精品解析：贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

贵州省2024-2025学年度第二学期期中考试卷八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：第十六章~第十八章 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小聪同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点分别为点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. 50m B. 40m C. 20m D. 10m 6. 如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 平行四边形的对边互相平行 C. 如果，那么 D. 如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等 10. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 11. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 12. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 14. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 15. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 16. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点M在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变其中，，运动过程中，点到点的最大距离是______ ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 19. 先化简，后求值：，其中，． 20. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 21. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：①；②． （1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1） 的条件下，若，求菱形的面积． 22. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． （1）求的长； （2）当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 23. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 24. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2024-2025学年度第二学期期中考试卷八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：第十六章~第十八章 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则，对二次根式化简． 【详解】．故选． 【点睛】主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：．，是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求解即可，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，小聪同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点分别为点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. 50m B. 40m C. 20m D. 10m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 7. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 8. 如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质，得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：． 故选：D． 9. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 平行四边形的对边互相平行 C. 如果，那么 D. 如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，命题和逆命题，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识内容，先分别写出各选项的逆命题，据此相关内容判断其正确性，即可作答． 【详解】解：A、原命题为内错角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，内错角相等，根据平行线的性质，逆命题成立，故选项不符合题意． B、原命题为平行四边形的对边互相平行，逆命题为对边互相平行的四边形是平行四边形，逆命题成立，故选项不符合题意． C、原命题为如果，那么，逆命题为如果，那么，逆命题成立，故选项不符合题意． D、原命题为两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等，逆命题为两个直角三角形的斜边相等，那么它们全等，逆命题不成立（如斜边相等但其他边不等），故选项符合题意． 故选D． 10. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； B、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； C、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项符合题意； D、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 11. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 12. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质结合折叠的性质可得，从而即可得出，结合题意可得，即可判断②；由勾股定理和折叠的性质计算即可判断①③；由折叠的性质结合菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在矩形中，有， ∴． 由翻折可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形，故②正确． ∴，． ∴， 当点与点重合时，如图，设，则． ， 在中，， 即，解得， ∴， ， （此时，故①错误）， ∴， ∴，故③正确． 由折叠可知：，， ∴， ∴． 四边形是菱形， ∴． 由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可得，，三点共线，故④正确． 综上所述，正确的结论有②③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 15. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 16. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点M在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变其中，，运动过程中，点到点的最大距离是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，由三角形的三边关系可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， ， 当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，， ， 是直角三角形， 是直角三角形，点是的中点，， ， 四边形是矩形， ，由勾股定理得：， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 20. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）的形状是直角三角形， 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【小问1详解】 解：、，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：①；②． （1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1） 的条件下，若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 当选择②时： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理： （1）先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，， ∴平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 22. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． （1）求的长； （2）当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． （2）先理解题意得，，再算出，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ， ∴在中，； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ． 23. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． （1）根据范例，利用完全平方公式求解即可； （2）根据范例，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，再开方并计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $