精品解析：辽宁省盘锦市名校2024-2025学年高三下学期5月大联考数学试题

高三数学考试 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知，，，，若与共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或2 D. 或1 3. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 390种 D. 420种 7. 定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次人口普查中，经过统计得到某地区大学生的年龄X服从正态分布，则（ ） 参考数据：，， A. B. C. D. 10. 已知函数，（，），与的图象关于对称，若，则（ ） A B. 直线为图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 函数在上有5个零点 11. 在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，则 C. 若，则直线与所成角的余弦值为 D. 若，则平面与平面的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为________． 14. 已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）证明：． （2）若，，求的值． 16. 已知数列的前项和为，其中，． （1）求的值以及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，，求实数λ取值范围． 18. 某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为小时），已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有1050人． （1）求该企业员工上半年每周户外活动时间平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （2）为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在，，小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每周户外活动时间在小时的人数为，求的分布列以及数学期望； （3）以样本频率估计概率，从每周户外活动时间在小时的员工中随机抽取20人，用表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在小时的概率，其中．当最大时，写出k的值．（写出证明） 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式φ：（，）则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．已知点P在椭圆C：（）上，C过点，，作点P到的伸缩变换． （1）求的轨迹的方程． （2）已知O为原点，，点N满足，过点且倾斜角为（）的直线l与交于D，E两点，直线ND与的另一个交点为G，直线NE与的另一个交点为H． （ⅰ）直线GH是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （ⅱ）记直线GH的倾斜角为，当取最大值时，求直线GH的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学考试 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质以及对数函数的性质，求得集合，根据交集，可得答案. 【详解】依题意，，，故． 故选：B. 2. 已知，，，，若与共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因，，，， 所以，， 又与共线，故，解得或． 故选：D 3. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为． 故选：C. 4. 已知数列满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造法整理递推公式，根据等差数列的定义，求得数列通项公式，可得答案. 【详解】依题意，，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则．因为，故，则． 故选：D. 5. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式，运用直接法判断函数在上的单调性，排除C，D；再运用求导判断函数在上的单调性，排除B项即可. 【详解】对于，当时，，因和在上都是减函数， 故在上单调递减，故排除C，D； 当时，，， 因， 则在上单调递增，排除B． 故选：A 6. 将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 390种 D. 420种 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：先分组，再分配，先算总的情况，再用捆绑法算李老师和唐老师在同一学校督导的情况即可求解； 解法二：分类讨论，分别计算李老师和唐老师不在同一学校督导的情况即可求解. 【详解】依题意，分组情况可能为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）． 解法一：总的情况数为， 其中李老师和唐老师在同一学校督导的情况数为， 故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有390种． 解法二：若派遣的人数情况为（1，1，4），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种； 若派遣的人数情况为（1，2，3），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种； 若派遣的人数情况为（2，2，2），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种； 故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有390种． 故选：C. 7. 定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意列出等式，利用三角恒等变换及三角函数性质求解即可. 【详解】设，，则， 则，则， 故． 故选：C. 8. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次人口普查中，经过统计得到某地区大学生的年龄X服从正态分布，则（ ） 参考数据：，， A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及特殊区间的概率逐个判断即可. 【详解】依题意，，故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC. 10. 已知函数，（，），与的图象关于对称，若，则（ ） A. B. 直线为图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 函数在上有5个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对称性求解的解析式判断A，根据两角和差的正余弦公式化简求出，进而验证法判断B，根据余弦函数的单调性判断C，根据正弦函数的性质求解零点判断D. 【详解】在函数的图象上任取点（x，y）， 此点关于的对称点在的图象上， 故， 所以，故，，故A错误； 则，所以为其最大值， 所以直线为图象的一条对称轴，故B正确； 当时，，， 故在上单调递减，故C正确； 因为， 令，所以，即，， 令，解得，所以， 又，所以，所以函数在上有4个零点，故D错误． 故选：BC 11. 在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，则 C. 若，则直线与所成角的余弦值为 D. 若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B；（或其补角）即为直线与所成的角，由余弦定理求出异面直线夹角余弦判断C；是平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，利用三角函数关系求出二面角大小判断D. 【详解】对于A：依题意，，则四边形为平行四边形, 所以，又平面，平面，故平面，故A正确； 对于B：因为，又，， 所以 ， 则，故B正确； 对于C，因为，所以（或其补角）即为直线与所成的角， 不妨设，，则，， 故直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，则， 所以平面与平面的夹角为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，得，根据复数除法的运算法则，可求得，进而可求得. 详解】依题意，，故． 故答案为：. 13. 已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 14. 已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为______ 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求出P，Q两点坐标，利用得到斜率关系，求得，即可求解离心率. 【详解】不妨设：，：． 联立解得故， 同理可得，故线段PQ的中点， 而，故，解得， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）证明：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简条件，结合正切二倍角即可得证； （2）结合（1）由三角恒等变换化简可得，再由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 因为，所以，所以， 故， 又，所以． 【小问2详解】 由，得， 得，， 所以 ， 故，又， 所以，，， 在中由余弦定理得， ， 则． 16. 已知数列的前项和为，其中，． （1）求的值以及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得的值，可得出的表达式，再利用可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 依题意，，解得，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 综上所述，． 【小问2详解】 依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ， 则． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间； （2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题. 【小问1详解】 依题意，，， 由得． 当时，． 令，得，， 故当时，， 故当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增；在单调递减；在单调递增． 【小问2详解】 令，因为，所以，故， 令，则， 令，则， 易知为减函数，则在[2，4]上，， 故在[2，4]上单调递减， 则， 故，在[2，4]上单调递减， 故， 故实数λ的取值范围为． 18. 某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为小时），已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有1050人． （1）求该企业员工上半年每周户外活动时间的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （2）为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在，，小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每周户外活动时间在小时的人数为，求的分布列以及数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从每周户外活动时间在小时的员工中随机抽取20人，用表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在小时的概率，其中．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）7 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可； （2）利用古典概型概率计算公式求解概率可得分布列，进而计算可得数学期望； （3）利用二项分布概率公式表示，结合题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 记每周户外活动时间在，小时的频率分别为m，n， 则，， 故所求平均数为； 【小问2详解】 每周户外活动时间在，，小时的频率之比为， 所以14人中每周户外活动时间在小时的人数为，在小时的人数为， 在小时的人数为， 则的可能取值为0，1，2，3，4， 所以，，， ，， 故的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故． 【小问3详解】 从每周户外活动时间在小时员工中随机抽取20人，每周户外活动时间在小时的概率， 则， 故 ， 解得，所以当时，最大， 故最大时，k的值为7． 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式φ：（，）则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．已知点P在椭圆C：（）上，C过点，，作点P到的伸缩变换． （1）求的轨迹的方程． （2）已知O为原点，，点N满足，过点且倾斜角为（）的直线l与交于D，E两点，直线ND与的另一个交点为G，直线NE与的另一个交点为H． （ⅰ）直线GH否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （ⅱ）记直线GH的倾斜角为，当取最大值时，求直线GH的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）过定点，（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，求出抛物线方程，再根据伸缩变换的定义，求出新的抛物线方程即可. （2）（ⅰ）根据圆锥曲线和直线的位置关系，结合韦达定理证明直线过定点问题. （ⅱ）根据正切函数的单调性，说明角最大时正切值也最大，再根据两角差的正切公式，求出正切值的最大值，求出此时的斜率，根据直线经过的定点，写出直线方程. 【小问1详解】 依题意解得 故C：； 设，，则， 而则的轨迹的方程为． 【小问2详解】 （i）依题意可得N（1，0），设直线l：，， 联立 整理得，， 设，， 则，， 直线NG的方程为， 代入中， 整理得， 设，则， 故，，即， 同理可得， 故， 所以直线GH的方程为，即， 所以直线GH过定点． （ii）因为，所以，正负相同， 且，所以， 当取最大值时，取最大值， 因为时，， 当且仅当时等号成立， 此时取最大值，取最大值， 此时直线GH的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$