的求解，位似图形的作图，三角形中线和高的性质，解题的关键是掌握这些几何性质和作图方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相似形与比例线段（4大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 相似多边形的性质 典型例题三 比例的性质 典型例题四 比例线段 典型例题五 黄金分割 典型例题六 由平行判断成比例的线段 典型例题七 求位似图形的对应坐标 典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题九 求两个位似图形的相似比 典型例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题十一 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十二 在坐标系中画位似图形与位似中心 典型例题十三 坐标与图形综合问题 知识点01 位似图形 定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． 画位似图形 的步骤 （1） 确定位似中心； （2） 连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）； （3） 按相似比进行取点； （4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【典型例题一 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．例如，两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下面不是相似图形的是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 4．（24-25九年级上·嘉定·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【典型例题二 相似多边形的性质】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【例4】（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【典型例题三 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期末）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·宝山·模拟预测）已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）早在春秋战国时期，我国就开始生产和使用铁器．把焦炭、铁矿石一起放入“高炉”，在高温条件下，焦炭发生一系列反应生成一氧化碳（CO），最后一氧化碳把铁从铁矿石（）里还原出来．一氧化碳还原氧化铁的化学方程式为：，则的值为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期末）根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【典型例题四 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·上海松江·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 1．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）图中的八边形是由10个单位正方形所组成的，在PQ下面的部分包含一个单位正方形与底边为5的三角形．若PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，则之值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，若是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则 ． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度． （2）已知，求的值． 4．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长． 【典型例题五 黄金分割】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，一舞台长，是靠近点的黄金分割点，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 【例4】（2025九年级上·上海·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 1．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图已知线段，点C，D是它的黄金分割点，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（即），如果的长度为 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【典型例题六 由平行判断成比例的线段】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【例4】（2024·上海金山·模拟预测）如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，点是内部一点，且，，点在上，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ．    3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于8cm2． (2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题七 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点的对应点的坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． (1)若以点为位似中心在轴的左侧将缩放，使得相似比为：，求作； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为 ．    3．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【典型例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的面积等于4，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点． （1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'． ②填空：tan∠AB'C'＝　 ． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． (2)以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【典型例题九 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）如图，和是位似图形，O是位似中心，点的对应点分别为点．若的周长为4，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点O，位似比为，若，则为 ．    【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝8，则S△DEF等于 ． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次应A′，B'，C′，且都在格点上． (1)在图上画出位似中心P； (2)根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比． 【典型例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点，点，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 【例4】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．以点B为位似中心，作的位似图形（点A，C的对应点分别是点D，E），且与的相似比为，点D，E都在x轴的下方，并直接写出与的面积之比． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（    ） A．大鱼与小鱼的相似比是 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍 D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是 2．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若，△AOB的面积为4，则△FOE的面积为 . 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 4．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 【典型例题十一 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A、B、C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）． A． B． C． D．2 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【例4】 （24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，，若，，，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)解方程：； (2)如图，，求的长． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【典型例题十二 在坐标系中画位似图形与位似中心】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以原点O为位似中心作，使与位似（点A、B、C的对应点分别为），且与的相似比为，点在第二象限． (2)在（1）的条件下，分别写出点的坐标． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； (3)若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 【典型例题十三 坐标与图形综合问题】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则 ． 【例4】（24-25九年级上·上海阶段·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转90°得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知，下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（    ） A．O点 B．E点 C．G点 D．F点 4．（24-25九年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·上海青浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 7．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    8．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 9．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 10．（2025·上海金山·模拟预测）已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 11．（24-25九年级上·上海静安·期末）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 12．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 13．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）． （1）△ABC外接圆圆心的坐标为　 　，半径是　 　； （2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是　 　，△ABC与△DEF位似比为　 　．    14．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知与各顶点都在网格的格点上，其坐标信息如下表： (1)根据表格信息，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整； (2)在（1）的条件下，画出； (3)观察与，写出一条有关这两个三角形关系的正确结论． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）． （1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ； （2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）； （3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 ． （4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 学科网（北京）股份有限公司 $$