精品解析：云南省砚山县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷

砚山县第一中学5月月考 高一数学 2025.6 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：必修第一册（40%），必修第二册（60%）. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算可求解. 【详解】解：由题意得： ， 则. 故选：C 2. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法化简，然后由复数几何意义可得答案. 【详解】因为， 所以，复数对应点为，位于第一象限. 故选：A 3. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数的性质确定的范围，进而确定大小关系. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，， 所以， 故选：A. 5. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 6. 甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本空间包含的样本点个数，所求事件包含的样本点个数，再用古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下： 甲 乙 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是”， 则事件的可能结果有种，即， 所以事件概率为：， 故选：C. 7. 若将的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 由关于轴对称，则，， 可得，，又，所以， 即， 当时，， 所以当时，即时， 此时有最小值.故C正确. 故选：C． 8. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【详解】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ） A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求出数据中的中位数、方差、众数及百分比分位数即可判断选项 【详解】将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，故中位数为，故A正确； 数据中，2，3出现次数最多，所以众数为2和3，故C正确； 平均数是， 方差是故B正确； 第85百分位数,是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字5为该组数据的第85百分位数，故D错误． 故选：ABC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则或 D. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，利用向量相等或相反的定义，即可判断出选项A的正误；选项B，利用与任何向量共线及向量共线的定义，即可判断出选项B的正误； 选项C，根据条件，利用数乘向量的定义，即可判断出选项C的正误；选项D，根据条件，利用投影向量的定义，即可判断出选项D的正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为，但与不一定同向或同向，所以选项A错误， 对于选项B，当，有，但与不一定同向或同向，所以选项B错误， 对于选项C，因为，由数乘向量的定义可知，或，所以选项C正确， 对于选项D，因为为单位向量，若， 所以在上的投影向量为，所以选项D正确， 故选：CD. 11. 如图，正方体的棱长为4，点M是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（ ） A. 若四点共面，则点M的运动轨迹长度为4 B. 若，则点M的运动轨迹长度为 C. 若，则点M的运动轨迹长度为 D. 若直线AM与所成的角为，则点M的运动轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，找到平面与侧面的交线，即线段，则点M的运动轨迹即为线段，求其长度即可； 对于B，利用线面垂直的判定定理证明平面，从而确定点在上，求线段的长度即可； 对于C，正方体可得平面，进而得到，得，即的轨迹是一个半径为的圆，求其周长即可； 对于D，直线AM与所成的角转化为直线AM与所成的角,进一步求得,则的轨迹是一个半径为的圆，求其周长即可. 【详解】对于A，因为，所以确定一个平面，而不共线的三点在这个平面内， 所以确定的平面即为平面，故点在上，即点的轨迹为，故A错误； 对于B，连接，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以， 又平面，所以平面，又平面，所以， 同理可证，又平面，所以平面， 故当时，点在上，即点的轨迹为，故B正确； 对于C，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，所以， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为，故C错误； 对于D，因为，直线与所成的角为，所以与所成的角为，即，所以在直角中，， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个与向量垂直的单位向量________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意设所求向量为，从而，由此解方程组即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量为， 则，解得或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13. 一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，圆台的高为，则圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台图形特征结合相似得出边长，再应用圆台体积公式计算求解. 【详解】如图所示，设圆台的母线长为，截得的圆台的上、下底面半径分别为， 则根据三角形相似的性质，得， 解得，故， 圆台的体积为． 故答案：. 14. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可得到函数图象，不妨令，即可得到，，再由基本不等式求出的范围，即可得解. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，， 当时， 所以上单调递增，在上单调递减，又，， 所以函数的图象如下图所示: 若，且互不相等，不妨设， 则， 则，即， 所以．又，，，所以， 又由，变形得，解得，所以． 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说阴、证明过程及演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求c； （2）若的面积为，，求a． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出角，结合正弦定理可得答案； （2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理，可得. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 因为，，所以，解得. 由余弦定理可得，即. 16. 已知是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，求出时的解析式，即得答案； （2）作出函数的图象，数形结合，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知是定义在R上的偶函数，当时，， 故当时，， 故函数在R上的解析式为； 【小问2详解】 作出函数的图象如图： 结合图象可得若函数在区间单调递增， 需满足，即. 17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4 （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出样本中分数不小于70的频率，然后算出样本中分数小于70的频率，由频率估计概率即可； （2）先由已知求出样本100人中分数在区间内的人数，然后估计总体中分数在区间内的人数即可； （3）先求出样本中男生女生的人数，由分层抽样的原理可知，样本中男生和女生人数的比例就是总体中男生和女生人数的比例. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为， 所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. 【小问2详解】 根据题意，样本中分数不小于50的频率为， 分数在区间内的人数为， 所以总体中分数在区间内的人数估计为. 【小问3详解】 由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为， 所以样本中分数不小于70的男生人数为， 所以样本中的男生人数为，女生人数为， 所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为. 18. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解； （2）利用转化的思想可知在上有两个不同的实数根，根据正弦函数的图象与性质求出的取值范围，建立不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 ， .又， ，故的取值范围为. 【小问2详解】 . 当时，. 有两个不同的实数根， 又在上单调递增，在上单调递减，且当时， 作出函数的图象如图所示， 由正弦函数图象可知，解得， 故实数的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可得到证明; （2）当点F是棱AP上靠近点A三等分点时，利用线面平行的判定定理证明即可； （3）连接PG，过点G作于M，连接PM，证明是二面角的平面角的补角，在中求解即可. 【小问1详解】 连接BD，因为底面ABCD为菱形，所以， 又，所以△ABD为正三角形，又，所以， 又面面ABCD，面面，面ABCD． 所以，面PAD． 【小问2详解】 当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时，面PBC．理由如下： 连接EF，BD．因为底面ABCD为菱形，所以AC与BD互相平分， 又，所以是△ABD重心，即， 又，则， 所以，又，所以，，又平面PBC， 平面PBC，所以，面PBC， 【小问3详解】 连接PG，过点G作于M，连接PM， 因为△PAD为正三角形．又，所以， 又面面ABCD，面面，面， 所以，面ABCD，所以，面ABCD， 又，所以，平面，． 所以，是二面角的平面角的补角． 又中，，正△PAD中，． 所以，， 所以，二面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 砚山县第一中学5月月考 高一数学 2025.6 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：必修第一册（40%），必修第二册（60%）. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若将的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ） A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4.5 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则或 D. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 11. 如图，正方体的棱长为4，点M是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（ ） A. 若四点共面，则点M运动轨迹长度为4 B. 若，则点M的运动轨迹长度为 C. 若，则点M的运动轨迹长度为 D. 若直线AM与所成的角为，则点M的运动轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个与向量垂直的单位向量________． 13. 一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，圆台的高为，则圆台的体积为______． 14. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说阴、证明过程及演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求c； （2）若面积为，，求a． 16. 已知是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 18. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点． （1）求证：平面PAD； （2）若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论； （3）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$