精品解析：山东省东营市广饶县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

6学科网列组卷网 2024一2025学年第二学期期中限时作业 九年级数学试题 (时间：120分钟分值：120分) 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确 的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1 1.6的倒数是() A.6 B.-6 C.6 D.-1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的积等于1解答. ×(-6)=1 【详解】.6 1 .6的倒数是6 故选：B 2.下列运算中正确的是（) A.b2.b3=b9 B.(2x+y)2=4x2+y2 C.（-3x3y)3=-27xy D.x+x-x2 【答案】C 【解析】 第1页/共38页 命学科网命组卷网 【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项进行解答， 【详解】解：A、bb=,不符合题意： B、(2x+y)2=4x2+4xy+y2,不符合题意： C、(-3xy)3=-27xy,符合题意； D、x+x=2x,不符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项等知识点 3.己知直线m/1n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A,B 两点分别落在直线m,n上，若∠1=40°，则∠2的度数为() 10° A. E200 C 300 D400 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论 【详解】解：直线m/n, .∠2+∠ABC+∠1+∠BAC=180° .∠ABC=30°∠BAC=90°∠1=40° ∴.∠2=180°-30°-90°-40°=20° 故选B。 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 4.如图.随机闭合开关K、K,、K中的两个，则能让两盏灯泡上、凸同时发光的概李为() 第2页/共38页 命学科网组卷网 A.6 B.Z C.3 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键.找出随机闭合开关 Ki K2 K中约背个的情深数以及能让两登打流人、么同时发光的格秋宝。可求出所求季手 【详解】解：画树状图，如图所示： 开始 K K3 K3 KI K2 随机闭合开关K、K,、K中的两个有六种情况：闭合KK,闭合KK,闭合K人，闭合K,K,闭 K3K2 ,闭合 能让两盏灯泡乙、凸同时发光的有两种情况：闭 K,K,闭合 21 则P(能让两盏灯泡L、L2同时发光)63. 故选：D 5.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是() A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 第3页/共38页 学科网 命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和=(1-2)180°，列方程可求解. 【详解】设所求多边形边数为n, .(n-2)180°=1080°， 解得n=8. 故选D. 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变 形和数据处理 6.如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( R=12 252°d A.3.6 B.1.8 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径. 【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°-252°=108° 108π.12_36π 阴影部分的弧长为： 180 5 设阴影部分构成的圆锥的底面半径为： 2r=36z 1 5,即5 =3.6 故选：A. 【点睛】本题考查了扇形的弧长与其构成的圆锥之间的对应关系，熟练的把握这一对应关系是解题的关键」 7.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'C"D'E',已知OA=10cm, 04'=20cm ABCDE A'BCD'E ,则五边形 的周长与五边形 的周长比是() 第4页/共38页 6学科网列组卷网 A12 B2:1 c13 D3:1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，根据位似图形高、周长的比都等于位似比求解即可. 【详解】解：：以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'CD'E,OA=1Ocm, 04'=20cm ∴五边形ABCDE与五边形AB'CD'E'的位似比为10：20=1：2， 五边形ABCDE的周长与五边形A'B'CD'E的周长比是：1：2. 故选：A. &如图，A点坐标为(4,4)，C点坐标为2,0)，将线段CA绕点C顺时针旋转90至CB,则点B的坐 标是() A.(6-2) B.(4,-4) c(2,-4) D.(4,-2) 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 第5页/共38页 6学科网 命组卷网 先作AD⊥x轴，BE⊥x轴，根据题意可知AD=4,OC=2,OD=4,可得CD=2,再证明 △ACD≌ACBE BE=CD=2,CE=AD=4 ,可得 ,即可得出答案. 【详解】解：如图所示， 过点A,B作AD⊥x轴，BE⊥X轴，交x轴于点D,E, A(4,4),B(2,0) ,点 .AD=4,OC=2,OD=4. .CD=2. ,∠ACD+∠CAD=90°=∠ACD+∠BCE, .∠CAD=∠BCE AC=BC,∠ADC=∠AEB=90° 又… :AACD≌ACBE .'BE=CD=2,CE=AD=4. .0E=6. B(6-2) 点 故选：A, 第6页/共38页 6学科网 命组卷网 9.如图，已知二次函数y=ax'+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论①abc>0: ②b-a>c,®4a+2b+c>0,④3a>-c:⑤a+b>m(am+b)m≠l的实数)其中正确结论的有 ①②③ ②③⑤ ③④⑤ A. c②3m D 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及 抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可. ①. 【详解】 对称轴在y轴的右侧， .ab<0 由图象可知：c>0, ∴.abc<0,① ,故不正确，不符合题意； ②当X=-1时，y=a-b+c<0, b-a>c,故②正确，符合题意： .② ③ 由对称知，当术=2 时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0③ ,故正确，符合题意； 第7页/共38页 6学科网 6组卷网 ④x= b 2a ∴.b=-2a .a-b+c<0 ∴.a+2a+c<0 3a<-c,故 不正确，不符合题意： ⑤当x=l时，y的值最大此时，y=a+b+c。 而当x=m时，y=am2+bm+c 所以a+b+c>am2+bm+c(m≠)， 故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故同正确，符合题意， ②③⑤ 故 正确， 故选B. 【点晴】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=aK+bx+c 系数符号由抛物线开口 方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键. 10.如图，在正方形ABCD中，P是边AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O, 过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论： ①△APE≌△AME: ②PM+PN=AC: ③PE+PF2=PO 第8页/共38页 6学科网 命组卷网 2 ④当P是AB的中点时， 3 其中正确的结论有() D B A.个 82 ”个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用SAS证明 PE=EM=-PM △APE和△AME全等即可判断①；根据全等三角形对应边相等可得 2 ，同理 FP=FN=-PN 证出四边形PEOF是矩形，得出FP=OE,根据等角对等边得出AE=PE, PE+PF=OA FP=OE 故可判断②：根据矩形的性质可得 ,再利用勾股定理即可得到即可判断③： 证明PM,PN是中位线，可得四边形APOM是正方形，四边形PBNO是正方形，根据正方形的性质 可得结论， 【详解】解：①，四边形ABCD是正方形，AC是对角线， .∠PAE=∠MAE=45° 第9页/共38页 6学科网命组卷网 .PM⊥AC, .∠AEP=∠AEM=90°， 在△APE和△AME中， ∠PAE=∠MAE AE=AE ∠AEP=∠AEM ,△APE≌△AME(SAS) 故结论①正确： ②，△APE≌△AME, PE-EM-7PM :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ÷∠PBF=∠NBF=450,A0=)AC 2 :PW⊥BD, .∠BFP=∠BFN=90°. 在△BPF和△BNF中， ∠PBF=∠NBF BF BF ∠BFP=∠BFN :△BPF≌ABNF(SAS) PF-FN-2PN 第10页/共38页 6学科网 组卷网 ,正方形ABCD中，AC⊥BD, 又，PE⊥AC,PF⊥BD, :.∠PE0=∠EOF=∠PFO=90°. ∴.四边形PEOF是矩形， .PF=EO. 在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°， .∠APE=90°-∠PAE=45°=∠PAE, .AE PE, .PE+PF=OA. .2 2 .PM+PN=AC, 故结论②正确： ③·四边形PEOF是矩形， .PE=OF 在RtAPFO OF2+PF2=PO2 中 PE2+PF2=POR 故结论③正确： ④如图， 由①得 APE≌△AM ,由②得 △BPF≌△BNF 第11页/共38页 6学科网命组卷网 .AP=AM,PE=ME=AE,BP=BN,PF=NF=BF, :点P是AB的中点， :4P=B.P34B 2 AB=AD=BC, 4M-TAD BN-3BC 2 ∴点M是AD的中点，点N是BC的中点， :.PM为△ABD的中位线，PN为△ABC的中位线， :PM∥BD PNIIAC .AE=OE,BF=OF, 又.PM⊥AO,PN⊥BO. ∴四边形APOM是正方形，四边形PBNO是正方形， :SaPw=Sarw,P0=M0=NO.∠POM=∠PON=90 SAOrM=SAPON SAAPM=SAOPM=SAPON 1 SADM 故结论④错误： ∴.正确的结论是①②③，共3个. 故选：C 第12页/供38页 命学科网命组卷网 B N 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角 形中位线定理，等角对等边，直角三角形两锐角互余等知识.证明△APE≌△AME是解题的关键 第Ⅱ卷（非选择题共0分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分.只 要求填写最后结果. 11.春意盎然，许多地方杨絮漫天飞舞，据测量，杨絮纤维的直径约为0.0000105m,用科学记数法表示杨 絮的直径为 m 1.05×103 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可.科学记数法的表示形式为 a×10" 1≤a<I0 的形式，其中 ,n为整数.解题关键是正确确定a的值以及n的值. 0.0000105m=1.05×103m 【详解】 1.05×10-5 故答案为： 12.分解因式： 2x2+12x+18 【答案】2(x+3)2 【解析】 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可. 第13页/共38页 学科网命组卷网 【详解】解：2x+12x+18=2(x+6x+9）=2(x+3) 故答案为： 2(x+3)2 【点睛】本题考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解 因式。 13.为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的10名中学 生参与了该项活动，回收的旧电池数量如下表： 电池数量 P 256 (节) 0 人数 1 14 2 1 根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 【答案】6 【解析】 【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可. 【详解】解： (2×1+5×4+6×2+8×2+10×1)÷10=60÷10=6 ∴.10名中学生回收废电池的平均数是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查的是平均数，熟练掌握平均数的算法是解题的关键 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,且ta4=3,则AC= B A 【答案】6 【解析】 【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案. 第14页/共38页 6学科网 6组卷网 1 【详解】解：，anA=3, BC 1 21 .AC3,即AC3, 解得，AC=6, 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边ā与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的 关键. 15.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度)(cm)与观察时间x(天)的关系，画出如 图所示的函数图象(CD∥x轴).则该植物最高长到 cm y/cm 12 305060 x/天 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性 质是解题的关键。 根据图示，设一次函数为V=c+6k≠0)，把点(30,21代入得到解析式，再把x=50代入即可求解. 【详解】解：根据函数图象设一次函数为V=+6(k≠0），把点(30,12)代入得30k+6=12. 1 k二 解得， 5, “一次函数解析式为'=亏+6(x≥0)】 第15页/供38页 6学科网 命组卷网 当x=50时， y=5×50+6=16(cm) 当*>50 CDx 时， 则该植物达到最高高度， ∴.该植物最高长到16cm, 故答案为：16 16.如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A,B,O在格点上，则cos∠ACB的 值是 0 23 【答案】13 【解析】 【分析】取AB中点D,由图可知，AB=6,AD=BD3,OD-2,由垂径定理得OD⊥AB,则OB= OD 2 2v13 VOD2+BD=V2+3=N13o∠D0OB513,再证∠4C∠D0B,即可 解. 【详解】解：取AB中点D,如图， 第16页/共38页 6学科网6组卷网 D 由图可知，AB=6,AD=BD=3,OD=2, OD⊥AB, ∴.∠ODB=90°， OD 2 2v13 0-OD+BD=2=13COLDOR- OB 13 13 ..OA-OB, 1 .∠BOD=2∠AOB, ,∠ACB=2∠AOB, .∠ACB=∠DOB, 23 .cos∠ACB=cos∠DOB=13, 2W13 故答案为：13· 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D,得Rt△ODB是解题 的关键。 17.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8.连接AC,在AC和AD上分别截取AE、AF,使 AE=AF,分别以点E和点F为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧交于点G,作射线AG交 第17页/共38页 6学科网6组卷网 CD CH 于点H,则线段 的长是 F 10 【答案】3 【解析】 【分析】过H作H014C于Q,根据勾股定理求出4C=10,设DH=x,列方程2+产=(6-x,求 出x的值即可求出解。 HQ⊥AC 【详解】解：过H作 于Q,如图， 在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，CD=AB=6,AD=8, .AC=VAD2+CD2=V82+6=10 由作图得：AG平分∠CAD, .∠CAG=∠DAG. ∠D=∠AQH=90°，AH=AH :.△ADH≌△AQH(AAS) DH=HO=x,AO=OD=8 第18页/供38页 6学科网命组卷网 CO=AC-QA=2 在Rt△CH0中，设DH=x,有CO+OH=CH2 即：22+x2=(6-x 8 解得： 3, :DH-8 3, :CH=CD-DH=6-810 33, 10 故答案为：3. 【点睛】本题考查了作图基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题 的关键。 18如图，在平面直角坐标系0中，点4,4,4，“分别在猫上，点，B,B,“分别在直线y=x上， △OAB,△BA△BB,△B,44△B,B4,都是等腰直角三角形，如果OA=1,则40P的坐 标为 第19页共38页 6学科网组卷网 B B B OA:A2 As A (22018,0) 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的规律求得4，(2,0），再将n=2019代入求解即可. 【详解】由题意得 4(1,0).4(2,0).A(4,0）A(8,0) .4(2,0）.4(2,0）.4(2,0).4(2,0) 4,(2,0) 将n=2019代入4.(2,0)中 可得4o(2018,0）) 故答案为： (2018,0) 【点睛】本题考查了图形的规律思，找出图形的规律4(2,0)是解题的关键， 三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 第20页/共38页 6学科网命组卷网 19(1)计算： is+3m30+(2-巾-同+(a-2023, x2-4x+4 (2)先化简： (}产：，有从-1小01思2中法一个东为合道的意作为份代入球 值. 【答案】()3V2 y 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的化简求值. ()根据二次根式的性质、特殊角的二角函数值、负整指数幂和0指数幂的性质，可得：原式 =32+3-2-V3+1+1,再合并同类二次根式即可： (2)根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式x-2,根据分式的分母不能为0、除数不能为0，可 得x只能取-1，把x=-1代入化简后的代数式中计算求值即可. 