精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年 七年级下学期期中考试 数学试题

2024-2025学年度下学期期中考试 七年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共6页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 2. 关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确有（ ） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这个点到直线的距离． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列成语描述的事件为必然事件的是（ ） A 空中楼阁 B. 水中捞月 C. 日出东方 D. 刻舟求剑 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定条件个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 8. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：________ 12. 袋里有红、绿、黄三种颜色的球共30个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有___________个． 13. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为______． 14. 已知是二元一次方程组的解，则关于x，y的方程组的解是___________． 15. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 17. 解方程组 （1） （2） （3） （4） 18. 如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 19. 一个不透明的袋中装有24个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． （1）求袋中总共有多少个球； （2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余球中任意摸出一个球是红球的概率． 20. 2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3860元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 56 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对； （2）为迎接新春到来，某单位到该商家购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 21. 如图，已知，平分． （1）试判断与的位置关系？请说明理由； （2）若，求的度数． 22. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． （1）求一次函数图象的“亮点”； （2）一次函数图象的“亮点”为，求，的值； （3）若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 23. 综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中考试 七年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共6页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小； 根据概率的意义找到正确选项即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意． 故选：D． 2. 关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将第一个方程中的y代入第二个方程，消去y后得到关于x的一元一次方程解答即可． 本题考查了代入消元法解方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得， 故选：C． 3. 下列说法正确的有（ ） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这个点到直线的距离． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的定义、平行公理、垂直直线的性质及点到直线的距离的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】①错误．对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不足以判定为对顶角，可能存在其他情况（如邻补角）． ②正确．平行公理明确指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③错误．垂直于同一直线的两条直线必须在同一平面内才平行，题目未限定平面，可能存在异面情况． ④错误．点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身。 综上，仅②正确，正确个数为1个， 故选：A． 4. 下列成语描述的事件为必然事件的是（ ） A. 空中楼阁 B. 水中捞月 C. 日出东方 D. 刻舟求剑 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下必然发生的事件，根据各成语的含义判断其对应的事件类型即可． 本题考查事件的分类，正确理解定义是解题的关键． 【详解】A. 空中楼阁：比喻虚幻的事物，现实中不可能存在，属于不可能事件． B. 水中捞月：试图捞取水中月亮的倒影，无法实现，属于不可能事件． C. 日出东方：太阳每日从东方升起是自然规律，必然发生，属于必然事件． D. 刻舟求剑：船移动后无法通过刻痕找回剑，结果不可能实现，属于不可能事件． 综上，只有选项C描述的事件为必然事件， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，依据直线和相交于点，就可得出关于x,y的方程组的解． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 6. 如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由同旁内角互补，两直线平行判定，故①不符合题意； ②由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故②符合题意； ③由内错角相等，两直线平行判定，故③不符合题意； ④由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故④符合题意， ∴不能判定的条件个数有2个． 故选：B． 7. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长、宽，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， ∴阴影部分图形的总面积为． 故选：B． 8. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图1的算筹图知一行为一个方程，前两个数分别为x、y的系数，第三个算筹数为方程右侧常数的十位，第四个算筹数为方程右侧常数的个位，然后根据图2所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由图2，列出二元一次方程组为， 故选：D． 9. 一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过E作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质依次求出，，即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：________ 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键． 命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可得答案． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 12. 袋里有红、绿、黄三种颜色的球共30个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有___________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用球的总数乘以摸到绿球的概率即可得到答案． 【详解】解：个， ∴袋子里绿球有12个， 故答案为：12． 13. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得的度数，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知是二元一次方程组的解，则关于x，y的方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及换元法的应用，熟练掌握换元法将新方程组转化为已知解的方程组是解题的关键．通过观察两个方程组的形式，发现可利用换元法，将、分别看作已知方程组中的、，再根据已知方程组的解来求解、． 【详解】解：令，，则关于，的方程组可转化为． 是的解， ． 解，得；解，得． 故答案为： ． 15. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 证明三角形内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 17. 解方程组 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （4）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解： 整理得： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问4详解】 解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质证明，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 结合已知条件，根据同位角相等两直线平行，可证得，再根据两直线平行内错角相等可得，结合已知条件，可得，再根据同位角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， 又， ， ， 答：与平行． 19. 一个不透明的袋中装有24个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． （1）求袋中总共有多少个球； （2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1）袋中总共有个球； （2） 【解析】 【分析】要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式（是总结果数，是事件发生的结果数 ）是解题的关键． （1）根据概率公式，已知白球数量和摸出白球的概率，设总球数为未知数，列方程求解． （2）先算出红球数量，再算出取走个白球后剩余球总数和剩余红球数，最后用概率公式计算． 【小问1详解】 解：设袋中总共有个球 白球有个，摸出白球的概率是， ∴ 即，解得 袋中总共有个球 【小问2详解】 解：由（1）知总球数个，白球个，则红球有个 取走个白球后，剩余球总数为个，红球数量不变仍为个 ∴从剩余球中摸出红球的概率 20. 2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3860元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 56 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对； （2）为迎接新春到来，某单位到该商家购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】（1）购进种型号的灯笼40对，种型号的灯笼60对 （2）购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对，此时商家获利62元 【解析】 【分析】本题主要查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，列出方程组或方程是解题的关键. （1）设商家购进种型号的灯笼a对，种型号的灯笼b对，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设商家购进种型号的灯笼x对，种型号的灯笼y对，根据题意，列出方程，再由x，y均为正整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设商家购进种型号的灯笼a对，种型号的灯笼b对， 根据题意得：， 解得：， 答：商家购进种型号的灯笼40对，种型号的灯笼60对； 【小问2详解】 解：设商家购进种型号的灯笼x对，种型号的灯笼y对， 根据题意得：， ∴， ∵两种型号都购买， ∴x，y均为正整数， 当时，不为整数； 当时，，符合题意； 当时，不为整数； 当时，，不为整数；不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对， 此时商家获利元． 答：购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对，此时商家获利62元． 21. 如图，已知，平分． （1）试判断与的位置关系？请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行内错角相等证明，再依据，得到，即根据同旁内角互补两直线平行即可求证； （2）根据平分以及，可证，，再结合，可得，再根据，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． （1）求一次函数图象的“亮点”； （2）一次函数图象的“亮点”为，求，的值； （3）若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ， 解得． 小问3详解】 解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与直线没有交点，即直线与平行， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 23. 综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $