精品解析：四川省绵阳市三台县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

三台县2025年春八年级期中教学质量监测 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 矩形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 若，则， 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 5. 已知是正整数，是整数，则下列数中不能是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 1 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 如图，在中，，D是上的一点，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 9. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 10. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 如图，四边形是面积为的矩形，是边上一点，连接，作垂直于于点，已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 12. 在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填写在答题卡的横线上． 13. 化简：_________． 14. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 15. 若a，b为实数，，则________． 16. 如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点的坐标为________． 17. 如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为________． 18. 如图，在中，，，．点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为________． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）已知：，，求的值． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 21. 已知：（1）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且．线段与有什么关系？并证明你的结论． （2）将图中的正方形沿线段、剪开，再把得到的个四边形按图所示拼成一个四边形．若图中，，则图中的阴影部分的面积为 ． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状，并证明． （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 23. 已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台县2025年春八年级期中教学质量监测 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 矩形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 若，则， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真命题假命题的判断，逆命题，二次根式的性质，正方形以及矩形的性质，判断各选项的逆命题是否为真，需先写出原命题的逆命题，再验证其正确性即可． 【详解】解：A、原命题“若，则”为假（因，当时等式成立）， 逆命题为“若，则”，但，故逆命题为假，不符合题意； B、原命题“矩形的对角线相等”为真，逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，但等腰梯形对角线相等却非矩形，故逆命题为假，不符合题意； C、原命题“正方形的对角线互相垂直平分”为真，逆命题为“对角线互相垂直平分的四边形是正方形”，但菱形对角线也垂直平分却未必是正方形，故逆命题为假，不符合题意； D、原命题“若，则且”为真（因等式成立需且），逆命题为“若且，则”，此时两边均有意义且相等，故逆命题为真，符合题意， 故选：D． 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 5. 已知是正整数，是整数，则下列数中不能是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，把各个选项中的值作为n的值代入中，求出的值，再根据二次根式的性质求出的值即可得到答案． 【详解】解：A、当时，，则，是整数，不符合题意； B、当时，，则，是整数，不符合题意； C、当时，，则，不是整数，符合题意； D、当时，，则，是整数，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故选：B． 8. 如图，在中，，D是上的一点，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到直角三角形． 勾股定理逆定理，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴． 故选：C． 9. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】如图， ∵菱形中，， ， 是等边三角形， ∵对角线， ， ， 如图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 11. 如图，四边形是面积为的矩形，是边上一点，连接，作垂直于于点，已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出，，根据四边形是面积为的矩形，得出，，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是面积为的矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12. 在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作分别交于点M，交于点N，根据题意证明出是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到，进而可判断①；根据题意证明出，得到，，进而判断②；根据题意得到当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值，求出，，即可判断③；设，则，得到，，然后根据勾股定理求出，得到，即可判断④． 【详解】如图所示，过点E作分别交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵只有当点E是中点时，，即此时，故②错误； ∵E是对角线上的一动点， ∴当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值 ∵ ∴ ∴ ∴正方形的面积取得最小值为，故③正确； 当时， ∵， ∴， ∴设，则 ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵当时， 此时 ∵ ∴，故④错误． 综上所述，其中结论正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填写在答题卡的横线上． 13. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式化简．利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 14. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 15. 若a，b为实数，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，根据二次根式有意义的条件可求出a的值，进而求出b的值，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，图形与坐标等知识， 过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得. 【详解】如图，过点作轴于， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ∵轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要利用矩形的折叠性质，结合勾股定理来求解 的长度．先通过第一次折叠确定 是 的中垂线，得到相关线段关系；再由第二次折叠得出 ，利用勾股定理求出角度，最后在 中用勾股定理算出 ． 【详解】解：∵矩形 沿 折叠， 与 重合， ∴ 垂直平分 ． ∵ ， ∴ ； ∵ ，矩形对边相等， ∴ ． ∵沿 折叠，点 的对应点为 ， ∴ ． 在 中，， ． 根据勾股定理 ，即 ． 在上取一点，使得，连接 ∵ ， ∴， 是等边三角形， ∴ ． ∵矩形 中 ， ∴ ． 过 作 于 ． 在 中，， ． ∴； ∴由勾股定理， ． ∵ ， ∴ ． 在 中，根据勾股定理 ，即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠性质、勾股定理以及含角直角三角形的判定与性质．熟练掌握折叠前后对应边相等、中垂线性质，灵活运用勾股定理是解题关键． 18. 如图，在中，，，．点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 连接，并延长交于点G，连接，过点G作于点H，先证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，再由三角形的中位线定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点G，连接，过点G作于点H， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是得中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）2；（2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）先分别根据二次根式的除法法则、乘法法则计算前两项，再根据绝对值的性质化简最后一项，最后进行加减运算． （2）先求出与的值，再将通分变形为，然后把转化为，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵ ∴ ∴ 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 21. 已知：（1）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且．线段与有什么关系？并证明你的结论． （2）将图中的正方形沿线段、剪开，再把得到的个四边形按图所示拼成一个四边形．若图中，，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】 （1）和垂直平分且相等，证明如下： 连接、、、； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即和垂直平分且相等． （2）1 【解析】 【分析】（1）连接、、、；先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形，即可作答． （2）再根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形，利用勾股定理求出和、的长，所求的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积． 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用全等三角形的性质． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当时，请判定四边形的形状，并证明． （2）当时，求t的值． （3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 解：结论：四边形是平行四边形．理由：根据题意有：，， ∵，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）或时， （3）存在，当为4或者或者时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意有：，，进而有，，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，四边形PQCD是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形PQCD是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， 根据，，，可得四边形是矩形， 则，， 即，， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， 根据（1）有，，，， ∴， ∴，解得， 综上所述：或时，． 【小问3详解】 存在，理由如下： 根据（1）有，，，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形，∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过D点于P，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，∴， 在中，， ∴，解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 23. 已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点P是的中点 ∴， 由题可知： ∴四边形是平行四边形 又由题可知： ∴是矩形 ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）通过连接辅助线、，利用点是中点及旋转性质得出边的关系，先证四边形是平行四边形，再结合矩形性质证其为矩形，从而得到 ，实现的证明． （2）先根据已知条件求出相关线段长度和角度，如利用勾股定理求，结合角度关系得出，进而求出、，最后在中用勾股定理求 ． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，灵活运用旋转性质找等量关系是解题的关键． 24. 【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】 （1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2），；方法应用：线段长度的最小值为米 【解析】 【分析】问题解决： （1）先利用平行四边形的判定和性质，结合已知来推导．通过，判定四边形是平行四边形，得到，再结合，从而得出 ． （2）先由（1）及等边三角形性质找角的关系得度数；再根据，结合点运动路径，利用垂线段最短求最小值即最小值 ． 方法应用： 求钢丝绳长度最小值，类比前面构造平行四边形，将转化为，通过找最小值求解．先构造平行四边形，得出相关边和角的关系，再利用直角三角形性质求最小值 ． 【详解】问题呈现：（1）略 （2）是等边三角形， ∴， 又∵， ∴, 由（1）知， ∴； 当时，最小，此时（所对直角边是斜边的一半 ）， ∵， ∴， 又， 最小值为 ． 故答案为：30，2； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，最小，此时最小， 作于点， 在中，， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴线段长度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形性质、等腰三角形性质、直角三角形性质（含角和角 ），熟练掌握平行四边形的构造转化线段，以及利用特殊三角形性质求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $