精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市2024-2025学年 八年级下学期期中测试数学试题

八年下期中测试数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若直角三角形的三边长为5，12，m，则的值为（　　） A. 13 B. 119 C. 169 D. 119或169 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 4. 在直角坐标系中，已知点M的坐标为，则点M到原点的距离是（ ） A. 7 B. 24 C. 25 D. 31 5. 如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 17 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 将化成最简二次根式______． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为_____． 9. 若，则______． 10. 命题“菱形的对角线互相垂直”，该命题的逆命题是_____________命题．（填“真”或“假”） 11. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12 计算：． 13. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 14. 如图，于点，且，，，求的度数． 15. 如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为的矩形； （3）在图③中，画一个面积为的菱形． 17. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在上有一处古建筑D，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度． 18. 某居民小区有一块形状为矩形绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 19. 如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，交边于点，，，垂足分别为． （1）求证：四边形是正方形； （2）过点作，若，，求四边形面积． 20. 如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点． （1）求证：； （2）从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由； （3）请直接写出线段，，之间的数量关系． 21. 如图，用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． （1）如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点N，使，连接，则________度； （2）如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当运动停止时，求线段的长； （3）当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； （4）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年下期中测试数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式的定义是形如的式子，其中根指数为2（通常省略不写）．根据二次根式的定义，判断各选项是否满足被开方数非负且根指数为2的条件，即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数为（负数），不符合二次根式的条件，选项不符合题意， B、，根指数为3，属于三次根式，而非二次根式，选项不符合题意， C、，被开方数为正数，根指数为2，符合二次根式的定义，选项符合题意， D、，被开方数的符号不确定，若则无意义，因此不一定是二次根式，选项不符合题意． 故选：C． 2. 若直角三角形的三边长为5，12，m，则的值为（　　） A. 13 B. 119 C. 169 D. 119或169 【答案】D 【解析】 【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分m为直角边与斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：当m为直角边时，， 当m为斜边时，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对边平行 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等； 故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 4. 在直角坐标系中，已知点M的坐标为，则点M到原点的距离是（ ） A. 7 B. 24 C. 25 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M到原点的距离； 故选C． 5. 如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，掌握菱形对角线互相垂直是解题关键．由菱形的性质可得，，进而得到，则，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 将化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中求线段长，涉及矩形性质，根据矩形对角线相等且互相平分即可得到，从而确定答案．熟记矩形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，对角线、相交于点，则， ， 故答案为：． 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、二次根式性质等知识，先由二次根式有意义的条件得到，从而得到，由二次根式性质即可得到，熟练掌握二次根式性质与定义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，且， 则， ，解得， ∴， 故答案为：． 10. 命题“菱形对角线互相垂直”，该命题的逆命题是_____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．本题只需将命题“菱形的对角线互相垂直”的条件和结论部分互换，变成新的命题即可得到它的逆命题；再根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，运用所学知识对它进行判断． 【详解】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，它是一个假命题． 【点睛】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．而判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除运算、平方差公式等知识，先计算二次根式除法，运用平方差公式化简，再由二次根式性质计算，最后由二次根式加减运算求解即可得到答案．熟记二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 13. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据，得到，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定．熟练掌握平行四边形的对边平行，有一个角是的平行四边形是矩形，是解题的关键． 14. 如图，于点，且，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，在中、中由勾股定理可得，再得到，从而在中，可得，由勾股定理的逆定理确定是直角三角形，即可得到答案．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵于点， ∴， 在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 在中，，则是直角三角形， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）菱形的面积为6． 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论； （2）设，根据题意，求出，，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设， ∵，，， ∴，， ， ， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为的矩形； （3）在图③中，画一个面积为的菱形． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形，矩形，菱形，勾股定理等知识是关键． （1）根据格点，平行四边形的判定方法作图即可； （2）根据格点，矩形的判定方法作图即可； （3）根据菱形，勾股定理的计算作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，根据网格特点可得四边形，点到的距离为， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形即为所求图形； 【小问2详解】 解：如图所示，根据格点特点， ∴四边形是矩形，， ∴四边形即为所求图形； 【小问3详解】 解：如图所示，，，， ∴四边形是菱形，， ∴四边形即为所求图形． 17. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在上有一处古建筑D，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出的长，然后加上的长就可以求出的长． 【详解】解：如图，在，， ， ，即， 在中，， ∴， ∴． 18. 某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）1056元 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； 小问2详解】 解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 19. 如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，交边于点，，，垂足分别为． （1）求证：四边形是正方形； （2）过点作，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由矩形的判定与性质得到四边形是矩形，再由角平分线定义及等腰三角形判定与性质得到，即可得证； （2）由矩形性质得到，进而由角平分线性质及等腰三角形判定与性质得到，数形结合表示出，由平行四边形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵的平分线交对角线于点M， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交对角线于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及矩形判定与性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的面积等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 20. 如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点． （1）求证：； （2）从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由； （3）请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）两条路线长度相等，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，证明四边形为平行四边形，推出为的中位线，进而得到，即可； （2）根据平行四边形的对边相等，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线与点，证明四边形为平行四边形，推出，得到，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接与交于点． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵中点， ∴为的中位线． ∴，又点，，，共线，即． ∵，即， ∴，即． 【小问2详解】 两条路线长度相等．理由如下： 由（1）知，，， ∴垂直平分． ∴． 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴，． 由题意，得小明的路线长，小亮的路线长， ∴，即两条路线长度相等． 【小问3详解】 过点作，交的延长线与点， 由（1）知， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质．添加辅助线构造平行四边形和全等三角形，是解题的关键． 21. 如图，用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． （1）如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点N，使，连接，则________度； （2）如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）45 （2），说明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形判定与性质得到，，先判定，从而得到，，进而证得是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由菱形性质得到，，先判定，从而得到，，由等腰三角形的判定与性质得到，作交于点，如图所示，在中，由含直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【小问1详解】 解：当菱形中，，则菱形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作交于点，如图所示： 则，， 在中，，，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形性质、含直角三角形性质即勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质及判定，并灵活运用是解决问题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）当运动停止时，求线段的长； （3）当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； （4）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），24 （4）存在，或6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到，，进而求出，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）根据题意，先求出点运动的时间，再由点的运算过程求解即可得到答案； （3）若四边形为矩形，则，根据运动关系表示出，列方程求解即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况讨论，由平行四边形对边相等列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 过点作于点，如图所示： 四边形是矩形，则，， ， 在中，,，，则由勾股定理可得， ； 【小问2详解】 解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动， 点运动的时间是, 点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动， ； 【小问3详解】 解：若四边形为矩形，则， 由题意可知：，，， ，解得， 此时， 矩形的面积为； 小问4详解】 解：存在， 理由如下： 根据题意，分两种情况： 当四边形为平行四边形，即点在点左边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 当四边形平行四边形，即点在点右边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 综上所述，存在，或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$