专题07 函数的对称性、周期性与图像（八大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题7 函数的对称性、周期性与图像 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、函数的对称性 2 知识点2、函数的周期性 2 知识点3、周期性技巧 3 知识点4、对称性技巧 3 知识点5、函数图像变换 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 函数对称性的应用 4 重难点题型2 函数周期性的应用 6 重难点题型3 函数图像变换 8 重难点题型4 类周期函数的应用 12 重难点题型5 函数性质的综合应用：比较大小 15 重难点题型6 函数性质的综合应用：解不等式 17 重难点题型7 函数性质的综合应用：求参数的范围 19 重难点题型8 综合应用 21 四、突破热点题型 26 知识点1、函数的对称性 (1)、若函数为偶函数，则函数关于 对称． (2)、若函数为奇函数，则函数关于 对称． (3)、若，则函数关于 对称． (4)、若，则函数关于 对称． 知识点2、函数的周期性 （1）、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称 为这个函数的周期. （2）、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 知识3、周期性技巧 设函数，. ①、若，则函数的周期为 ； ②、若，则函数的周期为 ； ③、若，则函数的周期为 ； ④、若，则函数的周期为 ； ⑤、函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ； ⑥、若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是 ； ⑦、若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是 ； ⑧、若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为； ⑨、若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为 知识4、对称性技巧 （1）、若函数关于直线对称，则 ． （2）、若函数关于点对称，则 ． （3）、函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 知识点5、函数图像变换 (1)、平移变换 (2)、对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)、伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)、翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 重难点题型1 函数对称性的应用 例1.（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 例2.（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心 . 1.（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 重难点题型2 函数周期性的应用 例3.（2025·江西上饶·二模）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．3 例4.（24-25高二上·安徽·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 1.（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x).若，则的值是 . 2.（2024·山西晋城·二模）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则 ． 重难点题型3 函数图像变换 例5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高三上·江苏南通·开学考试）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 1.（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2.（24-25高三上·四川成都·月考）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 重难点题型4 类周期函数的应用 例7.（2023·广东·统考一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若存在，使得，则的最小值是 A． B． C． D． 例8.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（    ） A． B． C． D． 1.已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________. 2.定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 重难点题型5 函数性质的综合应用：比较大小 例9.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例10.（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型6 函数性质的综合应用：解不等式 例11.（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例12.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知定义在R上的函数满足①是偶函数；②在上为增函数．若不等式成立，则实数的取值范围是 . 1.（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 重难点题型7 函数性质的综合应用：求参数的范围 例13.（23-24高三上·山东潍坊·开学考试）设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 例14.（24-25高一上·湖北荆州·周测）已知函数为奇函数，则等于 （　　） A． B．1 C．0 D． 1.已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 2.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 重难点题型8 综合应用 例15.（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 例16.（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 1.（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 2.（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 1．（24-25高一下·湖北十堰·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，则函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知是上的偶函数，当时，．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 5．（多选题）已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（     ） A．在上为减函数 B．的最大值是1 C．的图象关于直线对称 D．在上 6．（23-24高一上·辽宁·周测）若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 7．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 8．（24-25高一下·广西崇左·月考）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 函数的对称性、周期性与图像 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、函数的对称性 2 知识点2、函数的周期性 2 知识点3、周期性技巧 3 知识点4、对称性技巧 3 知识点5、函数图像变换 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 函数对称性的应用 4 重难点题型2 函数周期性的应用 6 重难点题型3 函数图像变换 8 重难点题型4 类周期函数的应用 12 重难点题型5 函数性质的综合应用：比较大小 15 重难点题型6 函数性质的综合应用：解不等式 17 重难点题型7 函数性质的综合应用：求参数的范围 19 重难点题型8 综合应用 21 四、突破热点题型 26 知识点1、函数的对称性 (1)、若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)、若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)、若，则函数关于对称． (4)、若，则函数关于点对称． 知识点2、函数的周期性 （1）、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 知识3、周期性技巧 设函数，. ①、若，则函数的周期为； ②、若，则函数的周期为； ③、若，则函数的周期为； ④、若，则函数的周期为； ⑤、函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ； ⑥、若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是； ⑦、若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是； ⑧、若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为； ⑨、若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为 知识4、对称性技巧 （1）、若函数关于直线对称，则． （2）、若函数关于点对称，则． （3）、函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 知识点5、函数图像变换 (1)、平移变换 (2)、对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)、伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)、翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 重难点题型1 函数对称性的应用 例1.（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入求对称中心的纵坐标. 【详解】因为的定义域为，根据定义域对称且有对称中心，所以对称中心横坐标为1， 由，得对称中心纵坐标为0， 所以对称中心为. 故选：A 例2.（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】由奇函数的定义可得的1个对称中心为，由函数图象的变换规律分析可得答案. 【详解】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为， 将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象， 所以函数的图象的一个对称中心为； 故答案为：. 1.（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案. 【详解】任意取函数上一点，则， 对于A，点关于点成中心对成的点为点， ，故A错误； 对于B，点关于点成中心对成的点为点， ，故B错误； 对于C，点关于点成中心对成的点为点， ，故C正确； 对于D，点关于点成中心对成的点为点， ，故D错误. 故选：C. 2.（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 重难点题型2 函数周期性的应用 例3.（2025·江西上饶·二模）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性，结合奇函数的性质可以判断出函数的周期进行求解即可. 【详解】解：∵函数的图象关于对称，∴的图象关于对称， ∴，∵为奇函数，∴， ∴， ∴是周期为4的函数， ∴． 故选：B． 例4.（24-25高二上·安徽·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 1.（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x).若，则的值是 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】由函数的周期性求函数值、奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】由题意可得是周期为4的函数，即可求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 所以，， 所以是周期为4的函数， 则. 故答案为：3. 2.（2024·山西晋城·二模）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而. 【详解】函数关于点对称，则， 又为上的奇函数，则， 因此函数的周期为4， 因此. 故答案为：1. 重难点题型3 函数图像变换 例5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 例6.（24-25高三上·江苏南通·开学考试）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象的变换、函数图像的识别 【分析】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解． 【详解】函数的图象如图①关于轴对称可得，    再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得，    再将的图象向右平移2个单位得，即得    再将的图象沿轴翻折可得，即得图2． 故选：B． 1.（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象的变换 【分析】根据函数图象的变换得到答案. 【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 2.（24-25高三上·四川成都·月考）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图象的变换、根据函数图象选择解析式 【分析】根据函数定义域求出新函数定义域判断B,D;取特殊值判断C,根据函数平移伸缩变换判断A. 【详解】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 重难点题型4 类周期函数的应用 例7.（2023·广东·统考一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若存在，使得，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数满足，求得函数在上的值域，结合方程，即可求解. 【详解】由题意，因为函数满足，所以 所以当时，； 当时，； 当时，. 由，解得或， 结合题意，可得， 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练掌握函数的性质，求得函数的值域，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 例8.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出. 【详解】当时，，又，故当时，，，即，令， 则，同理，当时，， 令，则，整理得， 当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有， ，令，解得或（舍去），故m的最大值是. 故选：D 1.已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________. 【答案】 【分析】 直接利用关系式可得出当时，，结合题意可得且解出不等式即可求出结果. 【详解】 当时，，由可得， 当时，； 当时，，…， 当时，， 因为，，且对任意的，恒成立， 所以且，解得， 故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查的知识要点：直接利用关系式的应用，定义域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题. 2.定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 【答案】 【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解． 【详解】当时，故， 当时，故…， 可得在区间上，， 所以当时，，作函数的图象，如图所示， 当时，由得， 由图象可知当时，，所以的最小值为． 故答案为：． 重难点题型5 函数性质的综合应用：比较大小 例9.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 例10.（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】先利用函数的奇偶性将自变量的值转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，，， 因为，且在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 1.（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A 2.（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 重难点题型6 函数性质的综合应用：解不等式 例11.（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由区间关于0对称求得，然后利用偶函数的定义变形不等式，再根据单调性化简后，即可求解． 【详解】由题意，， 是偶函数，则不等式化为， 又在是单调递减， 所以，解得， 故选：D． 例12.（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知定义在R上的函数满足①是偶函数；②在上为增函数．若不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】利用函数的奇偶性和单调性以及一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于对称， 又因为函数在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 所以要使不等式成立， 则，则有， 整理得，即， 解得， 故答案为：. 1.（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性来求得的取值范围. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 2.（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 重难点题型7 函数性质的综合应用：求参数的范围 例13.（23-24高三上·山东潍坊·开学考试）设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求函数值 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 例14.（24-25高一上·湖北荆州·周测）已知函数为奇函数，则等于 （　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出即可得解. 【详解】设，则， 所以， 所以， 又当时，， 所以，故， 故选：D 1.已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 【详解】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 2.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 重难点题型8 综合应用 例15.（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【难度】0.65 【知识点】根据图像判断函数单调性、函数图象的应用、画出具体函数图象、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 例16.（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 【答案】(1)2 (2)图象见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、由奇偶性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数、求分段函数值 【分析】（1）根据奇函数的定义求出时，，即可求解的值. （2）结合二次函数的图象画出分段函数的图象即可. （3）根据图象，利用函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则，所以， 因为函数是奇函数，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 当时，， 故函数图象如图所示： （3）要使在区间上单调递增， 结合图象可知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 1.（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、解含有参数的一元二次不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论； （2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与-2的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 2.（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 1．（24-25高一下·湖北十堰·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的大小可求得结果. 【详解】函数定义域为，关于原点对称， 因为， 则为奇函数，图象关于原点对称，排除A和B两个选项， 当时，，，则， 即当时，函数值，选项D符合题意. 故选：D. 2．（24-25高一上·四川宜宾·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，则函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案 【详解】设， 所以 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD. 当时，，所以排除B，选择A. 故选：A. 3．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知是上的偶函数，当时，．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据偶函数的定义可得，利用函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】由题意知，当时，， 易知函数在区间上单调递减， 因为是上的偶函数，所以函数在区间上单调递增， 因为，所以， 由得，，解得， 故选：B. 4．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得. 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 5．（多选题）已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（     ） A．在上为减函数 B．的最大值是1 C．的图象关于直线对称 D．在上 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【解析】先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD正确. 【详解】因为当时，，则函数在上递减， 又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错； 因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，，则， 所以，则，即， 所以以为周期； 则，所以关于直线对称， 因此当时，； 当时，，则，又，所以； 因为偶函数关于轴对称，所以当时，； 综上，当时，； 又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确； 因为，函数为偶函数， 所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确； 因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数， 所以在上也满足恒成立；故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛： 求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 6．（23-24高一上·辽宁·周测）若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】由奇函数的定义，是奇函数，所以有，分别令取和，即可求出与的值，再利用为偶函数，可求出与的值，然后代入式中求解即可. 【详解】∵是奇函数， ∴， 令，得，即，∴， 令，得，即， ∵是定义在上的偶函数， ∴，， ∴. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·广西崇左·月考）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在定义域内单调递增，证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性、函数基本性质的综合应用 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$