专题03 基本不等式（八大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题03 基本不等式 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 知识点1、基本不等式 3 知识点2、基本不等式的证明 3 知识点3、基本不等式的几何意义 4 知识点4、用基本不等式求最大（或小）值 4 知识点5、基本不等式的变形及拓展 5 知识点6、解题方法技巧 5 三、探究重点难点 5 重难点题型1 基本不等式及其应用 6 重难点题型2 直接法求最值 9 重难点题型3 配凑法求最值 11 重难点题型4 “1”的代换求最值 12 重难点题型5 齐次化求最值 15 重难点题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 18 重难点题型7 利用基本不等式证明不等式 21 重难点题型8 利用基本不等式解决实际问题 24 四、突破热点题型 30 知识点一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 知识点四、基本不等式变形及拓展 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 知识点五、解题方法与技巧 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型1 基本不等式及其应用 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1.（24-25高一上·安徽·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由题设结合中即可得解. 【详解】由题， 所以， 所以由得. 故选：D. 例2.（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 2．（24-25高一上·福建福州·月考）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 重难点题型2 直接法求最值 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例3.（24-25高一下·河南焦作·月考）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 例4.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先检验符合基本不等式使用条件，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为，故C正确. 故选：C 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 重难点题型3 配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例5.已知函数，则当 时，取最小值为 . 【答案】 4 5 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立. 例6.（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 1．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 2．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 重难点题型4 “1”的代换求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 例7.（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 例8.（24-25高一下·安徽·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 例9.（24-25高一上·四川自贡·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 1．（24-25高一上·广东广州·月考）已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可求得结果. 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最小值是. 故答案为：8. 2．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 重难点题型5 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 例10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得. 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由，，，则， 即，则， 则 ， 当且仅当，即，即、时，等号成立. 法二：借助权方和不等式： 由，，，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 例11.（24-25高一下·浙江·周考）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 1．（24-25高一上·浙江杭州·月考）已知x，y为正实数，且，当最小时，的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值 【分析】变形得到，利用基本不等式得到时，取得最小值，此时，配方求出最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，取“=”， 此时，则， 当时，取“=”，故的最小值为. 故答案为： 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故选：B 重难点题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例12.（24-25高一下·安徽阜阳·周考）已知，则的的最大值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 例13.（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（多选题）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】A直接利用基本不等式判断；B化成再分析即得；C利用“1”的代换以及基本不等式计算可得；D消元后利用基本不等式即得. 【详解】对于A，由，则，等号成立条件为，故A错误； 对于B，由，得，又，得，故B正确； 对于C，由，则，则， 等号成立条件为，故C正确； 对于D，由B项知，，则， 等号成立条件为，故D正确. 故选：BCD 2．（24-25高一下·云南临沧）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 重难点题型7 利用基本不等式证明不等式 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例14.（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 例15.（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 1．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，比较与的大小. （2）已知，，，均为正实数，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）用作差法比较大小即可； （2）根据题意，，结合基本不等式即可证明. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，，， 所以，即， 当且时，，， 所以，即， 综上所述，当时，；当时，； 当且时，. （2） ， 当且仅当即时等号成立， 所以，命题成立. 重难点题型8 利用基本不等式解决实际问题 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例16.如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 例17.（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 例18.（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 1．（24-25高一上·广西南宁·月考）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【详解】设，则，其中， 因为，则，可得， 由题意可得，， 所以，矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·周考）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 故答案为： 3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 4．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 5．（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果. 【详解】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C 6．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）（多选题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式和重要不等式，分别判断各选项的正误. 【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，A错误． 因为，所以．因为，所以0，解得，B正确． 因为，所以，所以．因为2，所以，即，C正确． 因为，所以，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 7．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 【答案】16 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以. 8．已知，那么函数的最小值是 . 【答案】6 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式即可求. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 9．（24-25高一上·辽宁·期末）若，则的最大值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 10．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、判别式法求最值 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 11．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，为线段上的点，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线，交半圆于，连接，过点作的垂线，垂足为，则图中线段的长度是的算术平均数，线段的长度是的几何平均数，线段 的长度是的调和平均数. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用相似，求出线段为调和平均数. 【详解】由题可知，，，显然，所以， 所以， 故答案为： 12．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 【答案】(1) (2)该运动员在时，体力达到最低值，为 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用给定条件求解函数解析式即可. （2）结合上问结论用一次函数性质结合基本不等式分别求解最小值，再进行比较，得到最终结果即可. 【详解】（1）由题意写出速度关于时间的函数 代入与公式可得 即 （2）由一次函数性质得①稳定阶段中单调递减， 此过程中； ②调整阶段， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以调整阶段中体力最低值为， 由于， 因此该运动员在时，体力达到最低值，为. 13．（24-25高一上·山西·月考）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）由，得，进而对利用基本不等式可得到最小值. 【详解】（1）证明：因为，，所以，，所以. 因为，所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 故. （2）因为，所以， 所以. 因为，，所以 当且仅当，即，即或时，等号成立， 则，即的最小值是14. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 知识点1、基本不等式 3 知识点2、基本不等式的证明 3 知识点3、基本不等式的几何意义 4 知识点4、用基本不等式求最大（或小）值 4 知识点5、基本不等式的变形及拓展 5 知识点6、解题方法技巧 5 三、探究重点难点 5 重难点题型1 基本不等式及其应用 6 重难点题型2 直接法求最值 9 重难点题型3 配凑法求最值 11 重难点题型4 “1”的代换求最值 12 重难点题型5 齐次化求最值 15 重难点题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 18 重难点题型7 利用基本不等式证明不等式 21 重难点题型8 利用基本不等式解决实际问题 24 四、突破热点题型 30 知识点一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是 ； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”. 知识点二、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 知识点四、基本不等式变形及拓展 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 知识点五、解题方法与技巧 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型1 基本不等式及其应用 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1.（24-25高一上·安徽·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 例2.（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·月考）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 重难点题型2 直接法求最值 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例3.（24-25高一下·河南焦作·月考）已知，，且，则的最大值为 . 例4.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）的最小值为 . 重难点题型3 配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例5.已知函数，则当 时，取最小值为 . 例6.（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 1．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 重难点题型4 “1”的代换求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 例7.（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 例8.（24-25高一下·安徽·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 例9.（24-25高一上·四川自贡·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 1．（24-25高一上·广东广州·月考）已知正数满足，则的最小值是 ． 2．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，，且，则的最小值为 ． 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 重难点题型5 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 例10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为 . 例11.（24-25高一下·浙江·周考）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·浙江杭州·月考）已知x，y为正实数，且，当最小时，的最小值为 . 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 重难点题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例12.（24-25高一下·安徽阜阳·周考）已知，则的的最大值为 . 例13.（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（多选题）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南临沧）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 重难点题型7 利用基本不等式证明不等式 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例14.（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 例15.（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 1．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，比较与的大小. （2）已知，，，均为正实数，且，求证：. 重难点题型8 利用基本不等式解决实际问题 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例16.如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 例17.（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 例18.（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 1．（24-25高一上·广西南宁·月考）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 2．（24-25高一上·湖南衡阳·周考）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 4．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 6．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）（多选题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 8．已知，那么函数的最小值是 . 9．（24-25高一上·辽宁·期末）若，则的最大值为 ． 10．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 11．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，为线段上的点，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线，交半圆于，连接，过点作的垂线，垂足为，则图中线段的长度是的算术平均数，线段的长度是的几何平均数，线段 的长度是的调和平均数. 12．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 13．（24-25高一上·山西·月考）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$