【010）is+3am30+h-+(-2023 =32+3x 3 - =3W2+V3-2-V3+1+1 =3V2 第21页/共38页 6学科网命组卷网 a4 x-x x(x-1) =-1-1xxx-) -X- x-1^(x-2)2 =x-2xx(x-) x-1“(x-2)月 =-x -2, “分母不能为、除数不能为 0 0 x-1≠0 .{x≠0 x-2≠0 ∴.x≠012 当x=-1时， x-11 原式x-2-1-23 20.我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技 术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每 个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不 完整的统计图 第22页/共38页 6学科网命组卷网 学生选择专业条形统计图 学生选择专业扇形统计图 人数 70 60 D 50 40 A 35% 30 10 A BCD专业类型 根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为 (2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的 学生有 人： (3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习. 请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率， 【答案】(1)200：72° (2) 补全条形统计图如下： 人数 70 60 50 40 20 1 0 A B CD专业类型 1 90 (3)6 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率. 第23页/共38页 学科网命组卷网 (1)由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由360°乘以选择A(旅游管理)专业的人数所 占的比例即可得出扇形统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数： (2)求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例 估计实际人数： (3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求 解即可 【小问1详解】 本次被调查的学生有：70÷35%=200（人）： 40 360°× =720 (2)扇形统计图中，A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为： 200 故答案为：200：72°： 【小问2详解】 条形统计图中，B(信息技术)专业的人数为：200-40-70-30=60（人）， 300× 60 -=90 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 200 (人)， 故答案为：90； 【小问3详解】 画树状图如下： 开始 丙 甲丙丁 甲乙 甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， 21 ∴.恰好抽到甲、乙两名同学的概率为126. 21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD,CF,且∠DCF 第24页/共38页 命学科网 命组卷网 =∠CAD (1)求证：CF是⊙O的切线： J (2)若cosB=5,AD=2,求FD的长 0 D F 【答案】 (1)连接0C, .AD⊙O 是 的直径， ∴.∠ACD=90° :.∠ADC+∠CAD=90°， 又OC=OD. .∠ADC=∠OCD 又：∠DCF=∠CAD ∴.∠DCF+∠OCD=90° 即OC⊥FC, ∴.FC⊙O 是 的切线： 18 (2)7 【解析】 【分析】(1)根据切线的判定，连接OC,证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角 形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案： 第25页/共38页 6学科网 组卷网 3 cos B= (2)由 5,根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD:AC:AD=3:4:5,再根据相似三角 形的性质可求出答案. 【详解】解：(1)略 (2)∠B=∠ADC, COs B=3 5, :coS∠ADC=3 , 在RIMACD中， Cos∠ADC=3_CD 5AD:AD=2' 36 .CD=AD.cos∠ADC=2× 55. AC=ADP-CD CD 3 ..AC 4, :∠FCD=∠FAC,∠F=∠F, ∴.△FCD∽△FAC CD FC FD 3 .AC FA FC4· 设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+2, 又'FC=FDFM 即(42=3x(3x+2) 6 解得=7（取正值）， x= 第26页/共38页 命学科网命组卷网 18 ..FD=3x= 1· B D 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的 判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提， 22.某商店购进A,B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元：用600元购进纪念品 A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同. (1)分别求出A,B两种纪念品的单价. (2)商店计划购买纪念品A,B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超 过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？并求出最少费用. 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是30元和20元 (2)当购买A种纪念品267件，B种纪念品件133时，总费用最少，最小费用为10670元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分 析题目中的等量关系， (1)设4种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是-10)元，利用数量=总价÷单价，结合“用 600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可： (2)设购买a件A种纪念品，总费用为y元，利用总价=单价×数量，可得出关于a的一次函数，求出a 的取值范围，根据函数的增减性解题即可 【小问1详解】 解：设4种纪念品的单价为x元，则8种纪念品的单价为(x-10)元， 第27页/共38页 命学科网组卷网 600400 xx-10, 解得：x=30, 经检验x=30是原方程的解， ∴.B种纪念品的单价为x-10=20元， 答：纪念品A、B的单价分别是30元和20元 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进Q件，总费用为y元， 则y=30a+20(400-a)=10a+8000 a≥2(400-a) 又：110a+8000≤11000， 800 ≤a≤300 解得3 ：.10>0 a为整数， y随x的增大而增大， ∴.当a=267时，y有最小值，最小值为10×267+8000=10670，此时400-267=133， 答：当购买A种纪念品267件，B种纪念品件133时，总费用最少，最小费用为10670元. m 23.如图，直线-k+b与双曲线=x相交于A(1,2),B两点，与x轴相交于点C(4,0), 第28页/共38页 命学科网命组卷网 (I)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式： (2)连接OA,OB,求△AOB的面积； m (3)直接写出当x>0时，关于x的不等式+b>x的解集. 282 【答案】(1)=3+3，Fx: 8 (2)△AOB的面积为3； (3)1<xK3 【解析】 m 【分析】(1)将点A(1,2)代入y=x,求得2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可； (②)解方程组求得点B的坐标，根据Sua=SMoc一m0c,利用三角形面积公式即可求解， (3)观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可. 【小问1详解】 m 解：将点A(1,2)代入y=x,得=2， 2 双曲线的表达式为：=x, 把A(1,2)和C(4,0)代入=k+b得： 2 k=- y=k+b=2, 解得： 8, b= 4k+b=0 3 28 .直线的表达式为：=3x+3: 【小问2详解】 第29页/共38页 6学科网 命组卷网 2 y= 解：联立 28, y=- 3x+3 x=3 x=1 解得 2 y=2 或y= 3 点A的坐标为(1,2)， 2 ∴点B的坐标为(3,3)， 5wo -Swe-Swe-OCly- oc-ly =x4x2-x4×2 1 2 2 23 =3, 8 .△AOB的面积为3； 【小问3详解】 m 解：观察图象可知：不等式+b>x的解集是1<<3. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解 析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积， 24.已知△AOB和aCOD都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，AO=B0,CO=DO 第30页/共38页 6学科网组卷网 ■ 图1 图2 备用图 (I)如图1，连接AC,BD,请直接写出线段AC与BD的数量关系和位置关系： (2)若将△COD绕点O顺时针旋转， ①如图2，当点D恰好在MB边上时，求证：BD+AD=20D° ②当点人，D,C三点在同一条直线上时，若OB=20,0D=4,请直接写出线段BD的长. 【答案】(1)BD=AC:AC⊥BD: (2)①证明：如图，连接AC, .∠AOB=∠COD=90° ∴.∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD ∴.∠BOD=∠AOC 在△BOD与△M0C 中， BO=AO ∠BOD=∠AOC OD=OC 第31页/供38页 6学科网命组卷网 :∴△BOD≌aAOC(SAS) ∴.BD=AC∠B=∠OAC .∠CAD=∠CAO+∠OAB =∠B+∠OAB=90° 在Rt△COD中， ∠COD=90°，C0=D0 ∴.CD2=C02+0D2=20D2 在RI△ACD中， .∠CAD=90° .AC2+AD2 CD2 又BD=AC,CD2=20D2 .BD2+AD2=20D2 ②W2或22 【解析】 【分析】(I)通过SAS证明△DOB≌aCOA,得出BD=AC,∠OAC=∠OBD,在根据三角形外角 的性质可证AC⊥BD: (2)①连接AC,由△DOB≌aCOA可证∠CAD=90°，再两次运用勾股定理可得出结论： ②根据点A、C、D的位置关系，分两种情况考虑，将BD转化为求AC的长即可. 【小问1详解】 解：AC=BD,AC⊥BD: 第32页/供38页 6学科网命组卷网 .∠AOB=∠COD=90° .∠DOB=∠COA 在△DOB和△COA中， DO=CO ∠COA=∠DOB OA=OB ∴.△DOB≌△COA(SAS) ∴.BD=AC∠OAC=∠OBD 如图所示，设BD交AC于点E,交AO于点F, B 图1 ,∠AFB=∠AOB+∠OBD=∠AEF+∠OAC ∴.∠AEB=∠AOB=90° .AC⊥BD 【小问2详解】 ①略 ②付如图，设OA交BD于点J,过0作OH1CD于点H, 第33页/共38页 6学科网6组卷网 B .△AOC≌△BOD ∴.AC=BD∠OAC=∠OBD :∠AJD=∠BJO ∴.∠ADJ=∠JOB=90° .OC=OD=4∠COD=90°0H⊥CD ∴CD=4V2CH=HD=OH=2√2 .AH=V0A2-0H2=V(2W10)2-(2V2)}=42 .BD=AC=CH+AH=22+42=62 (如图， H D 同理可得： 4H=4V2.CHI=2 BD=AC=AH-CH=4-2=22 综上所述， BD的长为6N2或2V2 第34页/供38页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题 的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 25.