精品解析：广西壮族自治区贵港市覃塘区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春季期期中教学质量监测试卷 七年级数学 （本试卷分第I卷和第II卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 下列实数中，无理数的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. 0 C. D. 5. 若，则内应填的式子是（　　） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A B. C D. 7. 足球比赛计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A. B. C. 2 D. 5 9. 若关于的不等式组的整数解共有2个，则的值可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知，那么大小顺序（　　） A. B. C. D. 11. 小明要从贵港市民族文化公园到贵港市马草江生态公园，两地相距3千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过25分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（　　） A. B. C. D. 12. 已知，则下列说法正确的个数是（　　） ①； ②当时，； ③； ④当时，值为0． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 的立方根是__________． 14. 已知，则___________； 15. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是___________． 16. 已知： 由此我们可以发现：___________．（只要求写出结果） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算题 （1） （2） 18. （1）计算 （2）把下列各数填在相应的横线上：，，，0,，，,（每两个3之间依次多一个0）； 有理数：___________；无理数：___________；正实数：___________；负实数：___________． 19. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 20. （1）先化简再求值，其中． （2）已知，求和的值． 21. 今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放43个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个，且费用不超过8600元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 22. 综合实践题 小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为的铁丝． 探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（和），分别围成边长为和的正方形；再将第二根铁丝均分（每段），围成两个长为、宽为的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）． 探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为的大正方形（如图2：大正方形示意图）， （1）用表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用表示小红做的正方形的面积则___________；___________． （2）通过图形拼合（如图3）猜想与的关系，并用含、的式子写出数量关系； （3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知，求的值． 23. 若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“伴随方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“伴随方程”是___________；（填序号） （2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是，求常数的值； （3）①解两个方程（用含的式子表示）：和； ②是否存在整数，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期期中教学质量监测试卷 七年级数学 （本试卷分第I卷和第II卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加即可解答． 【详解】解： 故选：C． 2. 下列实数中，无理数的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可， 【详解】解：、是分数，属于有理数，不符合题意；不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、表示的三次方根，结果为，是整数，属于有理数，不符合题意； 、0.2020020002是有限小数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 3. 若，则下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可．正确记忆（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数．不等号的方向改变是解题关键． 【详解】解：A、，，选项A错误； B、，，选项B错误； C、，，选项C错误； D、，，选项D正确； 故答案为：D． 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 先将原式化为，再由平方差公式计算即可． 【详解】解： 故选：A． 5. 若，则内应填的式子是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据乘除法互为逆运算，将等式两边除以即可求出方框内的式子． 【详解】解：设方框内的式子为，则原式可写为．两边同时除以，得： 因此，方框内应填的式子是， 故选：A． 6. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键； 根据解一元一次不等式步骤，求出不等式的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 不等式解集在数轴上的表示为： 故选：B． 7. 足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设胜了场，平了场，负了场，根据不低于20分，列方程与不等式求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，平了场，负了场， ；， ∴， ∴， 当时，， ∴该队至少胜了3场； 故选A 【点睛】本题考查的是不等式的应用，三元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程与不等式是解本题的关键． 8. 已知分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是用夹逼法确定无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分即可解决问题． 先算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求整数部分a和小数部分b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴整数部分 ∴小数部分 ∴． 故选：B． 9. 若关于的不等式组的整数解共有2个，则的值可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，先分别解两个不等式，确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数m的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：解不等式组， 解第一个不等式， 解得： ， 第二个不等式为， ∴不等式组的解集为， 关于的不等式组的整数解共有2个， 则满足条件的整数解为和， ∴需满足， 选项中只有符合此范围， 故选：A． 10. 已知，那么大小顺序为（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 11. 小明要从贵港市民族文化公园到贵港市马草江生态公园，两地相距3千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过25分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，找出题目中的等量关系是解此题的关键． 根据题意，小明跑步和步行的总路程需至少达到3000米，且总时间不超过25分钟，建立不等式，即可解题． 【详解】解：两地距离3千米米． 设他要跑步的时间为分钟，则路程为米； 剩余时间步行，时间为分钟，路程为米． 根据跑步路程步行路程米， 即； 故选：B． 12. 已知，则下列说法正确的个数是（　　） ①； ②当时，； ③； ④当时，的值为0． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法．首先根据整式的乘法把展开可得，可得，从而可得错误；当时可得，根据可以求出、、、的值，计算可得判断，从而可得正确；根据整式的乘法得常数项为，从而可得正确；当时，可得，则有，所以正确． 【详解】解：， ， ， ，故错误； 当时可得：， ， 、、、， ，故正确； ，，， ∴，故③正确； ， 当时，， ， ， 故正确． 正确的结论有个． 故选：C． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键． 14. 已知，则___________； 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则得到，再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：25． 15. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二阶行列式，解一元一次不等式，根据二阶行列式的运算法则列不等式是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 16. 已知： 由此我们可以发现：___________．（只要求写出结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及数字规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 根据前几个等式左右变化规律求解即可； 【详解】解：观察所给等式： 当，对应； ，即； ，即； ，即 ． 总结规律： ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法运算计算即可； （2）用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则将括号进行展开，再合并即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）计算 （2）把下列各数填在相应的横线上：，，，0,，，,（每两个3之间依次多一个0）； 有理数：___________；无理数：___________；正实数：___________；负实数：___________． 【答案】（1）；（2），，0，；，，，（每两个3之间依次多一个0）；，，；，，（每两个3之间依次多一个0） 【解析】 【分析】本题考查了实数的加减混合运算和实数的分类，掌握运算法则和正实数、负实数、有理数、无理数的定义与特点是解题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据实数的定义进行分类即可． 【详解】解（1） =； （2） 有理数：，，0，； 无理数：，，，（每两个3之间依次多一个0）； 正实数：，，； 负实数：，，（每两个3之间依次多一个0）. 故答案为：，，0，；，，，（每两个3之间依次多一个0）；，，；，，（每两个3之间依次多一个0）. 19. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组： （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （2）分别求出不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，小大大小找不到的规律即可求得不等式组的解集，把解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； 把解集在数轴上表示出来，如下： 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来，如下： 20. （1）先化简再求值，其中． （2）已知，求和的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将原式利用完全平方公式及平方差公式展开并合并同类项，然后代入已知数值计算即可； （2）利用完全平方公式将原式变形后即可求解． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）∵， ∴，， ∴， ∴． 21. 今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放43个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个，且费用不超过8600元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌的单价是48元，垃圾箱的单价是144元 （2）方案见解析，最少是8352元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系； （1）设温馨提示牌的单价为a元，则垃圾箱的单价为b元，根据题意列方程即可求解； （2）设购买垃圾箱x个，则购买温馨提示牌个，根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【小问1详解】 解：设温馨提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元， 根据题意，得， 解得， 答：温馨提示牌的单价是48元，垃圾箱的单价是144元． 【小问2详解】 设购买垃圾箱x个，则购买温馨提示牌个，根据题意，得 ， 解得， 为正整数， ，44，45， 当时，（个），所需资金为（元）， 当时，（个），所需资金为（元）， 当时，（个），所需资金为（元）， ， 共有三种购买方案，分别是购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个，购买垃圾箱44个、温馨提示牌44个，购买垃圾箱45个、温馨提示牌43个，其中购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个所需资金最少，最少是8352元． 22. 综合实践题 小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为的铁丝． 探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（和），分别围成边长为和的正方形；再将第二根铁丝均分（每段），围成两个长为、宽为的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）． 探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为的大正方形（如图2：大正方形示意图）， （1）用表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用表示小红做的正方形的面积则___________；___________． （2）通过图形拼合（如图3）猜想与的关系，并用含、的式子写出数量关系； （3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式求解即可； （2）等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积，再加上2个长为a，宽为b的长方形面积，据此表示出即可得到结论； （3）①可求出，据此可得答案； ②先求出，再求出的结果即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由图3可知，等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积，再加上2个长为a，宽为b的长方形面积，即． ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴． 23. 若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“伴随方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“伴随方程”是___________；（填序号） （2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是，求常数的值； （3）①解两个方程（用含的式子表示）：和； ②是否存在整数，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）② （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，理解并掌握“伴随方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别求解方程和不等式组，根据“伴随方程”定义判断； （2）先解不等式组，再结合“伴随方程”解的整数性确定方程的解，进而求； （3）①先解方程，②再解不等式组，根据“伴随方程”定义判断判断求值即可； 【小问1详解】 ①，解得； ②，化简得，，解得； ③，，解得 ． 解不等式组： 解，得； 解，得 ． 所以不等式组解集为 ． 判断“伴随方程”：只有方程②的解在内， 故答案为② ． 【小问2详解】 解不等式组： 解，得； 解，得 ． 所以不等式组解集为 ． 因为“伴随方程”的解是整数，且在内， 所以 ． 把代入，得， 解得 ． 【小问3详解】 ①解，得 ， ； 解，得 ， ． ②解不等式组： 由，得 ； 由，得 ． 所以不等式组解集为 ． 因为两个方程都是“伴随方程”， 所以 由得： ， 所以，整数解为 由得： ， 所以，整数解为，2，3，4，5， 所以 ． 当时，，，都在内，符合条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$