第05讲 锐角的三角比（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪教版）

第05讲 锐角的三角比（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正切、正弦、余弦概念 典型例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 典型例题三 根据三角函数的定义求边长 典型例题四 特殊三角形的三角函数 典型例题五 特殊角三角函数值的混合运算 典型例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 典型例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数 典型例题八 已知角度比较三角函数值的大小 典型例题九 利用同角三角函数关系求值 典型例题十 求证同角三角函数关系式 典型例题十一 互余两角三角函数的关系 典型例题十二 三角函数综合应用 知识点01 正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得， 由锐角的余弦，得． 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查角的正切值．作于点，根据正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， ∵的顶点都是正方形网格中的格点，记正方形网格边长为1，    ∴，， ∴， 故答案为：3． 知识点02 正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 【即时训练】 2．（2024·上海宝山·模拟预测）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 知识点03 特殊锐角的三角比的值 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，掌握特殊角的三角函数值的计算是关键． 根据特殊角的三角函数的计算，二次根式的计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握实数的运算法则并牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值并化简二次根式，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可，即先乘除后加减． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典型例题一 正切、正弦、余弦概念】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹. （1）在图①中画一条射线，使. （2）在图②中画一条射线，使. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC； （2）∠ABD是直角，需要保证BD=即可. 【详解】解：（1）如图所示. （2）如图所示. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，能够找到合适的直角三角形进行转换是解题的关键. 3．（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在中，， ，分别是角，，的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【答案】(1)，理由见解析 (2)==，理由见解析 【分析】（1）过作，，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，两者相等即可得证． （2），过作交的延长线于点，过点作于点，同（1）的方法分别表示出，即可求解． 【详解】（1），理由如下， 如图，过作，， 在中，，即， 在中，，即， ∴=，即=， 同理可得=， 则==．    （2）==． 解：如图所示，过作交的延长线于点，过点作于点，    ∵， ∴ ∵ 即， ∴ ∴==． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 【典型例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期末）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，若，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知正方形ABCD的边长为6，点为边上的三等分点，连接，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查求角的正切值，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及余弦的定义是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值． 【详解】解：过点D作，交于E，如图， ∴， 在中， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 在中，，， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值．    【答案】， 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 3．（2024·上海长宁·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【答案】题空：， 探究： 【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键． 填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，， 探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得． 【详解】题空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 【典型例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，则长为（    ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：， ， 故选B． 【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，数形结合由余弦函数定义列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数定义求线段长，数形结合，熟记余弦函数定义是解决问题的关键． 【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若，，则衣架宽约为 cm．（参考数据：，，） 【答案】32.04 【分析】过点A作，垂足为D，根据，，得到，计算即可． 【详解】如图，过点A作，垂足为D， 因为，， 所以（cm）， 故答案为：32.04． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，化斜为直，余弦函数，熟练掌握等腰三角形的性质和余弦函数是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案； （2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴ （2）解：∵在中，，，， ∴； 【点睛】本题考查正弦，余弦，解题的关键是熟练掌握：余弦等于邻边除以斜边，正弦等于对边除以斜边． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，利用正弦值求边长，勾股定理，利用垂直平分线的性质得出，进一步求出，再利用勾股定理求出，再利用正弦函数建立等式求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴在中， ， ∴在中， ． 即 ． 3．（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，在每个小方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为一边的，且的面积为3，，点在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为对角线的平行四边形，平行四边形的周长为，点均在小正方形的顶点上． (3)连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）利用数形结合的思想画出图形即可； （2）画一个两边分别为3，的平行四边形即可； （3）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，四边形即为所求； （3） ． 【典型例题四 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·期末）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： 原式． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·上海·单元测试）已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，综合性较强，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 根据锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：①为锐角，，正确； ②为锐角，，，正确； ③∵为锐角， ∴， ∴，正确； 故选D． 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比，叫作的正弦，记作，在度范围内，角度越大，正弦函数值越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，可有， ∴的值为可能为． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值．首先根据分式的运算法则把分式化简可得：原式，根据特殊角的三角函数值可知，把的值整体代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）解答下列各题 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质、特殊角的三角函数、负整数指数幂、绝对值进行化简后，再计算加减法即可； （2）利用分式的运算法则计算得到化简结果，再利用特殊角的三角函数值求出字母的值，代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 当时， 原式． 【典型例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例1】（2024·上海嘉定·模拟预测）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先整理，再进行二次根式的混合运算，即可作答． 【详解】解：依题意， 故选：B． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：A．，故此结论不正确； B．，故此结论不正确； C．，故此结论正确； D．，故此结论不正确； 故选：C． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算，代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习） ；若，则锐角 ． 【答案】 40 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ； ，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算，零指数幂等知识，运用相关法则和公式计算即可． 【详解】解：原式． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：， 其中 【答案】（1）1；（2）；6 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，整式的混合运算，化简求值； （1）先计算绝对值，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，再合并即可； （2）先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式． 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）（1）计算； （2）在中，若和满足，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题看出来特殊角的三角函数值； （1）根据零指数幂，有理数的乘方，特殊角的三角函数进行计算即可求解； （2）根据非负数之和为0，可得，，进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴， ∴ 【典型例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 由特殊角的三角函数值可知此时， 此时， 则的形状是钝角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）在△ABC中，若锐角∠A、∠B满足，则对△ABC的形状描述最确切的是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质得到∠A，∠B的正弦值，再根据特殊三角函数值判定∠A、∠B的度数，即可得到结论； 【详解】解：∵， ∴sinA-=0，sinB-=0， ∴sinA= ，sinB=， ∴∠A=45°，∠B=45°， ∴∠C=180°-45°-45°=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值，熟记相关三角函数值是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）锐角中，，则的形状是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． 【例4】（24-25九年级上·上海青浦·期末）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图所示，和是等腰直角三角形，，点、在的外部，连结，． （1）求证：； （2）若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点． ①如果，，求的值； ②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①GC•KG=12或GC•KG=20②AB：BD= 【分析】（1）根据∠BAC=∠EAD=90°，得出∠CAD=∠BAE，在△BAE和△CAD中，根据SAS得出△BAE≌△CAD，即可证出BE=CD； （2）①当点G在线段AB上时，推出△CGA∽△BGK，求出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=12；当点G在线段AB延长线上时，再根据已知条件求出△CGA∽△BGK，得出AG•GB=GC•KG，再根据AC=8，GA=2，得出GC•KG=20； ②根据△BED为等腰直角三角形时，∠ADB=45°，得出AB：BD=sin45°，再计算即可 【详解】（1）∵∠BAC=∠EAD=90° ∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD， ∴∠CAD=∠BAE， 在△BAE和△CAD中， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE=CD； （2）①当点G在线段AB上时（如图1） ∵△BAE≌△CAD， ∴∠ACD=∠ABE， 又∵∠CGA=∠BGK， ∴△CGA∽△BGK， ∴ ∴AG•GB=GC•KG， ∵AC=8， ∴AB=8， ∵GA=2， ∴GB=6． ∴GC•KG=12， 当点G在线段AB延长线上时（如图2） ∵△BAE≌△CAD， ∴∠ACD=∠ABE， 又∵∠BGK=∠CGA， ∴△CGA∽△BGK， ∴ ∴AG•GB=GC•KG； ∵AC=8， ∴AB=8， ∵GA=2， ∴GB=10 ∴GC•KG=20 ②如图3， 当△BED为等腰直角三角形时， 则∠ADB=45°， AB：BD=sin45°= 【点睛】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，题目的综合性很强 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形； （2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积； （3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）△ADC是倍角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据题意证明△ABC是等腰三角形，得出三个内角的度数，得证△ABC 是锐角三角形 （2）分两种情况讨论，①当∠B=2∠C②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，求出△ABC面积 （3）证明△ABD≌△AED，从而证明CE=DE，∠C=∠BDE=2∠ADC，△ADC是倍角三角形 【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36° ∴∠B=∠C=72° ∴∠A=2∠C 即△ABC是锐角三角形 （2）∵∠A>∠B>∠C，∠B=30° ①当∠B=2∠C,得∠C=15° 过C作CH⊥直线AB，垂足为H， 可得∠CAH=45° ∴AH=CH=AC=4． ∴BH= ∴AB=BH-AH=-4 ∴S= ②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A>∠B>∠C矛盾，故不存在。 综上所述，△ABC面积为 （3）∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD=∠EAD ∵AB=AE，AD=AD， ∴△ABD≌△AED． ∴∠ADE=∠ADB，BD=DE． 又∵AB+AC=BD， ∴AE+AC=BD，即CE=BD． ∴CE=DE． ∴∠C=∠BDE=2∠ADC． ∴△ADC是倍角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、三角形面积公式以及倍角三角形的定义，根据题意给出的新定义求解是解题的关键 【典型例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：∵，． ∴， 故选：B 【例2】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，中，，，，下列关于的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键． 先计算出，得出，即可判断． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 1．（2024九年级上·上海·专题练习）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【答案】为直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角度三角函数、勾股定理、直角三角形的知识； （1）根据特殊角度三角函数的性质，推导得以及，从而完成求解； （2）结合（1）的结论，根据勾股定理的性质计算得；根据特殊角度三角函数和含角直角三角形的性质计算得，即可得到答案． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． ∴ ∴旗杆部分的长； （2）∵，，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴钢丝的总长度． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，，P是边上动点，记．将线段绕点A逆时针旋转至线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）证明，得到，即可； （2）由（1）知，易得为直角三角形，设，则，利用勾股定理，求出的值，利用特殊角的三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设，则：， 在中，， ∴，解得：或； 当，即：时，则：，在上取一点，连接，使，如图，则：， 设，则：， 由勾股定理，得：，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，即：时，则：，在上取一点，连接，使， 同法可得：， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值．掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【典型例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 【例2】（2025九年级上·上海·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·上海青浦·期末）比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据锐角三角函数关系进行等量代换，然后利用锐角正弦值随着角的增大而增大即可判断． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是解题关键． 【例4】 （24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，将绕点B顺时针旋转得到．请比较大小： ． 【答案】＜ 【分析】由旋转可得：＜ 如图，构建直角三角形 且再利用锐角三角函数的定义可得：由＜ 从而可得答案． 【详解】解：由旋转可得：＜ 如图，构建直角三角形 且 由三角函数定义可得： ＜ ＜ ＜ 故答案为：＜． 【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 3．（24-25九年级上·上海·课后作业）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析 【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律 （2）根据（1）中规律即可 【详解】解：（1）由题图可知，. ∵， ， ， 又∵，且， ∴， ∴ ∵，， ， 又∵， ∴， ∴． ∵， ， 又∵，， ∴. ∴. 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大. （2）； ； . 【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键 【典型例题九 利用同角三角函数关系求值】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论． 【详解】解：∵是斜边边上的高， ∴都是直角三角形． 在中， ∵，故选项B不正确； 在中， ∵，故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 【例4】（2025·上海黄浦·模拟预测）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为 ． 【答案】3 【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可． 【详解】解：设这个锐角为α， ∴ 由①，得③ 将③代入②，得 解得：或 当时， ∴=3＞ ∵α的正切值比余切值大 ∴此时不符合题意，舍去； 当时， =＜ ∴此时符合题意． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点到书架底部距离的长度； (2)求长度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】(1) (2) (3)12个 【分析】（1）（2）在RtCDE中，利用三角函数可求得CE、DE的长； （3）设每个档案盒厚度为x，利用三角函数转化到书架长度上，构造关于x的一元一次方程，求出x的值，就能得到能摆放的档案盒个数． 【详解】（1）解：∵AB＝CD＝35cm， ∴在RtCDE中，CE＝CD·sin53°＝35×0.8＝28cm． （2）解：在RtCDE中，ED＝CD·cos53°＝35×0.6＝21cm． （3） 解：如图，∠DFG＝∠CDE＝53°， 已知BG＝60cm，ED＝21cm， 设每个档案盒厚度为x cm， 则DG＝DF·sin53°＝0.8 x， 有7x＋21＋0.8 x＝60 解得x＝5． 60÷5＝12（个）． 【点睛】本题重点考查三角函数，理解题意、熟练运用相关知识点是解题的关键． 【典型例题十 求证同角三角函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 【例2】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系可得答案． 【详解】∵， ∴的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关. 故选D. 【点睛】本题主要了考查同角的三角函数关系：sin2+cos2=1. 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，扩展到钝角，通过设参数的方法求三角函数值． 根据，设出关于两边的代数表达式，再利用对称构造全等三角形，得，再根据勾股定理求出边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：如图，在中，， 作关于对称，过点作， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 2．（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 【典型例题十一 互余两角三角函数的关系】 【例1】（24-25九年级上·上海·单元测试）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数值．根据互余两个角的三角函数值的关系进行解答即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选C． 【例2】（24-25九年级上·上海金山·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小，互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，求tanA的值． 【答案】 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据，cosB＝＝，设BC＝3x，AB＝5x，再根据勾股定理，可得AC的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案． 【详解】解 由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，得 cosB＝＝， 设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得 AC＝＝4x， 由正切等于对边比邻边，得 tanA＝==. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海闵行·课后作业）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值. 【答案】sin A=；cos B=；tan A=；tan B= 【分析】先根据sin2A+cos2A=1计算出sin A= ，然后根据互余两角三角函数的关系求出∠B的正弦和余弦值即可求出tanA、tanB的值． 【详解】∵sin2A+cos2A=1， cosA＝， ∴sin A=， ∵∠A+∠B=90°， ∴cosB=sinA=，sinB=cosA= ， ∴tanA== ，tanB== . 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系及互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，sinA=cosB或sinB=cosA．sin2A+cos2A=1，熟练掌握相关知识是解题关键. 3．（2025·上海虹口·模拟预测）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 【典型例题十二 三角函数综合应用】 【例1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）在中，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、余切和正切的定义对各选项进行判断． 【详解】解：中，∵， ∴， ∴，， ，． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦、余切和正切的定义是解决问题的关键． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数值即可求解； 【详解】解，如图 ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据，设得，，再利用勾股定理求得AB的长，最后利用余弦的定义即可求解. 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，， 又∵， ∴， ∴设，， 则， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长是解题的关键. 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在中，是边上的高，已知，则 ． 【答案】4 【分析】先由，可得，在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，可求BC=18x，利用BC=6，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为，乙在山下测得C，D之间的距离为米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）    【答案】 【分析】由题得，由即可求解； 【详解】解：∵甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查锐角三角形函数综合应用，掌握相关知识并灵活应用是解体的关键． 3．（24-25九年级·上海闵行·阶段练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可； （2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：， 故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形． 1．（2025·上海松江·模拟预测）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ，； 故选项B正确，其它选项错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，先将正方形对折，折痕为，把这个正方形展开后，再将边沿折叠，使点A落在上的点处，折痕为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据折叠的性质得到，，，，然后由求出，由平行线得到，进而利用折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵将正方形对折，折痕为， ∴， ∵将边沿折叠，使点A落在上的点处，折痕为， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由折叠得， ∴． 故选：B． 5．（2024·上海长宁·模拟预测）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，作，可推出四边形是平行四边形，得到；根据条件推出四边形是矩形，得即可求解． 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得： 正六边形每一个内角度数为： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 解得： 故选：D 【点睛】本题考查了正多边形的性质、矩形积平行四边形的判定与性质、利用三角函数值求解边长等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 6．（24-25九年级上·上海·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，则边的长为 ， 【答案】12 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长．根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， 解得， 故答案为：12． 8．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）在中，若，则 ． 【答案】/90度 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 9．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 11．（2024·上海长宁·模拟预测）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是解答本题的关键．先求出特殊角的三角函数值、幂的运算并对绝对值、二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】 ． 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）解方程或求满足条件的锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）因式分解法求解； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解：， ， ， ． 13．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案； （2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴ （2）解：∵在中，，，， ∴； 【点睛】本题考查正弦，余弦，解题的关键是熟练掌握：余弦等于邻边除以斜边，正弦等于对边除以斜边． 14．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 15．（2025·上海闵行·模拟预测）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 锐角的三角比（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正切、正弦、余弦概念 典型例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 典型例题三 根据三角函数的定义求边长 典型例题四 特殊三角形的三角函数 典型例题五 特殊角三角函数值的混合运算 典型例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 典型例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数 典型例题八 已知角度比较三角函数值的大小 典型例题九 利用同角三角函数关系求值 典型例题十 求证同角三角函数关系式 典型例题十一 互余两角三角函数的关系 典型例题十二 三角函数综合应用 知识点01 正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 ． 知识点02 正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即时训练】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【即时训练】 2．（2024·上海宝山·模拟预测）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 特殊锐角的三角比的值 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测）的值等于（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习） ． 【典型例题一 正切、正弦、余弦概念】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹. （1）在图①中画一条射线，使. （2）在图②中画一条射线，使. 3．（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在中，， ，分别是角，，的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【典型例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期末）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，若，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知正方形ABCD的边长为6，点为边上的三等分点，连接，则的值为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为 ． 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值．    3．（2024·上海长宁·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【典型例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，则长为（    ） A．4 B．8 C． D．12 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么等于 ． 【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若，，则衣架宽约为 cm．（参考数据：，，） 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 3．（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，在每个小方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为一边的，且的面积为3，，点在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为对角线的平行四边形，平行四边形的周长为，点均在小正方形的顶点上． (3)连接，并直接写出线段的长． 【典型例题四 特殊三角形的三角函数】 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·期末）的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海·单元测试）已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）请写出一个锐角的值，使得，你写出的的值为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）计算： 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）先化简，再求值：，其中 3．（2025·上海长宁·模拟预测）解答下列各题 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【典型例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例1】（2024·上海嘉定·模拟预测）的值等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）计算： ． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习） ；若，则锐角 ． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：， 其中 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）（1）计算； （2）在中，若和满足，求的度数． 【典型例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）在△ABC中，若锐角∠A、∠B满足，则对△ABC的形状描述最确切的是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例3】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）锐角中，，则的形状是 . 【例4】（24-25九年级上·上海青浦·期末）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图所示，和是等腰直角三角形，，点、在的外部，连结，． （1）求证：； （2）若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点． ①如果，，求的值； ②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形； （2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积； （3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【典型例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，中，，，，下列关于的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 1．（2024九年级上·上海·专题练习）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，，P是边上动点，记．将线段绕点A逆时针旋转至线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求． 【典型例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·上海·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【例3】（24-25九年级上·上海青浦·期末）比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【例4】 （24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，将绕点B顺时针旋转得到．请比较大小： ． 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 3．（24-25九年级上·上海·课后作业）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【典型例题九 利用同角三角函数关系求值】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知是锐角，且，则 ． 【例4】（2025·上海黄浦·模拟预测）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为 ． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，中，，，求、、、． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点到书架底部距离的长度； (2)求长度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【典型例题十 求证同角三角函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，则 ． 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 2．（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【典型例题十一 互余两角三角函数的关系】 【例1】（24-25九年级上·上海·单元测试）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（24-25九年级上·上海金山·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中） （选填“”或“”或“”）． 【例4】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，求tanA的值． 2．（24-25九年级上·上海闵行·课后作业）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值. 3．（2025·上海虹口·模拟预测）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【典型例题十二 三角函数综合应用】 【例1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）在中，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为 ． 【例4】（24-25九年级上·上海·课后作业）如图，在中，是边上的高，已知，则 ． 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为，乙在山下测得C，D之间的距离为米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）    3．（24-25九年级·上海闵行·阶段练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．    1．（2025·上海松江·模拟预测）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，先将正方形对折，折痕为，把这个正方形展开后，再将边沿折叠，使点A落在上的点处，折痕为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．（2024·上海长宁·模拟预测）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·上海·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，则边的长为 ， 8．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）在中，若，则 ． 9．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．  11．（2024·上海长宁·模拟预测）计算：． 12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）解方程或求满足条件的锐角： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 14．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 15．（2025·上海闵行·模拟预测）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 学科网（北京）股份有限公司 $$