如图，抛物线y=2+hx-3(Q≠0)与x轴交于点A(-l,0）,点B(3,0）,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式： (2②在对称轴上找一点2，使△1C 的周长最小，求点的坐标： (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标. 【答案】(1)y=x2-2x-3 2)(1,-2) 27 315 (3)S的最大值为8，P点的坐标为2,4) 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法解答即可： (2)连接CB交对称轴于点Q,由A、B关于对称轴x=1对称得AQ=B0,进而得到 AC+A0+CO=AC+CO+BO>AC+BC C、B、2 △ACQ ,可知当 三点共线时， 的周长最小，利 用待定系数法求出直线BC的解析式，再把x=1代入计算即可求解： (3)过点P作PG∥y轴，交BC于点G,设点P,-21-3列，则G1-3),可得 第35页/供38页 命学科网命组卷网 PG=1-3-(化-21-3列=-(+31，进而根据三角形面积公式求出S与的函数解析式，最后根据二次函 数的性质解答即可求解： 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 【小问1详解】 解：把点A(-10）,点B(3,0)代入y=2+x-3得， a-b-3=0 9a+3b-3=0, [a=1 解得b=-2, 抛物线的表达式为y=x-2x-3 【小问2详解】 解：如图，连接CB交对称轴于点O, y=x2-2x-3=(x-12-4 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, ,A、B关于对称轴x=1对称， .AQ=BQ」 AC+AQ+CQ-AC+CQ+B02AC+BC 第36页/共38页 命学科网命组卷网 C、B、Q △ACQ 当 三点共线时， 的周长最小， ÷y=x2-2x-3 .C(0,-3) 设直线BC的解折式为y=c+m,把B(3,0)和C(0,-3)代入得， 0=3k+m -3=m, k=1 解得m=-3, 直线BC的解析式为'=X-3, 把x=1代入y=x-3 得少=1-3=-2 :1,-2) 【小问3详解】 解：刻图，过点P作PG∥y轴，交BC于点G,造接PC,PB, B 设点P,-21-3到，则G,1-3), .PG=1-3-(-2-3)=-P+3 第37页/供38页 命学科网命组卷网 s*3x(r+-+。 3 27 :当=2时，S的最大值为8， 时P流的标合) 第38页供38页 2024—2025学年第二学期期中限时作业 九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 的倒数是（　　） A. 6 B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（　　） A. b2•b3＝b6 B. （2x+y）2＝4x2+y2 C. （﹣3x2y）3＝﹣27x6y3 D. x+x＝x2 3. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3.6 B. 1.8 C. 3 D. 6 7. 如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论： ①； ②； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 春意盎然，许多地方杨絮漫天飞舞，据测量，杨絮纤维的直径约为，用科学记数法表示杨絮的直径为______． 12. 分解因式：＝_____． 13. 为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的10名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数量如下表： 电池数量（节） 2 5 6 8 10 人数 1 4 2 2 1 根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且tanA=，则AC=_____． 15. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到_______． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________． 17. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴上，点分别在直线上，都是等腰直角三角形，如果，则的坐标为___________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简：，再从，，和中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 20. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 22. 某商店购进A，B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元；用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）分别求出A，B两种纪念品的单价． （2）商店计划购买纪念品A，B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？并求出最少费用． 23. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 24. 已知和都是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，连接，，请直接写出线段与的数量关系和位置关系； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，求证： ②当点，，三点在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 25. 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $